1. 曲桥是我国古代经典建筑之一,它的设计增加了游人在桥上行走的路程,便于游人从不同角度欣赏湖面风光.如图所示的是某公园修建的九曲桥,A,B两地间修建曲桥与修建直桥相比,增加了桥的长度,其中蕴含的数学道理是.

【解析】：
这个问题考查的是线段的基本性质，根据题目描述，A、B两地间修建曲桥比修建直桥增加了桥的长度，这体现了数学中“两点之间，线段最短”的原理，即对于平面上的任意两点，连接这两点的线段是最短的路径，任何其他路径（如曲桥）都会比这条线段长。
【答案】：
两点之间，线段最短。

2. 已知M是线段AB的三等分点,E是AM的中点.若AB= 12 cm,则线段AE的长是______.

解：情况一：当M靠近A点时，
因为M是线段AB的三等分点，AB=12cm，
所以AM=AB/3=12/3=4cm，
又因为E是AM的中点，
所以AE=AM/2=4/2=2cm；
情况二：当M靠近B点时，
因为M是线段AB的三等分点，AB=12cm，
所以AM=2AB/3=2×12/3=8cm，
又因为E是AM的中点，
所以AE=AM/2=8/2=4cm；
综上，线段AE的长是2cm或4cm。

3. 如图所示,B,C两点在线段AD上.
(1)BD= BC+；AD= AC+BD-.
(2)如果CD= 4 cm,BD= 7 cm,B是AC的中点,那么AB= cm.

(1) CD；BC
(2) 解：因为BD=7cm，CD=4cm，所以BC=BD-CD=7-4=3cm。
因为B是AC的中点，所以AB=BC=3cm。
3

4. 如图所示,C,D是线段AB上两点,已知AC:CD:DB= 1:2:3,M,N分别为AC,DB的中点,且AB= 12.
(1)求线段CD的长.
(2)求线段MN的长.

【解析】：
本题可根据线段的比例关系以及线段中点的性质来求解线段的长度。
（1）求线段$CD$的长
已知$AC:CD:DB = 1:2:3$，可设$AC = x$，则$CD = 2x$，$DB = 3x$。
因为$AB=AC + CD + DB$，且$AB = 12$，所以可得方程$x + 2x + 3x = 12$。
合并同类项可得$6x = 12$，
两边同时除以$6$，解得$x = 2$。
因为$CD = 2x$，把$x = 2$代入可得$CD = 2×2 = 4$。
（2）求线段$MN$的长
因为$M$为$AC$的中点，$N$为$DB$的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$，$DN=\frac{1}{2}DB$。
由（1）可知$AC = x = 2$，$DB = 3x = 3×2 = 6$，则$MC=\frac{1}{2}×2 = 1$，$DN=\frac{1}{2}×6 = 3$。
又因为$CD = 4$，根据$MN = MC + CD + DN$，可得$MN = 1 + 4 + 3 = 8$。
【答案】：
(1)$4$；
(2)$8$。

5. 已知数轴上A,B两点所表示的数分别为-2和8,如图所示.
(1)求线段AB的长.
(2)若P为射线BA上的一点(点P不与A,B两点重合),M为PA的中点,N为PB的中点,当点P在射线BA上运动时,MN的长度是否发生改变？若不变,请你画出图形,并求出线段MN的长；若改变,请说明理由.

(1)解：因为数轴上A，B两点所表示的数分别为-2和8，所以线段AB的长为8 - (-2) = 10。
(2)解：MN的长度不变。
当点P在A，B两点之间时，因为M为PA的中点，N为PB的中点，所以PM = 1/2 PA，PN = 1/2 PB，所以MN = PM + PN = 1/2 PA + 1/2 PB = 1/2 (PA + PB) = 1/2 AB = 5。
当点P在点A的左侧时，因为M为PA的中点，N为PB的中点，所以PM = 1/2 PA，PN = 1/2 PB，所以MN = PN - PM = 1/2 PB - 1/2 PA = 1/2 (PB - PA) = 1/2 AB = 5。
综上，MN的长为5。