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1. 下列各式:①$-5＜2$;②$4x+7＞0$;③$x=5$;④$x^2 - xy + y^2$;⑤$x-4＞y+1$.其中是不等式的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确不等式的核心定义：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接、表示大小关系的式子叫做不等式。解题时只需逐个判断给出的5个式子是否满足“含有不等号”这一核心特征，统计符合条件的式子数量即可得到答案。
【解析】
根据不等式的定义逐一判断：
1. 式子①$-5＜2$，含有不等号“＜”，属于不等式；
2. 式子②$4x+7＞0$，含有不等号“＞”，属于不等式；
3. 式子③$x=5$，含有等号，是等式，不属于不等式；
4. 式子④$x^2 - xy + y^2$，是没有连接符号的代数式，不含不等号，不属于不等式；
5. 式子⑤$x-4＞y+1$，含有不等号“＞”，属于不等式。
综上，属于不等式的有①②⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
不等式的定义
【点评】
本题是基础概念题，解题核心是抓住不等式的本质特征——式子中含有不等号，注意不要将等式、无连接符号的代数式误认为是不等式。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确不等式的核心定义：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接、表示大小关系的式子叫做不等式。解题时只需逐个判断给出的5个式子是否满足“含有不等号”这一核心特征，统计符合条件的式子数量即可得到答案。
【解析】
根据不等式的定义逐一判断：
1. 式子①$-5＜2$，含有不等号“＜”，属于不等式；
2. 式子②$4x+7＞0$，含有不等号“＞”，属于不等式；
3. 式子③$x=5$，含有等号，是等式，不属于不等式；
4. 式子④$x^2 - xy + y^2$，是没有连接符号的代数式，不含不等号，不属于不等式；
5. 式子⑤$x-4＞y+1$，含有不等号“＞”，属于不等式。
综上，属于不等式的有①②⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
不等式的定义
【点评】
本题是基础概念题，解题核心是抓住不等式的本质特征——式子中含有不等号，注意不要将等式、无连接符号的代数式误认为是不等式。
【难度系数】
0.8
2. 已知$a ＜ b$,则下列不等式中不正确的是 （
A.$3a ＜ 3b$
B.$a + 3 ＜ b + 3$
C.$-3a ＜ -3b$
D.$a - 3 ＜ b - 3$
C
）A.$3a ＜ 3b$
B.$a + 3 ＜ b + 3$
C.$-3a ＜ -3b$
D.$a - 3 ＜ b - 3$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查不等式基本性质的应用，解题时先回忆不等式的三个基本性质，再结合已知条件$a ＜ b$，逐一分析每个选项是否符合性质，最终找出不正确的选项即可。具体逻辑：首先明确不等式的核心性质：加减同一个数时不等号方向不变；乘除同一个正数时不等号方向不变；乘除同一个负数时不等号方向需要改变，再对应逐个选项判断。
【解析】
根据不等式的基本性质逐一判断：
A选项：不等式两边同时乘正数3，不等号方向不变，由$a ＜ b$可推出$3a ＜ 3b$，该选项正确；
B选项：不等式两边同时加3，不等号方向不变，由$a ＜ b$可推出$a + 3 ＜ b + 3$，该选项正确；
C选项：不等式两边同时乘负数-3，不等号方向需要改变，由$a ＜ b$可推出$-3a ＞ -3b$，而非$-3a ＜ -3b$，该选项错误；
D选项：不等式两边同时减3，不等号方向不变，由$a ＜ b$可推出$a - 3 ＜ b - 3$，该选项正确。
综上，不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式性质的基础考查题，易错点是当不等式两边乘负数时，容易忘记改变不等号的方向，做题时要注意区分乘除的数是正数还是负数，准确判断不等号方向。
【难度系数】
0.8
本题考查不等式基本性质的应用，解题时先回忆不等式的三个基本性质，再结合已知条件$a ＜ b$，逐一分析每个选项是否符合性质，最终找出不正确的选项即可。具体逻辑：首先明确不等式的核心性质：加减同一个数时不等号方向不变；乘除同一个正数时不等号方向不变；乘除同一个负数时不等号方向需要改变，再对应逐个选项判断。
【解析】
根据不等式的基本性质逐一判断：
A选项：不等式两边同时乘正数3，不等号方向不变，由$a ＜ b$可推出$3a ＜ 3b$，该选项正确；
B选项：不等式两边同时加3，不等号方向不变，由$a ＜ b$可推出$a + 3 ＜ b + 3$，该选项正确；
C选项：不等式两边同时乘负数-3，不等号方向需要改变，由$a ＜ b$可推出$-3a ＞ -3b$，而非$-3a ＜ -3b$，该选项错误；
D选项：不等式两边同时减3，不等号方向不变，由$a ＜ b$可推出$a - 3 ＜ b - 3$，该选项正确。
综上，不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式性质的基础考查题，易错点是当不等式两边乘负数时，容易忘记改变不等号的方向，做题时要注意区分乘除的数是正数还是负数，准确判断不等号方向。
【难度系数】
0.8
3. 下列不等式组:①$\begin{cases} x＞-2, \\ x＜3; \end{cases}$ ②$\begin{cases} x＞0, \\ x+2＞4; \end{cases}$ ③$\begin{cases} x+1＞0, \\ y-4＜0; \end{cases}$ ④$\begin{cases} x+3＞0, \\ x＜-7; \end{cases}$ ⑤$\begin{cases} x^2+1＜x, \\ x^2+2＞4. \end{cases}$
其中是一元一次不等式组的有 （
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
其中是一元一次不等式组的有 （
B
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
3.B
解析
【分析】要判断给出的不等式组是否为一元一次不等式组，需紧扣一元一次不等式组的定义：一是组成不等式组的所有不等式都只含有同一个未知数；二是每个不等式中未知数的最高次数为1，且都是整式不等式。我们按照这个标准逐一分析每个不等式组即可得到正确结果。
【解析】一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
对5个不等式组逐一判断：
① 两个不等式均只含未知数x，且x的最高次数为1，符合定义，属于一元一次不等式组；
② 化简第二个不等式得x＞2，两个不等式均只含未知数x，x的最高次数为1，符合定义，属于一元一次不等式组；
③ 不等式组中含有x、y两个不同的未知数，不符合要求，不属于一元一次不等式组；
④ 两个不等式均只含未知数x，x的最高次数为1，即使该不等式组无解，仍符合一元一次不等式组的定义，属于一元一次不等式组；
⑤ 第一个不等式中x的最高次数为2，不是一元一次不等式，因此该组不属于一元一次不等式组。
综上，属于一元一次不等式组的有①②④，共3个。
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的定义
【点评】本题是基础概念考查题，解题关键是准确理解一元一次不等式组的定义，注意不要将“不等式组有解”作为判断的依据，也不要忽略对未知数的个数、次数的校验。
【难度系数】0.7
【解析】一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
对5个不等式组逐一判断：
① 两个不等式均只含未知数x，且x的最高次数为1，符合定义，属于一元一次不等式组；
② 化简第二个不等式得x＞2，两个不等式均只含未知数x，x的最高次数为1，符合定义，属于一元一次不等式组；
③ 不等式组中含有x、y两个不同的未知数，不符合要求，不属于一元一次不等式组；
④ 两个不等式均只含未知数x，x的最高次数为1，即使该不等式组无解，仍符合一元一次不等式组的定义，属于一元一次不等式组；
⑤ 第一个不等式中x的最高次数为2，不是一元一次不等式，因此该组不属于一元一次不等式组。
综上，属于一元一次不等式组的有①②④，共3个。
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的定义
【点评】本题是基础概念考查题，解题关键是准确理解一元一次不等式组的定义，注意不要将“不等式组有解”作为判断的依据，也不要忽略对未知数的个数、次数的校验。
【难度系数】0.7
4. 不等式$2x＞4$的解集在数轴上表示正确的是（
B
）答案
4.B
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先求解不等式$2x＞4$的解集，第二步根据数轴表示不等式解集的规则判断正确选项。首先解不等式时，根据不等式的性质，两边同时除以正数2，不等号方向不变，得到$x＞2$。再回忆数轴表示的规则：不等号是“＞”，说明解集在分界点2的右侧，折线向右延伸；且不包含2这个点，所以分界点处要用空心圆圈，据此逐一排除错误选项即可。
【解析】
第一步：解不等式$2x＞4$
不等式两边同时除以2，不等号方向不变，可得：$x＞2$
第二步：判断数轴表示的正误
根据数轴表示解集的规则：
1. $x＞2$表示所有大于2的数，折线应向右延伸，因此排除折线向左的选项A、D；
2. $x＞2$不包含2这个点，分界点2处应画空心圆圈，因此排除画实心圆点的选项C。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是基础类题型，重点考查一元一次不等式的求解，以及不等式解集在数轴上的规范表示，解题时要注意区分空心圆圈和实心圆点的使用场景，同时明确折线延伸方向和不等号的对应关系，避免混淆出错。
【难度系数】
0.9
解题思路分为两步：第一步先求解不等式$2x＞4$的解集，第二步根据数轴表示不等式解集的规则判断正确选项。首先解不等式时，根据不等式的性质，两边同时除以正数2，不等号方向不变，得到$x＞2$。再回忆数轴表示的规则：不等号是“＞”，说明解集在分界点2的右侧，折线向右延伸；且不包含2这个点，所以分界点处要用空心圆圈，据此逐一排除错误选项即可。
【解析】
第一步：解不等式$2x＞4$
不等式两边同时除以2，不等号方向不变，可得：$x＞2$
第二步：判断数轴表示的正误
根据数轴表示解集的规则：
1. $x＞2$表示所有大于2的数，折线应向右延伸，因此排除折线向左的选项A、D；
2. $x＞2$不包含2这个点，分界点2处应画空心圆圈，因此排除画实心圆点的选项C。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是基础类题型，重点考查一元一次不等式的求解，以及不等式解集在数轴上的规范表示，解题时要注意区分空心圆圈和实心圆点的使用场景，同时明确折线延伸方向和不等号的对应关系，避免混淆出错。
【难度系数】
0.9
5.若关于$x$的方程$\frac{1}{2}x + k = \frac{2x - k}{3} + 2$的解是非负数，则$k$的取值范围是（
A.$k ＜ -\frac{2}{3}$
B.$k ≤ -\frac{2}{3}$
C.$k ＞ \frac{3}{2}$
D.$k ≥ \frac{3}{2}$
D
）A.$k ＜ -\frac{2}{3}$
B.$k ≤ -\frac{2}{3}$
C.$k ＞ \frac{3}{2}$
D.$k ≥ \frac{3}{2}$
答案
5.D
解析
【分析】
本题是含参数的一元一次方程与不等式的综合题，解题思路分为三步：第一步，把参数k当作常数，按照一元一次方程的解法步骤求出x用k表示的代数式；第二步，根据题目给出“解是非负数”的条件，即x≥0，列出关于k的一元一次不等式；第三步，解不等式得到k的取值范围，再对应选项选出答案即可。
【解析】
首先解关于x的方程$\frac{1}{2}x + k = \frac{2x - k}{3} + 2$：
1. 去分母，两边同时乘6得：$3x + 6k = 2(2x - k) + 12$
2. 去括号得：$3x + 6k = 4x - 2k + 12$
3. 移项合并同类项得：$-x = 12 - 8k$
4. 系数化为1得：$x = 8k - 12$
因为方程的解是非负数，所以$x ≥ 0$，即：
$8k - 12 ≥ 0$
解这个不等式：
$8k ≥ 12$
$k ≥ \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
因此k的取值范围是$k ≥ \frac{3}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解法；一元一次不等式的解法；方程解的定义
【点评】
本题属于方程与不等式的基础综合题，解题的核心是先将参数视为常数求解方程，再结合解的限制条件列不等式求解，计算时注意去分母不要漏乘常数项，不等式两边同时乘除负数时要改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
本题是含参数的一元一次方程与不等式的综合题，解题思路分为三步：第一步，把参数k当作常数，按照一元一次方程的解法步骤求出x用k表示的代数式；第二步，根据题目给出“解是非负数”的条件，即x≥0，列出关于k的一元一次不等式；第三步，解不等式得到k的取值范围，再对应选项选出答案即可。
【解析】
首先解关于x的方程$\frac{1}{2}x + k = \frac{2x - k}{3} + 2$：
1. 去分母，两边同时乘6得：$3x + 6k = 2(2x - k) + 12$
2. 去括号得：$3x + 6k = 4x - 2k + 12$
3. 移项合并同类项得：$-x = 12 - 8k$
4. 系数化为1得：$x = 8k - 12$
因为方程的解是非负数，所以$x ≥ 0$，即：
$8k - 12 ≥ 0$
解这个不等式：
$8k ≥ 12$
$k ≥ \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
因此k的取值范围是$k ≥ \frac{3}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解法；一元一次不等式的解法；方程解的定义
【点评】
本题属于方程与不等式的基础综合题，解题的核心是先将参数视为常数求解方程，再结合解的限制条件列不等式求解，计算时注意去分母不要漏乘常数项，不等式两边同时乘除负数时要改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
6.某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，答错或不答一题，则扣3分.
要使总分不低于70分，则至少答对的题数为 （
A.15道
B.14道
C.13道
D.12道
要使总分不低于70分，则至少答对的题数为 （
C
）A.15道
B.14道
C.13道
D.12道
答案
6.C
解析
【分析】
这是一道一元一次不等式的实际应用题，解题思路如下：首先设答对的题数为未知数，用总题数表示出错或不答的题数；再根据得分规则和“总分不低于70分”的不等关系列出不等式；求解不等式后，结合题数为正整数的实际要求，取最小的符合条件的整数解即可。
【解析】
设答对的题数为$ x $道，则答错或不答的题数为$ (30 - x) $道。
根据总分不低于70分的要求，可列不等式：
$ 10x - 3(30 - x) ≥ 70 $
展开不等式左边：$ 10x - 90 + 3x ≥ 70 $
合并同类项：$ 13x - 90 ≥ 70 $
移项得：$ 13x ≥ 160 $
解得：$ x ≥ \frac{160}{13} \approx 12.31 $
因为$ x $为正整数，所以$ x $的最小取值为13，即至少答对13道题。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的应用；不等式的整数解
【点评】
本题属于不等式实际应用的常规题型，解题核心是准确抓住题干中的不等关系列不等式，易错点是忽略题数为正整数的实际限制，需要对计算结果取符合要求的整数解。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次不等式的实际应用题，解题思路如下：首先设答对的题数为未知数，用总题数表示出错或不答的题数；再根据得分规则和“总分不低于70分”的不等关系列出不等式；求解不等式后，结合题数为正整数的实际要求，取最小的符合条件的整数解即可。
【解析】
设答对的题数为$ x $道，则答错或不答的题数为$ (30 - x) $道。
根据总分不低于70分的要求，可列不等式：
$ 10x - 3(30 - x) ≥ 70 $
展开不等式左边：$ 10x - 90 + 3x ≥ 70 $
合并同类项：$ 13x - 90 ≥ 70 $
移项得：$ 13x ≥ 160 $
解得：$ x ≥ \frac{160}{13} \approx 12.31 $
因为$ x $为正整数，所以$ x $的最小取值为13，即至少答对13道题。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的应用；不等式的整数解
【点评】
本题属于不等式实际应用的常规题型，解题核心是准确抓住题干中的不等关系列不等式，易错点是忽略题数为正整数的实际限制，需要对计算结果取符合要求的整数解。
【难度系数】
0.7
7.实数a使得关于x的不等式组$\begin{cases}6-2x＞0,\\2(x+a)≥ x+3\end{cases}$至少有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A.$a≥2$
B.$a≤2$
C.$a＞2$
D.$a＜2$
A.$a≥2$
B.$a≤2$
C.$a＞2$
D.$a＜2$
答案
7.A
解析
【分析】
这是含参数的一元一次不等式组整数解问题，解题思路清晰：第一步先分别求解两个一元一次不等式，得到含参数a的不等式组解集；第二步结合“至少有4个整数解”的要求，确定小于3的最小整数解边界，建立关于a的不等关系；第三步解关于a的不等式即可得到结果，解题时要注意不等号方向变化规则。
【解析】
第一步：分别求解两个不等式
解不等式$6-2x＞0$：
移项得$-2x＞-6$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x＜3$。
解不等式$2(x+a)≥x+3$：
去括号得$2x+2a≥x+3$，移项合并同类项得$x≥3-2a$。
第二步：确定不等式组的解集
原不等式组的解集为$\boxed{3-2a ≤x ＜3}$。
第三步：结合整数解要求求a的范围
小于3的整数从大到小依次为2、1、0、-1，要至少有4个整数解，需保证-1在解集范围内，即$3-2a ≤-1$。
解这个不等式：
移项得$-2a ≤-4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$a≥2$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式组的解集、不等式组整数解应用
【点评】
本题是不等式模块的基础常考题型，重点考察不等式的运算规则和整数解的边界判断，解题时需格外注意不等式两边乘除负数时，不等号方向要改变，同时要验证边界值是否满足题目要求。
【难度系数】
0.7
这是含参数的一元一次不等式组整数解问题，解题思路清晰：第一步先分别求解两个一元一次不等式，得到含参数a的不等式组解集；第二步结合“至少有4个整数解”的要求，确定小于3的最小整数解边界，建立关于a的不等关系；第三步解关于a的不等式即可得到结果，解题时要注意不等号方向变化规则。
【解析】
第一步：分别求解两个不等式
解不等式$6-2x＞0$：
移项得$-2x＞-6$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x＜3$。
解不等式$2(x+a)≥x+3$：
去括号得$2x+2a≥x+3$，移项合并同类项得$x≥3-2a$。
第二步：确定不等式组的解集
原不等式组的解集为$\boxed{3-2a ≤x ＜3}$。
第三步：结合整数解要求求a的范围
小于3的整数从大到小依次为2、1、0、-1，要至少有4个整数解，需保证-1在解集范围内，即$3-2a ≤-1$。
解这个不等式：
移项得$-2a ≤-4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$a≥2$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式组的解集、不等式组整数解应用
【点评】
本题是不等式模块的基础常考题型，重点考察不等式的运算规则和整数解的边界判断，解题时需格外注意不等式两边乘除负数时，不等号方向要改变，同时要验证边界值是否满足题目要求。
【难度系数】
0.7
