3. (2024·宜宾中考)宜宾地标广场位于三江汇合口(如图①,左侧是岷江,右侧是金沙江,正面是长江).某同学在数学实践中测量长江口的宽度,他在长江口的两岸选择两个标点C, D,在地标广场上选择两个观测点A,B(点A, B,C,D在同一水平面,且AB//CD).如图②所示,在点A处测得点C在北偏西18.17°方向上,测得点D在北偏东21.34°方向上;在B处测得点C在北偏西21.34°方向上,测得点D在北偏东18.17°方向上,测得AB=100 m.求长江口的宽度CD的值.(结果精确到1 m;参考数据:sin 18.17°≈0.31,cos 18.17°≈0.95,tan 18.17°≈0.33,sin 21.34°≈0.36,cos 21.34°≈0.93,tan 21.34°≈0.39)

3. 如图,过C作CH⊥AB交BA的延长线于H,过A作AG⊥CD于G,过B作BK⊥CD于K,而AB//CD,
∴四边形AHCG,四边形ABKG都是矩形,
∴GK=AB=100,CG=AH,CH=AG=BK,CH//AG//BK.由题意可得∠CAG=∠DBK=18.17°,∠GAD=∠CBK=21.34°,
∴∠ACH=∠CAG=18.17°,∠BCH=∠CBK=21.34°.
∵∠AGC=∠BKD=90°,
∴△AGC≌△BKD,
∴CG=DK.设AH=x,CH=y,
∴$\frac{AH}{CH}=\frac{x}{y}=\tan∠ ACH=\tan18.17°≈0.33$,即x=0.33y,$\frac{HB}{CH}=\frac{x+100}{y}=\tan∠ BCH=\tan21.34°≈0.39$,即x+100=0.39y,
∴0.33y+100=0.39y,
∴$y=\frac{5\ 000}{3}$,
∴$x=0.33×\frac{5\ 000}{3}=550$,
∴CG=DK=550,
∴CD=550×2+100=1 200.
∴长江口的宽度CD约为1 200 m.

4. (2025·南京中考)如图,码头B位于码头A的南偏东$30°$方向,A,B之间的距离为40 km,灯塔P在AB的中点处.轮船甲从A出发,沿正南方向航行,轮船乙从B出发,沿正东方向航行.当甲航行到C处时,乙航行了相同的距离到达D处,此时,C,P,D三点恰好在一条直线上.求甲航行的距离AC.(参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$)

4. 如图,延长AC,DB,交点为E,过点P作PF⊥AE于点F,过点B作BH⊥BD交CD于点H.
由题意得,∠E=90°,∠PFA=90°,∠HBD=90°,
∵A,B之间的距离为40 km,P在AB的中点处,
∴AP=PB=20 km.在Rt△APF中,∠A=30°,
∴$PF=\frac{1}{2}AP=10$ km, $AF=\sqrt{20^2-10^2}=10\sqrt{3}$(km).
∵PF//DE,P为AB中点,
∴$\frac{AF}{FE}=\frac{AP}{PB}$,
∴F为AE的中点,即$AE=2AF=20\sqrt{3}$ km, $BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=20$ km.设AC=BD=x km,
∵AC//BH,
∴∠A=∠PBH.在△APC和△BPH中,$\begin{cases} ∠A=∠PBH, \\ AP=BP, \\ ∠APC=∠BPH, \end{cases}$
∴△APC≌△BPH(ASA),
∴AC=BH,
∴BD=BH,
∴∠HDB=∠BHD=45°,
∴∠ECD=90°-45°=45°,
∴∠ECD=∠HDB,
∴CE=ED,
∴$20\sqrt{3}-x=20+x$,解得$x=10\sqrt{3}-10≈7.3$.
答:甲航行的距离AC约为7.3 km.