17. (★★)如图 24.4 - 13,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AC = BC = 2 $,将 $ \triangle ABC $ 绕 $ AC $ 的中点 $ D $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ \triangle A'B'C' $,其中点 $ B $ 的运动路径为 $ \overset{\frown}{BB'} $,则图中阴影部分的面积为。

$\frac{5\pi}{4}$

在$Rt\triangle ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$AC=BC=2$，$D$为$AC$中点，故$CD=AD=1$。在$Rt\triangle BCD$中，$BC=2$，$CD=1$，由勾股定理得$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。将$\triangle ABC$绕$D$逆时针旋转$90^{\circ}$，点$B$运动路径为以$D$为圆心、$BD$为半径、圆心角$90^{\circ}$的弧。扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^2}{360}$，$n=90^{\circ}$，$r=\sqrt{5}$，则$S=\frac{90\pi(\sqrt{5})^2}{360}=\frac{5\pi}{4}$。

18. (★★)(2023·商丘模拟)如图 24.4 - 14,点 $ C $ 为 $ \dfrac{1}{4} $ 圆 $ O $ 上一个动点,连接 $ AC, BC $,若 $ OA = 1 $,则阴影部分面积的最小值为【】

A.$ \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{4} $
C.$ \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
D.$ \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{1}{4} $

C

设O为坐标原点(0,0)，A(0,1)，B(1,0)，四分之一圆O半径为1，点C在圆上，坐标为(cosθ,sinθ)(θ∈[0,π/2])。阴影部分面积S=扇形OAC面积+扇形OBC面积-四边形OACB面积。
扇形OAC与扇形OBC面积之和为四分之一圆面积π/4。
四边形OACB面积=S△OAC+S△OBC=(1/2)sinθ+(1/2)cosθ=(1/2)(sinθ+cosθ)。
则S=π/4 - (1/2)(sinθ+cosθ)。
sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)，最大值为√2（当θ=π/4时）。
故S最小值=π/4 - (1/2)×√2=π/4 - √2/2。

19. (★★)(2025·河南)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时,创立了“割圆术”。图 24.4 - 15 是研究“割圆术”时的一个图形,$ \overset{\frown}{AB} $ 所在圆的圆心为点 $ O $,四边形 $ ABCD $ 为矩形,边 $ CD $ 与 $ \odot O $ 相切于点 $ E $,连接 $ BE $,$ \angle ABE = 15^{\circ} $,连接 $ OE $ 交 $ AB $ 于点 $ F $。若 $ AB = 4 $,则图中阴影部分的面积为。

$\frac{4\pi}{3}-4$

1. 矩形与切线性质：四边形$ABCD$为矩形，$CD$与$\odot O$相切于$E$，则$OE \perp CD$，又$AB // CD$，故$OE \perp AB$，垂足为$F$。由垂径定理，$F$为$AB$中点，$AF=FB=2$。
2. 半径与勾股定理：设$\odot O$半径为$r$，则$OA=OB=OE=r$。在$Rt\triangle OFB$中，$OF^2 + FB^2 = OB^2$，即$OF^2 + 2^2 = r^2$。
3. 角度与三角函数：$\angle ABE=15°$，$AB // CD$，则$\angle BEC=15°$。在$Rt\triangle BCE$中，$\tan15°=\frac{BC}{CE}=\frac{h}{2}$（$h$为矩形高），$\tan15°=2-\sqrt{3}$，故$h=2(2-\sqrt{3})=4-2\sqrt{3}$。
4. 求解半径：$OE=OF + FE$，$FE=h=4-2\sqrt{3}$，$OF=r - h$。代入$OF^2 + 4 = r^2$，解得$r=4$，$OF=2\sqrt{3}$。
5. 扇形与弓形面积：$\cos\angle AOF=\frac{OF}{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\angle AOF=30°$，故$\angle AOE=30°$。扇形$OAE$面积$=\frac{30°}{360°}\pi r^2=\frac{4\pi}{3}$，$\triangle OAE$面积$=\frac{1}{2}OA \cdot OE \cdot \sin30°=4$。阴影部分（弓形$AE$）面积$=\frac{4\pi}{3}-4$。

20. (★★)(河南)如图 24.4 - 16,在扇形 $ BOC $ 中,$ \angle BOC = 60^{\circ} $,$ OD $ 平分 $ \angle BOC $ 交 $ \overset{\frown}{BC} $ 于点 $ D $,点 $ E $ 为半径 $ OB $ 上一动点。若 $ OB = 2 $,则阴影部分周长的最小值为。

2√2 + π/3

连接CD，阴影部分周长为CE+ED+弧CD。弧CD长为(30°/360°)×2π×2=π/3（定长）。作D关于OB对称点D'，则ED=ED'，CE+ED=CE+ED'，最小值为CD'。C(1,√3)，D'(√3,-1)，CD'=√[(√3-1)²+(-1-√3)²]=2√2。故阴影部分周长最小值为2√2+π/3。

1. (★)把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的.

母线

根据圆锥的定义，连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。

2. (★)沿圆锥的母线把圆锥展开,它的侧面展开图是一个,圆锥的侧面积就等于这个的面积. 若设这个圆锥的母线长为 $ l $,底面圆的半径为 $ r $,那么这个扇形的半径为,弧长为. 因此这个圆锥的侧面积为,全面积为.

扇形, 扇形, $ l $, $ 2\pi r $, $ \pi r l $, $ \pi r l + \pi r^2 $

沿圆锥的母线展开后，其侧面为一个扇形，圆锥的侧面积等于该扇形的面积。
设圆锥的母线长为 $ l $，底面圆的半径为 $ r $，则扇形的半径等于母线长 $ l $，扇形的弧长等于底面圆的周长 $ 2\pi r $。
侧面积通过扇形面积公式计算为：
$ 侧面积 = \frac{1}{2} × 弧长 × 半径 = \frac{1}{2} × 2\pi r × l = \pi r l $，
全面积为侧面积加上底面积：
$ 全面积 = \pi r l + \pi r^2 $。

3. (★)如图 24.4 - 17,已知圆锥侧面展开图的扇形面积为 $ 65 cm^2 $,扇形的弧长为 $ 10 cm $,则圆锥母线长是【】

A.$ 5 cm $
B.$ 10 cm $
C.$ 12 cm $
D.$ 13 cm $

D

设圆锥母线长为$ l $cm，扇形弧长为$ C = 10 $cm，扇形面积为$ S = 65 $cm²。
由扇形面积公式$ S = \frac{1}{2}Cl $，得$ 65 = \frac{1}{2} × 10 × l $，解得$ l = 13 $。