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对于$(mx + n)^2 = p(p \geq 0)$形式的方程,即方程左边是一个关于未知数$x$的完全平方的形式,右边是一个非负数,可以采用直接开平方法将其转化成两个一元一次方程,达到
降次
的目的。答案
降次
解析
对于形如$(mx + n)^2 = p(p \geq 0)$的方程，因为左边是一个完全平方形式，右边是非负数，根据直接开平方法的原理，对等式两边直接开平方可得$mx + n = \pm\sqrt{p}$，从而将原方程转化成两个一元一次方程，达到降次的目的。
思考 对于方程$(mx + n)^2 = p$,$p$必须满足什么条件,该方程才有实数根？
答案
$p\geq0$
解析
方程左边是平方形式，平方结果非负。要使方程有实数根，右边$p$需满足$p\geq0$。
练习 (1)方程$x^2 = 9$的两个根为
$x_{1}=3，x_{2}=-3$
；答案
$x_{1}=3，x_{2}=-3$（按照人教版数学填空题形式一般写为$x_{1}=3，x_{2}=- 3$，若为选择填空形式，此题一般设置选项对应此答案）
解析
根据平方根的定义，若$x^{2}=a（a\geq0）$，则$x=\pm\sqrt{a}$。
在方程$x^{2}=9$中，因为$9\gt0$，所以$x$是$9$的平方根，即$x = \pm\sqrt{9}=\pm3$，所以方程$x^{2}=9$的两个根为$x_{1}=3，x_{2}=-3$。
在方程$x^{2}=9$中，因为$9\gt0$，所以$x$是$9$的平方根，即$x = \pm\sqrt{9}=\pm3$，所以方程$x^{2}=9$的两个根为$x_{1}=3，x_{2}=-3$。
(2)方程$4x^2 - 9 = 0$的两个根为
$x_{1}=\frac{3}{2},x_{2}=-\frac{3}{2}$
。答案
$x_{1}=\frac{3}{2},x_{2}=-\frac{3}{2}$（若用选项形式，假设本题为填空题，按题目要求直接填写根的值即可）
解析
原方程为$4x^2 - 9 = 0$，
移项可得$4x^2 = 9$，
两边同时除以4，得到$x^2 = \frac{9}{4}$，
对方程两边开平方，得$x = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}$，
即$x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = -\frac{3}{2}$。
移项可得$4x^2 = 9$，
两边同时除以4，得到$x^2 = \frac{9}{4}$，
对方程两边开平方，得$x = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}$，
即$x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = -\frac{3}{2}$。
例1 解方程：
(1)$4x^2 = 16$；(2)$2x^2 - 48 = 0$。
名师导引 运用直接开平方法解方程时要注意,当$p ＞ 0$时,方程有两个不相等的实数根；当$p = 0$时,方程有两个相等的实数根；当$p ＜ 0$时,方程无实数根。
(1)$4x^2 = 16$；(2)$2x^2 - 48 = 0$。
名师导引 运用直接开平方法解方程时要注意,当$p ＞ 0$时,方程有两个不相等的实数根；当$p = 0$时,方程有两个相等的实数根；当$p ＜ 0$时,方程无实数根。
答案
(1) $4x^2 = 16$
方程两边同时除以4，得$x^2 = 4$
直接开平方，得$x = \pm 2$
所以$x_1 = 2$，$x_2 = -2$
(2) $2x^2 - 48 = 0$
移项，得$2x^2 = 48$
方程两边同时除以2，得$x^2 = 24$
直接开平方，得$x = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$
所以$x_1 = 2\sqrt{6}$，$x_2 = -2\sqrt{6}$
方程两边同时除以4，得$x^2 = 4$
直接开平方，得$x = \pm 2$
所以$x_1 = 2$，$x_2 = -2$
(2) $2x^2 - 48 = 0$
移项，得$2x^2 = 48$
方程两边同时除以2，得$x^2 = 24$
直接开平方，得$x = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$
所以$x_1 = 2\sqrt{6}$，$x_2 = -2\sqrt{6}$
变式训练 (1)方程$x^2 - 4 = 0$的解是(
A.$x_1 = 2$,$x_2 = -2$
B.$x = 0$
C.$x_1 = x_2 = 2$
D.$x_1 = x_2 = -2$
A
)A.$x_1 = 2$,$x_2 = -2$
B.$x = 0$
C.$x_1 = x_2 = 2$
D.$x_1 = x_2 = -2$
答案
A
解析
原方程为 $x^2 - 4 = 0$。
移项可得 $x^2 = 4$。
对方程两边同时开平方，得到 $x = \pm 2$。
所以，方程的解为 $x_1 = 2$，$x_2 = -2$。
移项可得 $x^2 = 4$。
对方程两边同时开平方，得到 $x = \pm 2$。
所以，方程的解为 $x_1 = 2$，$x_2 = -2$。
(2)如果关于$x的方程(x - 2)^2 = m - 1$没有实数根,那么$m$的取值范围是
$m ＜ 1$
。答案
$m ＜ 1$
解析
方程$(x - 2)^2 = m - 1$，左边是平方形式，非负。若无实数根，则右边$m - 1 ＜ 0$，解得$m ＜ 1$。
例2 解方程：
(1)$2(x - 1)^2 = 18$；(2)$\frac{1}{3}(2x - 3)^2 - 25 = 0$；
(3)$(2x + 1)^2 = (x - 1)^2$；(4)$9x^2 - 6x + 1 = 7$。
名师导引 观察方程的特点,可通过完全平方公式等将其化为$(mx + n)^2 = p(p \geq 0)$的形式,再直接开平方。
(1)$2(x - 1)^2 = 18$；(2)$\frac{1}{3}(2x - 3)^2 - 25 = 0$；
(3)$(2x + 1)^2 = (x - 1)^2$；(4)$9x^2 - 6x + 1 = 7$。
名师导引 观察方程的特点,可通过完全平方公式等将其化为$(mx + n)^2 = p(p \geq 0)$的形式,再直接开平方。
答案
(1)
$2(x - 1)^2 = 18$，
$(x - 1)^2 = 9$，
$x - 1 = \pm 3$，
$x_1 = 4$，$x_2 = -2$；
(2)
$\frac{1}{3}(2x - 3)^2 - 25 = 0$，
$\frac{1}{3}(2x - 3)^2 = 25$，
$(2x - 3)^2 = 75$，
$2x - 3 = \pm 5\sqrt{3}$，
$x_1 = \frac{3 + 5\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{3 - 5\sqrt{3}}{2}$；
(3)
$(2x + 1)^2 = (x - 1)^2$，
$2x + 1 = \pm (x - 1)$，
$2x + 1 = x - 1$或$2x + 1 = -(x - 1)$，
$x_1 = -2$，$x_2 = 0$；
(4)
$9x^2 - 6x + 1 = 7$，
$(3x - 1)^2 = 7$，
$3x - 1 = \pm \sqrt{7}$，
$x_1 = \frac{1 + \sqrt{7}}{3}$，$x_2 = \frac{1 - \sqrt{7}}{3}$。
$2(x - 1)^2 = 18$，
$(x - 1)^2 = 9$，
$x - 1 = \pm 3$，
$x_1 = 4$，$x_2 = -2$；
(2)
$\frac{1}{3}(2x - 3)^2 - 25 = 0$，
$\frac{1}{3}(2x - 3)^2 = 25$，
$(2x - 3)^2 = 75$，
$2x - 3 = \pm 5\sqrt{3}$，
$x_1 = \frac{3 + 5\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{3 - 5\sqrt{3}}{2}$；
(3)
$(2x + 1)^2 = (x - 1)^2$，
$2x + 1 = \pm (x - 1)$，
$2x + 1 = x - 1$或$2x + 1 = -(x - 1)$，
$x_1 = -2$，$x_2 = 0$；
(4)
$9x^2 - 6x + 1 = 7$，
$(3x - 1)^2 = 7$，
$3x - 1 = \pm \sqrt{7}$，
$x_1 = \frac{1 + \sqrt{7}}{3}$，$x_2 = \frac{1 - \sqrt{7}}{3}$。
变式训练 解方程：
(1)$2(x - 1)^2 - \frac{9}{2} = 0$；(2)$(2x + 3)^2 - 81 = 0$。
(1)$2(x - 1)^2 - \frac{9}{2} = 0$；(2)$(2x + 3)^2 - 81 = 0$。
答案
(1) $2(x - 1)^2 - \frac{9}{2} = 0$
$2(x - 1)^2 = \frac{9}{2}$
$(x - 1)^2 = \frac{9}{4}$
$x - 1 = \pm \frac{3}{2}$
$x_1 = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$，$x_2 = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
(2) $(2x + 3)^2 - 81 = 0$
$(2x + 3)^2 = 81$
$2x + 3 = \pm 9$
当$2x + 3 = 9$时，$2x = 6$，$x = 3$
当$2x + 3 = -9$时，$2x = -12$，$x = -6$
$x_1 = 3$，$x_2 = -6$
$2(x - 1)^2 = \frac{9}{2}$
$(x - 1)^2 = \frac{9}{4}$
$x - 1 = \pm \frac{3}{2}$
$x_1 = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$，$x_2 = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
(2) $(2x + 3)^2 - 81 = 0$
$(2x + 3)^2 = 81$
$2x + 3 = \pm 9$
当$2x + 3 = 9$时，$2x = 6$，$x = 3$
当$2x + 3 = -9$时，$2x = -12$，$x = -6$
$x_1 = 3$，$x_2 = -6$
解析
(1) $2(x - 1)^2 - \frac{9}{2} = 0$
$2(x - 1)^2 = \frac{9}{2}$
$(x - 1)^2 = \frac{9}{4}$
$x - 1 = \pm \frac{3}{2}$
$x_1 = \frac{5}{2}$，$x_2 = -\frac{1}{2}$
(2) $(2x + 3)^2 - 81 = 0$
$(2x + 3)^2 = 81$
$2x + 3 = \pm 9$
当$2x + 3 = 9$时，$2x = 6$，$x = 3$
当$2x + 3 = -9$时，$2x = -12$，$x = -6$
$x_1 = 3$，$x_2 = -6$
1. 一元二次方程$x^2 = 36$的解是(
A.$x_1 = x_2 = 6$
B.$x_1 = x_2 = -6$
C.$x_1 = 6$,$x_2 = -6$
D.$x_1 = 18$,$x_2 = -18$
C
)A.$x_1 = x_2 = 6$
B.$x_1 = x_2 = -6$
C.$x_1 = 6$,$x_2 = -6$
D.$x_1 = 18$,$x_2 = -18$
答案
C
解析
方程 $x^2 = 36$，根据平方根的定义，若一个数的平方等于 $a$，则这个数被称为 $a$ 的平方根，
因此，对于 $x^2 = 36$，可以得到 $x = \pm 6$，
即方程的两个解分别为 $x_1 = 6$ 和 $x_2 = -6$。
对比选项，可以发现只有选项 C 符合这一解。
因此，对于 $x^2 = 36$，可以得到 $x = \pm 6$，
即方程的两个解分别为 $x_1 = 6$ 和 $x_2 = -6$。
对比选项，可以发现只有选项 C 符合这一解。
