三、解答题(共52分)
9.(24分)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AC为$\odot O$的直径,DB平分$∠ ADC$.
(1)试判断$△ ABC$的形状,并给出证明;
(2)若$AB=\sqrt{3},AD=1$,求CD的长度;
(3)在(2)的条件下,求点D到AC的距离.

9.解:(1)$△ABC$为等腰直角三角形.
证明:
∵AC为$\odot O$的直径,$\therefore∠ABC=90°$.
∵DB平分$∠ADC$,$\therefore∠ADB=∠CDB$.
∵$∠ADB=∠ACB$,$∠CDB=∠CAB$,
$\therefore∠ACB=∠CAB$,$\therefore AB=CB$,
$\therefore△ABC$为等腰直角三角形.
(2)由(1)得$△ABC$为等腰直角三角形,$\because AB=\sqrt{3}$,
$\therefore CB=\sqrt{3}$,由勾股定理,得 $AC = \sqrt{AB^2+CB^2} =\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$.
∵AC为$\odot O$的直径,$\therefore∠ADC=90°$.
由勾股定理,得 $CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2-1^2}=\sqrt{5}$.
(3)如答图,过点 D 作 $DE⊥ AC$ 于点 E.

$\because S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}AC· DE$,
$\therefore 1×\sqrt{5}=\sqrt{6}DE$,解得 $DE=\frac{\sqrt{30}}{6}$,
即点 D 到AC 的距离为$\frac{\sqrt{30}}{6}$.

10.(28分)如图,在锐角三角形ABC中,以AC边为直径的$\odot O$交BC于点D($BD＞CD$),过点B作$BG\bot AC$于点G,交$\odot O$于点E,延长BG交$\odot O$于点H,连接CE,DE.
(1)求证:$∠ EBC=∠ DEC$;
(2)若$∠ ABC=45°$,$AC=5$,$BC=7$,求$△ ABC$的面积.

10.(1)证明:如答图,连接 AD.
∵ AC 为 $\odot O$ 的直径,
$\therefore∠ADC = 90°$, $\therefore∠ADB = 90°$. $\because BH ⊥ AC$,
$\therefore∠BGC= 90°$, $\therefore ∠DAC + ∠ACD = ∠GBC +∠ACD= 90°$, $\therefore ∠DAC = ∠GBC$. 又 $\because ∠DAC =∠DEC$,$\therefore∠EBC=∠DEC$.

(2)解:$\because∠ABC=45°$,$∠ADB=90°$,$\therefore△ABD$ 是等腰直角三角形,$\therefore BD=AD$,$\therefore AD+DC=BD+DC=BC=7$.$\because∠ADC=90°$,$AC=5$,$\therefore AD^2+DC^2=AC^2$,即$(7-DC)^2+DC^2=5^2$,解得 $DC=4$ 或 $DC=3$.$\because BD＞CD$,$\therefore AD＞DC$,$\therefore DC=3$,$AD=4$,$\therefore△ABC$ 的面积为$\frac{1}{2} BC· AD=\frac{1}{2} ×7×4=14$.