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8. 如图所示的是按照一定规律画出的“树形图”,经观察可以发现：图 $A_2$ 比图 $A_1$ 多出 $2$ 个“树枝”,图 $A_3$ 比图 $A_2$ 多出 $4$ 个“树枝”,图 $A_4$ 比图 $A_3$ 多出 $8$ 个“树枝”……$$照此规律,图 $A_6$ 比图 $A_2$ 多出的“树枝”个数为(
A.$32$
B.$56$
C.$60$
D.$64$
C
)。A.$32$
B.$56$
C.$60$
D.$64$
答案
C
解析
设图$A_n$比图$A_{n-1}$多出的树枝数为$a_n$。
由题意得：$a_2=2=2^1$，$a_3=4=2^2$，$a_4=8=2^3$，规律为$a_n=2^{n-1}$。
则$a_5=2^4=16$，$a_6=2^5=32$。
图$A_6$比图$A_2$多出的树枝数为$a_3+a_4+a_5+a_6=4+8+16+32=60$。
答案：C
由题意得：$a_2=2=2^1$，$a_3=4=2^2$，$a_4=8=2^3$，规律为$a_n=2^{n-1}$。
则$a_5=2^4=16$，$a_6=2^5=32$。
图$A_6$比图$A_2$多出的树枝数为$a_3+a_4+a_5+a_6=4+8+16+32=60$。
答案：C
9. 已知 $3^1 = 3,3^2 = 9,3^3 = 27,3^4 = 81,3^5 = 243,3^6 = 729,…$,则 $3^{107}$ 的末位数字是(
A.$1$
B.$3$
C.$7$
D.$9$
C
)。A.$1$
B.$3$
C.$7$
D.$9$
答案
C
解析
观察已知：$3^1 = 3$，末位数字是$3$；$3^2 = 9$，末位数字是$9$；$3^3 = 27$，末位数字是$7$；$3^4 = 81$，末位数字是$1$；$3^5 = 243$，末位数字是$3$，……，可得末位数字以$3,9,7,1$为周期循环，周期为$4$。
计算$107÷4 = 26\cdots\cdots3$，其中余数为$3$。
所以$3^{107}$的末位数字与$3^3$的末位数字相同，为$7$。
C
计算$107÷4 = 26\cdots\cdots3$，其中余数为$3$。
所以$3^{107}$的末位数字与$3^3$的末位数字相同，为$7$。
C
10. 在下列 $2× 2$ 的方格中找出规律,则 $x$ 应是(
A.$10$
B.$-2$
C.$2$
D.$0$
B
)。A.$10$
B.$-2$
C.$2$
D.$0$
答案
B
解析
观察前三个方格：
第一个方格：$1 + 5 = 3 + 3$
第二个方格：$5 + 10 = 8 + 7$
第三个方格：$2 + 5 = 6 + 1$
规律：左上角数字 + 右下角数字 = 右上角数字 + 左下角数字。
第四个方格：$6 + 4 = x + 12$
解得：$x = 10 - 12 = -2$
B
第一个方格：$1 + 5 = 3 + 3$
第二个方格：$5 + 10 = 8 + 7$
第三个方格：$2 + 5 = 6 + 1$
规律：左上角数字 + 右下角数字 = 右上角数字 + 左下角数字。
第四个方格：$6 + 4 = x + 12$
解得：$x = 10 - 12 = -2$
B
11. 观察下列三行数。
第一行：$1,-2,3,-4,5,…$；
第二行：$1,4,9,16,25,…$；
第三行：$-1,2,7,14,23,…$。
(1)第一行数按什么规律排列？
(2)第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？
(3)取每行的第 $10$ 个数,计算这 $3$ 个数的和。
第一行：$1,-2,3,-4,5,…$；
第二行：$1,4,9,16,25,…$；
第三行：$-1,2,7,14,23,…$。
(1)第一行数按什么规律排列？
(2)第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？
(3)取每行的第 $10$ 个数,计算这 $3$ 个数的和。
答案
解:
(1)$(-1)^{n+1}n$。
(2)第二行数是第一行数的平方,第三行数是第一行数的平方减2。
(3)$-10+(-10)^2+[(-10)^2-2]=188$。
(1)$(-1)^{n+1}n$。
(2)第二行数是第一行数的平方,第三行数是第一行数的平方减2。
(3)$-10+(-10)^2+[(-10)^2-2]=188$。
