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1 如图，直线$l_1,l_2,l_3$两两相交.对于$∠1$与$∠2$，下列说法正确的是 （
A.它们是直线$l_1,l_2$被直线$l_3$截成的同位角
B.它们是直线$l_1,l_3$被直线$l_2$截成的同位角
C.它们是直线$l_2,l_3$被直线$l_1$截成的同位角
D.它们是一对对顶角
（第1题）
B
）A.它们是直线$l_1,l_2$被直线$l_3$截成的同位角
B.它们是直线$l_1,l_3$被直线$l_2$截成的同位角
C.它们是直线$l_2,l_3$被直线$l_1$截成的同位角
D.它们是一对对顶角
（第1题）答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确同位角和对顶角的定义。判断同位角的关键步骤是：①先找两个角的公共边，公共边所在的直线就是截线，两个角剩下的两条边所在的直线就是被截直线；②再看两个角是否在截线的同旁，且在两条被截直线的同一侧，满足这两个特征就是同位角。对顶角需要有公共顶点，且两边互为反向延长线。我们先分析∠1和∠2的边所在的直线，再逐一判断选项即可。
【解析】
首先观察∠1和∠2的位置：
1. 找公共边：∠1的两条边分别在直线$l_1$和$l_2$上，∠2的两条边分别在直线$l_3$和$l_2$上，两个角的公共边在直线$l_2$上，因此截线是$l_2$，被截直线是$l_1$和$l_3$。
2. 判断位置：∠1和∠2都在截线$l_2$的右侧，且分别在被截直线$l_1$、$l_3$的上方，符合同位角的位置特征。
3. 排除错误选项：
A选项截线和被截线判断错误，排除；
C选项截线和被截线判断错误，排除；
D选项：∠1和∠2没有公共顶点，不可能是对顶角，排除。
因此只有B选项说法正确。
【答案】
B
【知识点】
同位角的识别，对顶角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是先找准两个角的公共边确定截线与被截线，再结合同位角的位置特征进行判断，熟练掌握相关概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确同位角和对顶角的定义。判断同位角的关键步骤是：①先找两个角的公共边，公共边所在的直线就是截线，两个角剩下的两条边所在的直线就是被截直线；②再看两个角是否在截线的同旁，且在两条被截直线的同一侧，满足这两个特征就是同位角。对顶角需要有公共顶点，且两边互为反向延长线。我们先分析∠1和∠2的边所在的直线，再逐一判断选项即可。
【解析】
首先观察∠1和∠2的位置：
1. 找公共边：∠1的两条边分别在直线$l_1$和$l_2$上，∠2的两条边分别在直线$l_3$和$l_2$上，两个角的公共边在直线$l_2$上，因此截线是$l_2$，被截直线是$l_1$和$l_3$。
2. 判断位置：∠1和∠2都在截线$l_2$的右侧，且分别在被截直线$l_1$、$l_3$的上方，符合同位角的位置特征。
3. 排除错误选项：
A选项截线和被截线判断错误，排除；
C选项截线和被截线判断错误，排除；
D选项：∠1和∠2没有公共顶点，不可能是对顶角，排除。
因此只有B选项说法正确。
【答案】
B
【知识点】
同位角的识别，对顶角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是先找准两个角的公共边确定截线与被截线，再结合同位角的位置特征进行判断，熟练掌握相关概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2 新情境 生活实际 如图，$∠ 1=90°$，添加下列条件中的一个，能保证两条铁轨平行的是 （
A.$∠ 2=90°$
B.$∠ 3=90°$
C.$∠ 4=90°$
D.$∠ 5=90°$
C
）A.$∠ 2=90°$
B.$∠ 3=90°$
C.$∠ 4=90°$
D.$∠ 5=90°$
答案
2. C
解析
【分析】
要判定两条铁轨平行，可依据“同位角相等，两直线平行”的判定定理分析。首先明确两条铁轨是被截的两条直线，枕木是截线。已知∠1=90°，我们只需找到与∠1是同位角、且对应截线一致、被截线为两条铁轨的角，当该角也为90°时，同位角相等即可推出铁轨平行。逐一分析选项：A选项∠2与∠1是邻补角，本身由∠1=90°即可推出∠2=90°，无法判定铁轨平行；B选项∠3与∠1是两条枕木被上方铁轨所截的同位角，相等时只能判定枕木平行；D选项∠5与∠1无对应同位角关系；C选项∠4与∠1是两条铁轨被左侧枕木所截的同位角，若∠4=90°则满足同位角相等，可判定铁轨平行。
【解析】
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。
两条铁轨为待判定平行的直线，左侧枕木为截线，∠1和∠4是两条铁轨被左侧枕木所截形成的同位角。
已知∠1=90°，若添加条件∠4=90°，可得∠1=∠4，满足同位角相等，因此可判定两条铁轨平行。
其他选项分析：
A. ∠2与∠1是邻补角，由∠1=90°可直接得出∠2=90°，无法判定两条铁轨平行；
B. ∠3与∠1是两条枕木被上方铁轨所截的同位角，若∠3=90°仅能判定两条枕木平行，不符合题意；
D. ∠5与∠1不存在同位角对应关系，无法判定两条铁轨平行。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
同位角识别；平行线的判定
【点评】
本题结合铁轨枕木的生活场景考查平行线判定的应用，解题关键是准确区分截线和被截线，正确识别同位角，避免混淆需要判定平行的对象。
【难度系数】
0.7
要判定两条铁轨平行，可依据“同位角相等，两直线平行”的判定定理分析。首先明确两条铁轨是被截的两条直线，枕木是截线。已知∠1=90°，我们只需找到与∠1是同位角、且对应截线一致、被截线为两条铁轨的角，当该角也为90°时，同位角相等即可推出铁轨平行。逐一分析选项：A选项∠2与∠1是邻补角，本身由∠1=90°即可推出∠2=90°，无法判定铁轨平行；B选项∠3与∠1是两条枕木被上方铁轨所截的同位角，相等时只能判定枕木平行；D选项∠5与∠1无对应同位角关系；C选项∠4与∠1是两条铁轨被左侧枕木所截的同位角，若∠4=90°则满足同位角相等，可判定铁轨平行。
【解析】
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。
两条铁轨为待判定平行的直线，左侧枕木为截线，∠1和∠4是两条铁轨被左侧枕木所截形成的同位角。
已知∠1=90°，若添加条件∠4=90°，可得∠1=∠4，满足同位角相等，因此可判定两条铁轨平行。
其他选项分析：
A. ∠2与∠1是邻补角，由∠1=90°可直接得出∠2=90°，无法判定两条铁轨平行；
B. ∠3与∠1是两条枕木被上方铁轨所截的同位角，若∠3=90°仅能判定两条枕木平行，不符合题意；
D. ∠5与∠1不存在同位角对应关系，无法判定两条铁轨平行。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
同位角识别；平行线的判定
【点评】
本题结合铁轨枕木的生活场景考查平行线判定的应用，解题关键是准确区分截线和被截线，正确识别同位角，避免混淆需要判定平行的对象。
【难度系数】
0.7
3 如图,在$∠ 1,∠ 2,∠ 3,∠ 4,∠ 5,∠ 6$中,构成同位角的共有________对.
答案
3. 2
解析
【分析】
要判断同位角的对数，首先回忆同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在两条被截直线同一侧的角叫做同位角，形状类似“F”型。解题时我们先确定不同的截线，再对应找被截的两条直线，逐一排查符合定义的角即可。
【解析】
我们根据同位角的定义逐一判断：
1. 取大三角形的左侧边为截线，被截的两条直线是大三角形的底边和三角形内部的线段：∠1和∠3都在截线的右侧，且都在两条被截直线的下方，符合同位角特征，是1对同位角；
2. 取大三角形的右侧边为截线，被截的两条直线是大三角形的底边和三角形内部的线段：∠6和∠4都在截线的左侧，且都在两条被截直线的下方，符合同位角特征，是1对同位角；
其余角的组合均不符合同位角的定义，因此共有2对同位角。
【答案】
2
【知识点】
同位角的识别
【点评】
本题重点考查同位角的判定，解题的核心是准确识别截线和被截线，熟练掌握同位角的位置特征，按照顺序排查即可避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
要判断同位角的对数，首先回忆同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在两条被截直线同一侧的角叫做同位角，形状类似“F”型。解题时我们先确定不同的截线，再对应找被截的两条直线，逐一排查符合定义的角即可。
【解析】
我们根据同位角的定义逐一判断：
1. 取大三角形的左侧边为截线，被截的两条直线是大三角形的底边和三角形内部的线段：∠1和∠3都在截线的右侧，且都在两条被截直线的下方，符合同位角特征，是1对同位角；
2. 取大三角形的右侧边为截线，被截的两条直线是大三角形的底边和三角形内部的线段：∠6和∠4都在截线的左侧，且都在两条被截直线的下方，符合同位角特征，是1对同位角；
其余角的组合均不符合同位角的定义，因此共有2对同位角。
【答案】
2
【知识点】
同位角的识别
【点评】
本题重点考查同位角的判定，解题的核心是准确识别截线和被截线，熟练掌握同位角的位置特征，按照顺序排查即可避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
4 如图，直线$ l $分别与直线$ a $，$ b $相交.若$ ∠ 1=71° $，则当$ ∠ 2 $的度数为
$109°$
时，$ a// b $.答案
4. $109°$
解析
【分析】
要判定直线$a// b$，根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，需要$∠ 1$的同位角与$∠ 1$相等。而$∠ 2$与$∠ 1$的同位角是邻补角，二者之和为$180°$，因此只要用$180°$减去$∠ 1$的度数，就能求出满足$a// b$时$∠ 2$的度数。
【解析】
设$∠ 1$的同位角为$∠ 3$，
若$a// b$，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$∠ 3=∠ 1=71°$。
$\because ∠ 2$与$∠ 3$互为邻补角，即$∠ 2+∠ 3=180°$，
$\therefore ∠ 2=180°-∠ 3=180°-71°=109°$。
【答案】
$109°$
【知识点】
平行线的同位角判定；邻补角的性质
【点评】
本题是平行线判定的基础应用类题目，解题的关键是找准$∠ 1$对应的同位角，结合邻补角的和为$180°$的性质进行计算，掌握基础的平行线判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要判定直线$a// b$，根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，需要$∠ 1$的同位角与$∠ 1$相等。而$∠ 2$与$∠ 1$的同位角是邻补角，二者之和为$180°$，因此只要用$180°$减去$∠ 1$的度数，就能求出满足$a// b$时$∠ 2$的度数。
【解析】
设$∠ 1$的同位角为$∠ 3$，
若$a// b$，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$∠ 3=∠ 1=71°$。
$\because ∠ 2$与$∠ 3$互为邻补角，即$∠ 2+∠ 3=180°$，
$\therefore ∠ 2=180°-∠ 3=180°-71°=109°$。
【答案】
$109°$
【知识点】
平行线的同位角判定；邻补角的性质
【点评】
本题是平行线判定的基础应用类题目，解题的关键是找准$∠ 1$对应的同位角，结合邻补角的和为$180°$的性质进行计算，掌握基础的平行线判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
5 教材 P184 例 1 变式 如图，$∠ 1=∠ 2=115°,∠ 3=65°$,图中有哪些直线互相平行？请说明理由。
答案
5. $AB// MD, HC// GE$ 理由:因为$∠ 3=65°,∠ 3+∠ HFA=180°$,所以$∠ HFA=180°-∠ 3=180°-65°=115°$.因为$∠ 1=115°$,所以$∠ HFA=∠ 1$.所以$AB// MD$.因为$∠ 1=∠ 2$,所以$∠ HFA=∠ 2$.所以$HC// GE$.
解析
【分析】
要判断图中互相平行的直线，需用到平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。首先观察已知角的位置：∠3和∠HFA是邻补角，和为180°，可先算出∠HFA的度数；再分别对比∠HFA与∠1、∠HFA与∠2的大小关系，若它们分别相等且为同位角，即可推出对应的两组直线平行。
【解析】
解：$AB// MD$，$HC// GE$，理由如下：
∵ $∠ 3=65°$，$∠ 3+∠ HFA=180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ HFA=180°-∠ 3=180°-65°=115°$。
∵ $∠1=115°$，
∴ $∠ HFA=∠1$（等量代换），
∴ $AB// MD$（同位角相等，两直线平行）。
又
∵ $∠2=115°$，
∴ $∠ HFA=∠2$（等量代换），
∴ $HC// GE$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$AB// MD$，$HC// GE$；理由：因为$∠ 3=65°$，$∠ 3+∠ HFA=180°$，所以$∠ HFA=180°-∠ 3=180°-65°=115°$。因为$∠ 1=115°$，所以$∠ HFA=∠ 1$，所以$AB// MD$。因为$∠ 1=∠ 2$，所以$∠ HFA=∠ 2$，所以$HC// GE$。
【知识点】
1. 邻补角定义
2. 平行线的判定
【点评】
本题是平行线判定的基础应用题，解题的关键是准确识别同位角，结合邻补角的运算得到相等的同位角，进而判断直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要判断图中互相平行的直线，需用到平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。首先观察已知角的位置：∠3和∠HFA是邻补角，和为180°，可先算出∠HFA的度数；再分别对比∠HFA与∠1、∠HFA与∠2的大小关系，若它们分别相等且为同位角，即可推出对应的两组直线平行。
【解析】
解：$AB// MD$，$HC// GE$，理由如下：
∵ $∠ 3=65°$，$∠ 3+∠ HFA=180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ HFA=180°-∠ 3=180°-65°=115°$。
∵ $∠1=115°$，
∴ $∠ HFA=∠1$（等量代换），
∴ $AB// MD$（同位角相等，两直线平行）。
又
∵ $∠2=115°$，
∴ $∠ HFA=∠2$（等量代换），
∴ $HC// GE$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$AB// MD$，$HC// GE$；理由：因为$∠ 3=65°$，$∠ 3+∠ HFA=180°$，所以$∠ HFA=180°-∠ 3=180°-65°=115°$。因为$∠ 1=115°$，所以$∠ HFA=∠ 1$，所以$AB// MD$。因为$∠ 1=∠ 2$，所以$∠ HFA=∠ 2$，所以$HC// GE$。
【知识点】
1. 邻补角定义
2. 平行线的判定
【点评】
本题是平行线判定的基础应用题，解题的关键是准确识别同位角，结合邻补角的运算得到相等的同位角，进而判断直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.8
6 如图,下列推理中,正确的是 (
A.因为$∠1=∠3$,所以$AB// CD$
B.因为$∠1=∠3$,所以$AE// CF$
C.因为$∠2=∠4$,所以$AB// CD$
D.因为$∠2=∠4$,所以$AE// CF$
D
)A.因为$∠1=∠3$,所以$AB// CD$
B.因为$∠1=∠3$,所以$AE// CF$
C.因为$∠2=∠4$,所以$AB// CD$
D.因为$∠2=∠4$,所以$AE// CF$
答案
6. D
解析
【分析】
要判断哪个推理正确，需结合“同位角相等，两直线平行”的判定定理分析：首先识别每个选项中相等的两个角是哪两条直线被第三条直线所截得到的同位角，再判断对应的平行结论是否匹配。若两个角不是同位角，或同位角对应的被截直线与结论中的平行直线不一致，则推理错误。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A、B：∠1和∠3不是两条直线被AC所截形成的同位角，因此无论∠1和∠3是否相等，都不能推出$AB// CD$或$AE// CF$，故A、B错误。
选项C、D：∠2和∠4是直线AE、CF被直线AC所截形成的同位角，因此当$∠2=∠4$时，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出$AE// CF$，无法推出$AB// CD$，故C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
同位角的识别；平行线的判定
【点评】
本题是平行线判定的基础题，解题的核心是准确识别同位角，明确相等的同位角对应的两条被截直线，避免混淆平行的直线对象。
【难度系数】
0.7
要判断哪个推理正确，需结合“同位角相等，两直线平行”的判定定理分析：首先识别每个选项中相等的两个角是哪两条直线被第三条直线所截得到的同位角，再判断对应的平行结论是否匹配。若两个角不是同位角，或同位角对应的被截直线与结论中的平行直线不一致，则推理错误。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A、B：∠1和∠3不是两条直线被AC所截形成的同位角，因此无论∠1和∠3是否相等，都不能推出$AB// CD$或$AE// CF$，故A、B错误。
选项C、D：∠2和∠4是直线AE、CF被直线AC所截形成的同位角，因此当$∠2=∠4$时，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出$AE// CF$，无法推出$AB// CD$，故C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
同位角的识别；平行线的判定
【点评】
本题是平行线判定的基础题，解题的核心是准确识别同位角，明确相等的同位角对应的两条被截直线，避免混淆平行的直线对象。
【难度系数】
0.7
7 [2025 泗阳期末]如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1=135°，∠2=65°。若要使直线a//b，则将直线b绕点B按逆时针方向至少旋转（
A.$10°$
B.$20°$
C.$60°$
D.$130°$
B
）A.$10°$
B.$20°$
C.$60°$
D.$130°$
答案
7. B
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”来思考：首先需要找到直线a、b被直线c所截形成的同位角，先计算出当a//b时∠2需要达到的度数，再用当前∠2的度数减去这个度数，就能得到直线b需要旋转的最小角度。第一步先求∠1的邻补角，也就是和∠2互为同位角的角的度数；第二步根据平行线判定要求得到平行时∠2的度数；第三步计算角度差就是旋转角度。
【解析】
∵ 直线a与c相交于点A，∠1=135°
∴ ∠1的邻补角（与∠2为同位角）的度数为：$180° - 135° = 45°$
根据“同位角相等，两直线平行”，要使$a// b$，需∠2等于该同位角的度数，即$∠ 2=45°$
已知当前$∠ 2=65°$，直线b绕点B逆时针旋转时∠2的度数会减小，
因此至少旋转的度数为：$65° - 45° = 20°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定，邻补角的性质
【点评】
本题是平行线判定的基础应用题型，解题的关键是找准对应的同位角，结合旋转的变化规律计算角度差，是对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以利用平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”来思考：首先需要找到直线a、b被直线c所截形成的同位角，先计算出当a//b时∠2需要达到的度数，再用当前∠2的度数减去这个度数，就能得到直线b需要旋转的最小角度。第一步先求∠1的邻补角，也就是和∠2互为同位角的角的度数；第二步根据平行线判定要求得到平行时∠2的度数；第三步计算角度差就是旋转角度。
【解析】
∵ 直线a与c相交于点A，∠1=135°
∴ ∠1的邻补角（与∠2为同位角）的度数为：$180° - 135° = 45°$
根据“同位角相等，两直线平行”，要使$a// b$，需∠2等于该同位角的度数，即$∠ 2=45°$
已知当前$∠ 2=65°$，直线b绕点B逆时针旋转时∠2的度数会减小，
因此至少旋转的度数为：$65° - 45° = 20°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定，邻补角的性质
【点评】
本题是平行线判定的基础应用题型，解题的关键是找准对应的同位角，结合旋转的变化规律计算角度差，是对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
