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10. 如图，在平面直角坐标系中摆放着一个轴对称图形，其中点$A(-6,6)$的对称点$A'$的坐标为$(0,6)$，点$M(m,n)$为图形上的一点，则点$M$在图形上的对称点的坐标为________。
答案
10. $(-6-m,n)$ 【点拨】因为点 $A(-6,6)$ 的对称点 $A'$ 的坐标为 $(0,6)$,所以对称轴为直线 $x=-3$. 设点 $M$ 在图形上的对称点的坐标为 $(m',n')$,所以 $\frac{m+m'}{2}=-3$, $n'=n$. 所以 $m'=-6-m$. 所以点 $M$ 在图形上的对称点的坐标为 $(-6-m,n)$.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们首先需要确定轴对称图形的对称轴，再根据对称轴的位置推导任意点的对称点坐标。第一步：观察已知对称点A(-6,6)和A'(0,6)，发现两点纵坐标相等，说明对称轴是平行于y轴的直线，其横坐标为两点横坐标的平均值；第二步：确定对称轴后，设点M的对称点坐标为(m',n')，根据轴对称的性质，关于平行于y轴的直线对称的两点纵坐标相等，且横坐标的平均值等于对称轴的横坐标，据此列方程求解即可得到对称点坐标。
【解析】
1. 求对称轴位置
已知点A(-6,6)的对称点为A'(0,6)，两点纵坐标相同，因此对称轴为平行于y轴的直线，对称轴的横坐标为A、A'横坐标的平均值：
$x=\frac{-6+0}{2}=-3$，即对称轴为直线$\boldsymbol{x=-3}$。
2. 求点M(m,n)的对称点坐标
设点M的对称点坐标为$(m',n')$，根据轴对称的性质：
① 关于直线$x=-3$对称的两点纵坐标相等，因此$n'=n$；
② 两点横坐标的中点在对称轴上，因此$\frac{m+m'}{2}=-3$。
对$\frac{m+m'}{2}=-3$求解：两边同乘2得$m+m'=-6$，移项得$m'=-6-m$。
综上，点M的对称点坐标为$(-6-m,n)$。
【答案】
$(-6-m,n)$
【知识点】
1. 轴对称的坐标特征
2. 中点坐标计算
【点评】
本题解题核心是先利用已知对称点确定对称轴位置，再结合轴对称的坐标规律求解未知对称点。解题时要注意：当对称轴平行于y轴时，对称点的纵坐标保持不变，仅横坐标变化，熟练掌握该规律可快速解决同类坐标对称问题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们首先需要确定轴对称图形的对称轴，再根据对称轴的位置推导任意点的对称点坐标。第一步：观察已知对称点A(-6,6)和A'(0,6)，发现两点纵坐标相等，说明对称轴是平行于y轴的直线，其横坐标为两点横坐标的平均值；第二步：确定对称轴后，设点M的对称点坐标为(m',n')，根据轴对称的性质，关于平行于y轴的直线对称的两点纵坐标相等，且横坐标的平均值等于对称轴的横坐标，据此列方程求解即可得到对称点坐标。
【解析】
1. 求对称轴位置
已知点A(-6,6)的对称点为A'(0,6)，两点纵坐标相同，因此对称轴为平行于y轴的直线，对称轴的横坐标为A、A'横坐标的平均值：
$x=\frac{-6+0}{2}=-3$，即对称轴为直线$\boldsymbol{x=-3}$。
2. 求点M(m,n)的对称点坐标
设点M的对称点坐标为$(m',n')$，根据轴对称的性质：
① 关于直线$x=-3$对称的两点纵坐标相等，因此$n'=n$；
② 两点横坐标的中点在对称轴上，因此$\frac{m+m'}{2}=-3$。
对$\frac{m+m'}{2}=-3$求解：两边同乘2得$m+m'=-6$，移项得$m'=-6-m$。
综上，点M的对称点坐标为$(-6-m,n)$。
【答案】
$(-6-m,n)$
【知识点】
1. 轴对称的坐标特征
2. 中点坐标计算
【点评】
本题解题核心是先利用已知对称点确定对称轴位置，再结合轴对称的坐标规律求解未知对称点。解题时要注意：当对称轴平行于y轴时，对称点的纵坐标保持不变，仅横坐标变化，熟练掌握该规律可快速解决同类坐标对称问题。
【难度系数】
0.7
11. 如图，已知平面直角坐标系中的两点$A(0,4)$，$B(1,0)$，$P$为线段$AB$上一动点(不与点$A$，$B$重合)，作点$B$关于直线$OP$的对称点$C$，则线段$AC$长度的取值范围是
$3≤AC＜\sqrt{17}$
。答案
11. $3≤AC＜\sqrt{17}$ 【点拨】如图,连接 $OC$. 因为 $A(0,4)$, $B(1,0)$,所以 $OA=4$,$OB=1$,所以 $AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{17}$. 因为 $C$ 是点 $B$ 关于直线 $OP$ 的对称点,所以 $OC=OB=1$. 因为 $OA-OC≤AC$,所以 $AC≥3$. 因为 $P$ 为线段 $AB$ 上一动点(不与点 $A,B$ 重合),所以 $AC＜AB=\sqrt{17}$,所以线段 $AC$ 长度的取值范围是 $3≤AC＜\sqrt{17}$.
解析
【分析】
解题时先从轴对称的性质入手：点B和点C关于直线OP对称，因此OC始终等于OB，可确定点C的运动轨迹是以O为圆心、OB长为半径的圆。接下来求定点A到圆上动点C的距离范围：①根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，当O、C、A三点共线且C在O和A之间时，AC取得最小值，为OA减去OC的长度；②再结合动点P的限制条件：P不与A、B重合，因此C不能与点B重合，AC无法达到AB的长度，据此即可确定AC的取值范围。
【解析】
解：连接OC，
∵$A(0,4)$，$B(1,0)$，
∴$OA=4$，$OB=1$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，
∵C是点B关于直线OP的对称点，
∴$OC=OB=1$，
根据三角形三边关系可得$AC≥ OA-OC=4-1=3$（当且仅当O、C、A三点共线时取等号），
又
∵P为线段AB上一动点（不与点A，B重合），
∴C不与点B重合，因此$AC＜AB=\sqrt{17}$，
综上可得线段AC长度的取值范围。
【答案】
$3≤AC＜\sqrt{17}$
【知识点】
轴对称的性质；勾股定理；三角形三边关系
【点评】
本题是动点结合轴对称的综合题，解题关键是利用轴对称的性质确定动点C的运动轨迹，再结合三角形三边关系求线段的最值，要注意题干中动点的限制条件，排除不符合要求的端点值。
【难度系数】
0.6
解题时先从轴对称的性质入手：点B和点C关于直线OP对称，因此OC始终等于OB，可确定点C的运动轨迹是以O为圆心、OB长为半径的圆。接下来求定点A到圆上动点C的距离范围：①根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，当O、C、A三点共线且C在O和A之间时，AC取得最小值，为OA减去OC的长度；②再结合动点P的限制条件：P不与A、B重合，因此C不能与点B重合，AC无法达到AB的长度，据此即可确定AC的取值范围。
【解析】
解：连接OC，
∵$A(0,4)$，$B(1,0)$，
∴$OA=4$，$OB=1$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，
∵C是点B关于直线OP的对称点，
∴$OC=OB=1$，
根据三角形三边关系可得$AC≥ OA-OC=4-1=3$（当且仅当O、C、A三点共线时取等号），
又
∵P为线段AB上一动点（不与点A，B重合），
∴C不与点B重合，因此$AC＜AB=\sqrt{17}$，
综上可得线段AC长度的取值范围。
【答案】
$3≤AC＜\sqrt{17}$
【知识点】
轴对称的性质；勾股定理；三角形三边关系
【点评】
本题是动点结合轴对称的综合题，解题关键是利用轴对称的性质确定动点C的运动轨迹，再结合三角形三边关系求线段的最值，要注意题干中动点的限制条件，排除不符合要求的端点值。
【难度系数】
0.6
12. 母题 教材$P_{71}$习题$T_3$ 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A$的坐标为$(-5,5)$,点$B$的坐标为$(-1,-2)$,点$C$的坐标为$(3,0)$.
(1)请画出$△ ABC$关于$y$轴对称的图形$△ DEF$(点$A,B,C$的对称点分别为$D,E,F$);
(2)求$△ ABC$的面积;
(3)在$y$轴上找一点$M$,使$△ ABM$的周长最小,并求出这个最小值.
(1)请画出$△ ABC$关于$y$轴对称的图形$△ DEF$(点$A,B,C$的对称点分别为$D,E,F$);
(2)求$△ ABC$的面积;
(3)在$y$轴上找一点$M$,使$△ ABM$的周长最小,并求出这个最小值.
答案
12. 【解】(1)如图,$△ DEF$ 即为所求.
(2)$S_{△ ABC}=7×8-4×7×\frac{1}{2}-2×4×\frac{1}{2}-5×8×\frac{1}{2}=56-14-4-20=18$.
(3)如图,连接 $AE$,交 $y$ 轴于点 $M$,连接 $BM$,由对称可得 $BM=ME$,易知此时 $△ ABM$ 的周长最小.
$△ ABM$ 周长的最小值为 $AB+AM+BM=AB+AM+ME=AB+AE$.
易知 $E(1,-2)$,
又因为 $A(-5,5),B(-1,-2)$,
所以 $AB=\sqrt{(-5+1)^2+(5+2)^2}=\sqrt{65}$,
$AE=\sqrt{(-5-1)^2+(5+2)^2}=\sqrt{85}$.
所以 $△ ABM$ 周长的最小值为 $\sqrt{85}+\sqrt{65}$.
解析
【分析】
(1) 要画出△ABC关于y轴对称的△DEF，首先利用关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数，先求出A、B、C三点对应对称点D、E、F的坐标，再顺次连接三点即可。
(2) 求格点三角形面积可采用割补法：将△ABC放入可覆盖它的最小矩形中，用矩形面积减去△ABC周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
(3) △ABM的周长为AB+AM+BM，其中AB长度是定值，因此要让周长最小，只需让AM+BM最小，属于典型的“将军饮马”最短路径问题：作点B关于y轴的对称点E，根据轴对称性质可知BM=EM，因此AM+BM=AM+EM，当A、M、E三点共线时，AM+EM的和最小，等于AE的长度，最后用勾股定理计算AB和AE的长度，相加即为周长最小值。
【解析】
(1) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标变为相反数，可得A(-5,5)的对称点D(5,5)，B(-1,-2)的对称点E(1,-2)，C(3,0)的对称点F(-3,0)，顺次连接D、E、F，得到的△DEF即为所求。
(2) 覆盖△ABC的矩形长为$3-(-5)=8$，宽为$5-(-2)=7$，矩形面积为$7×8=56$。
矩形内三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×4×7=14$，$\frac{1}{2}×2×4=4$，$\frac{1}{2}×5×8=20$。
因此$S_{△ABC}=56-14-4-20=18$。
(3) 作点B关于y轴的对称点E，由轴对称性质得BM=EM，因此AM+BM=AM+EM，根据两点之间线段最短，当A、M、E三点共线时，AM+EM取最小值，等于AE的长度，此时AE与y轴的交点即为所求点M。
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{(-5+1)^2+(5+2)^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}$，
$AE=\sqrt{(-5-1)^2+(5+2)^2}=\sqrt{36+49}=\sqrt{85}$，
因此△ABM周长的最小值为$AB+AE=\sqrt{65}+\sqrt{85}$。
【答案】
(1) 如图，△DEF即为所求。
(2) $S_{△ABC}=18$
(3) 点M为AE与y轴的交点，△ABM周长的最小值为$\sqrt{85}+\sqrt{65}$
【知识点】
1. 轴对称的坐标特征
2. 割补法求面积
3. 最短路径问题
【点评】
本题综合性较强，涵盖了坐标轴对称变换、不规则格点图形面积计算、最短路径模型应用等内容，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，灵活运用割补法和“将军饮马”模型转化问题，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要画出△ABC关于y轴对称的△DEF，首先利用关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数，先求出A、B、C三点对应对称点D、E、F的坐标，再顺次连接三点即可。
(2) 求格点三角形面积可采用割补法：将△ABC放入可覆盖它的最小矩形中，用矩形面积减去△ABC周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
(3) △ABM的周长为AB+AM+BM，其中AB长度是定值，因此要让周长最小，只需让AM+BM最小，属于典型的“将军饮马”最短路径问题：作点B关于y轴的对称点E，根据轴对称性质可知BM=EM，因此AM+BM=AM+EM，当A、M、E三点共线时，AM+EM的和最小，等于AE的长度，最后用勾股定理计算AB和AE的长度，相加即为周长最小值。
【解析】
(1) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标变为相反数，可得A(-5,5)的对称点D(5,5)，B(-1,-2)的对称点E(1,-2)，C(3,0)的对称点F(-3,0)，顺次连接D、E、F，得到的△DEF即为所求。
(2) 覆盖△ABC的矩形长为$3-(-5)=8$，宽为$5-(-2)=7$，矩形面积为$7×8=56$。
矩形内三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×4×7=14$，$\frac{1}{2}×2×4=4$，$\frac{1}{2}×5×8=20$。
因此$S_{△ABC}=56-14-4-20=18$。
(3) 作点B关于y轴的对称点E，由轴对称性质得BM=EM，因此AM+BM=AM+EM，根据两点之间线段最短，当A、M、E三点共线时，AM+EM取最小值，等于AE的长度，此时AE与y轴的交点即为所求点M。
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{(-5+1)^2+(5+2)^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}$，
$AE=\sqrt{(-5-1)^2+(5+2)^2}=\sqrt{36+49}=\sqrt{85}$，
因此△ABM周长的最小值为$AB+AE=\sqrt{65}+\sqrt{85}$。
【答案】
(1) 如图，△DEF即为所求。
(2) $S_{△ABC}=18$
(3) 点M为AE与y轴的交点，△ABM周长的最小值为$\sqrt{85}+\sqrt{65}$
【知识点】
1. 轴对称的坐标特征
2. 割补法求面积
3. 最短路径问题
【点评】
本题综合性较强，涵盖了坐标轴对称变换、不规则格点图形面积计算、最短路径模型应用等内容，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，灵活运用割补法和“将军饮马”模型转化问题，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13. 在平面直角坐标系$xOy$中，直线$l:x=m$表示经过点$(m,0)$，且平行于$y$轴的直线.给出如下定义:将点$P$关于$x$轴的对称点$P_1$，称为点$P$的一次反射点；将点$P_1$关于直线$l$的对称点$P_2$，称为点$P$关于直线$l$的二次反射点.例如，如图，点$M(3,2)$的一次反射点为$M_1(3,-2)$，点$M$关于直线$l:x=1$的二次反射点为$M_2(-1,-2)$.已知点$A(-1,-1),B(-3,1)$.
(1)点$A$的一次反射点为
(2)点$B$是点$A$关于直线$l_2:x=a$的二次反射点，求$a$的值；
(3)设点$A,B$关于直线$l_3:x=0$的二次反射点分别为$A_2,B_2$，求四边形$AB_2A_2B$的面积.
(1)点$A$的一次反射点为
(-1,1)
，点$A$关于直线$l_1:x=2$的二次反射点为(5,1)
；(2)点$B$是点$A$关于直线$l_2:x=a$的二次反射点，求$a$的值；
(3)设点$A,B$关于直线$l_3:x=0$的二次反射点分别为$A_2,B_2$，求四边形$AB_2A_2B$的面积.
答案
13. 【解】(1)$(-1,1);(5,1)$
(2)因为点 $B$ 是点 $A$ 关于直线 $l_2:x=a$ 的二次反射点,所以 $2a-(-1)=-3$. 所以 $a=-2$.
(3)因为 $A(-1,-1),B(-3,1)$,
所以点 $A,B$ 关于直线 $l_3:x=0$ 的二次反射点分别为 $A_2(1,1),B_2(3,-1)$.
所以易得四边形 $AB_2A_2B$ 的面积 $=4×2=8$.
(2)因为点 $B$ 是点 $A$ 关于直线 $l_2:x=a$ 的二次反射点,所以 $2a-(-1)=-3$. 所以 $a=-2$.
(3)因为 $A(-1,-1),B(-3,1)$,
所以点 $A,B$ 关于直线 $l_3:x=0$ 的二次反射点分别为 $A_2(1,1),B_2(3,-1)$.
所以易得四边形 $AB_2A_2B$ 的面积 $=4×2=8$.
解析
【分析】
解题需先明确两次反射的坐标变换规则：①一次反射是关于x轴对称，变换规律为横坐标不变，纵坐标变为相反数；②二次反射是一次反射后的点再关于平行于y轴的直线$x=m$对称，变换规律为纵坐标不变，两点横坐标的平均数等于$m$，即若点$(x_1,y)$关于$x=m$的对称点为$(x_2,y)$，则$x_2=2m-x_1$。
(1)直接按照两次反射的坐标规则计算即可；(2)先得到A的一次反射点坐标，再利用关于$x=a$对称的坐标关系列方程求$a$；(3)先算出$A_2$、$B_2$的坐标，分析四边形形状后计算面积。
【解析】
(1) 点$A(-1,-1)$的一次反射点是其关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标取相反数，得$(-1,1)$；
将一次反射点$(-1,1)$关于直线$x=2$对称，纵坐标仍为1，横坐标为$2×2 - (-1)=5$，故二次反射点为$(5,1)$。
(2) 点A的一次反射点为$A_1(-1,1)$，由题意$A_1$与$B(-3,1)$关于直线$x=a$对称，根据对称点坐标关系可得$2a - (-1) = -3$，解得$a=-2$。
(3) 求A的二次反射点$A_2$：A的一次反射点为$(-1,1)$，关于$x=0$对称的横坐标为$2×0 - (-1)=1$，故$A_2(1,1)$；
求B的二次反射点$B_2$：$B(-3,1)$的一次反射点为$(-3,-1)$，关于$x=0$对称的横坐标为$2×0 - (-3)=3$，故$B_2(3,-1)$；
得到四个点坐标为$A(-1,-1)$、$B(-3,1)$、$A_2(1,1)$、$B_2(3,-1)$，该四边形为平行四边形，底长为4，高为2，面积$=4×2=8$。
【答案】
(1)$(-1,1)$；$(5,1)$
(2)$a=-2$
(3)$8$
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；关于平行y轴对称的坐标特征；坐标系图形面积计算
【点评】
本题以新定义为背景，考查坐标轴对称的性质应用，解题核心是准确掌握不同对称方式下的坐标变换规律，计算难度较低，需注意坐标符号不要出错。
【难度系数】
0.7
解题需先明确两次反射的坐标变换规则：①一次反射是关于x轴对称，变换规律为横坐标不变，纵坐标变为相反数；②二次反射是一次反射后的点再关于平行于y轴的直线$x=m$对称，变换规律为纵坐标不变，两点横坐标的平均数等于$m$，即若点$(x_1,y)$关于$x=m$的对称点为$(x_2,y)$，则$x_2=2m-x_1$。
(1)直接按照两次反射的坐标规则计算即可；(2)先得到A的一次反射点坐标，再利用关于$x=a$对称的坐标关系列方程求$a$；(3)先算出$A_2$、$B_2$的坐标，分析四边形形状后计算面积。
【解析】
(1) 点$A(-1,-1)$的一次反射点是其关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标取相反数，得$(-1,1)$；
将一次反射点$(-1,1)$关于直线$x=2$对称，纵坐标仍为1，横坐标为$2×2 - (-1)=5$，故二次反射点为$(5,1)$。
(2) 点A的一次反射点为$A_1(-1,1)$，由题意$A_1$与$B(-3,1)$关于直线$x=a$对称，根据对称点坐标关系可得$2a - (-1) = -3$，解得$a=-2$。
(3) 求A的二次反射点$A_2$：A的一次反射点为$(-1,1)$，关于$x=0$对称的横坐标为$2×0 - (-1)=1$，故$A_2(1,1)$；
求B的二次反射点$B_2$：$B(-3,1)$的一次反射点为$(-3,-1)$，关于$x=0$对称的横坐标为$2×0 - (-3)=3$，故$B_2(3,-1)$；
得到四个点坐标为$A(-1,-1)$、$B(-3,1)$、$A_2(1,1)$、$B_2(3,-1)$，该四边形为平行四边形，底长为4，高为2，面积$=4×2=8$。
【答案】
(1)$(-1,1)$；$(5,1)$
(2)$a=-2$
(3)$8$
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；关于平行y轴对称的坐标特征；坐标系图形面积计算
【点评】
本题以新定义为背景，考查坐标轴对称的性质应用，解题核心是准确掌握不同对称方式下的坐标变换规律，计算难度较低，需注意坐标符号不要出错。
【难度系数】
0.7
