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(2)如果将“创新号”的赛道长度增加$\frac{1}{5}$，“致远号”的赛道长度不变，两辆赛车重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？通过计算说明。
答案
(2) 不能同时到达各自终点. 计算过程略.
解析
【分析】
本题是行程类分式运算应用题，承接前序题干的已知条件：原比赛中两车在长度相同的赛道同时出发，“创新号”到达终点时，“致远号”仅跑完原赛道长度的$\frac{4}{5}$。解题思路如下：第一步，利用行程问题基本公式$速度=路程÷时间$，推导两车的速度关系；第二步，计算调整赛道长度后，两车分别跑完全程需要的时间；第三步，比较两个时间是否相等，即可判断是否能同时到达。
【解析】
设原赛道长度为$s$，“创新号”跑完原赛道的时间为$t$。
1. 计算两车速度：
“创新号”的速度：$v_创=\frac{s}{t}$
原比赛时间$t$内，“致远号”跑过的路程为$s×(1-\frac{1}{5})=\frac{4s}{5}$，因此“致远号”的速度：$v_致=\frac{\frac{4s}{5}}{t}=\frac{4s}{5t}$
2. 计算调整赛道后两车的用时：
调整后“创新号”的赛道长度为$s×(1+\frac{1}{5})=\frac{6s}{5}$，“创新号”跑完全程的时间：
$t_创=\frac{\frac{6s}{5}}{v_创}=\frac{\frac{6s}{5}}{\frac{s}{t}}=\frac{6t}{5}$
“致远号”赛道长度不变，跑完全程的时间：
$t_致=\frac{s}{v_致}=\frac{s}{\frac{4s}{5t}}=\frac{5t}{4}$
3. 比较用时：
通分比较$\frac{6}{5}$和$\frac{5}{4}$：$\frac{6}{5}=\frac{24}{20}$，$\frac{5}{4}=\frac{25}{20}$，因此$\frac{6t}{5}＜\frac{5t}{4}$，即$t_创≠ t_致$，两车用时不相等。
【答案】
不能同时到达各自终点。
【知识点】
分式运算、行程问题公式、分数大小比较
【点评】
本题结合赛车比赛的场景考察分式的实际应用，解题核心是抓住两车速度不变这一不变量，熟练运用路程、速度、时间的关系列式计算，通过比较用时即可得出结论，注意计算分式时要准确约分。
【难度系数】
0.7
本题是行程类分式运算应用题，承接前序题干的已知条件：原比赛中两车在长度相同的赛道同时出发，“创新号”到达终点时，“致远号”仅跑完原赛道长度的$\frac{4}{5}$。解题思路如下：第一步，利用行程问题基本公式$速度=路程÷时间$，推导两车的速度关系；第二步，计算调整赛道长度后，两车分别跑完全程需要的时间；第三步，比较两个时间是否相等，即可判断是否能同时到达。
【解析】
设原赛道长度为$s$，“创新号”跑完原赛道的时间为$t$。
1. 计算两车速度：
“创新号”的速度：$v_创=\frac{s}{t}$
原比赛时间$t$内，“致远号”跑过的路程为$s×(1-\frac{1}{5})=\frac{4s}{5}$，因此“致远号”的速度：$v_致=\frac{\frac{4s}{5}}{t}=\frac{4s}{5t}$
2. 计算调整赛道后两车的用时：
调整后“创新号”的赛道长度为$s×(1+\frac{1}{5})=\frac{6s}{5}$，“创新号”跑完全程的时间：
$t_创=\frac{\frac{6s}{5}}{v_创}=\frac{\frac{6s}{5}}{\frac{s}{t}}=\frac{6t}{5}$
“致远号”赛道长度不变，跑完全程的时间：
$t_致=\frac{s}{v_致}=\frac{s}{\frac{4s}{5t}}=\frac{5t}{4}$
3. 比较用时：
通分比较$\frac{6}{5}$和$\frac{5}{4}$：$\frac{6}{5}=\frac{24}{20}$，$\frac{5}{4}=\frac{25}{20}$，因此$\frac{6t}{5}＜\frac{5t}{4}$，即$t_创≠ t_致$，两车用时不相等。
【答案】
不能同时到达各自终点。
【知识点】
分式运算、行程问题公式、分数大小比较
【点评】
本题结合赛车比赛的场景考察分式的实际应用，解题核心是抓住两车速度不变这一不变量，熟练运用路程、速度、时间的关系列式计算，通过比较用时即可得出结论，注意计算分式时要准确约分。
【难度系数】
0.7
⑦ 在智能物流仓库中，货物搬运机器人需规划高效路线.仓库地面布局可抽象为平行四边形ABCD，E，F分别是AB，CD边的货物堆放点，且AE=CF=8 m，连接DE，BF，已知AB=10 m，AD=8 m，∠A=60°.
（1）若机器人从D点出发，沿DE—EB—BF—FD路线搬运货物，求这条路线的总长度.
（1）若机器人从D点出发，沿DE—EB—BF—FD路线搬运货物，求这条路线的总长度.
答案
(1) 总长度为20 m.
解析
【分析】
解题时先回忆平行四边形的基本性质，首先观察△ADE的边长和角度特征，已知AD=AE=8m，∠A=60°，可判定其为等边三角形得到DE的长度；再根据AB的长度求出EB的长度；接着利用平行四边形对角相等、对边相等的性质，同理判定△CBF为等边三角形得到BF的长度，再求出FD的长度，最后将四段长度相加即可得到路线总长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD=10m，AD=BC=8m，∠C=∠A=60°
①在△ADE中，AD=AE=8m，∠A=60°
∴△ADE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴DE=AD=8m
EB=AB - AE=10 - 8=2m
②在△CBF中，BC=CF=8m，∠C=60°
同理可得△CBF是等边三角形
∴BF=BC=8m
FD=CD - CF=10 - 8=2m
③路线总长度=DE + EB + BF + FD=8 + 2 + 8 + 2=20m
【答案】
20 m
【知识点】
平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质；线段长度计算
【点评】
本题结合智能物流的实际场景考查几何基础知识点的应用，解题核心是利用等边三角形的判定快速求出DE、BF的长度，再分别计算剩余两段线段长度求和即可，侧重对基础性质的理解和运用。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平行四边形的基本性质，首先观察△ADE的边长和角度特征，已知AD=AE=8m，∠A=60°，可判定其为等边三角形得到DE的长度；再根据AB的长度求出EB的长度；接着利用平行四边形对角相等、对边相等的性质，同理判定△CBF为等边三角形得到BF的长度，再求出FD的长度，最后将四段长度相加即可得到路线总长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD=10m，AD=BC=8m，∠C=∠A=60°
①在△ADE中，AD=AE=8m，∠A=60°
∴△ADE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴DE=AD=8m
EB=AB - AE=10 - 8=2m
②在△CBF中，BC=CF=8m，∠C=60°
同理可得△CBF是等边三角形
∴BF=BC=8m
FD=CD - CF=10 - 8=2m
③路线总长度=DE + EB + BF + FD=8 + 2 + 8 + 2=20m
【答案】
20 m
【知识点】
平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质；线段长度计算
【点评】
本题结合智能物流的实际场景考查几何基础知识点的应用，解题核心是利用等边三角形的判定快速求出DE、BF的长度，再分别计算剩余两段线段长度求和即可，侧重对基础性质的理解和运用。
【难度系数】
0.8
（2）为进一步优化路线，在AD，BC上分别取点G，H，使四边形EGFH为平行四边形，若AG=3m，求GH的长度。
答案
(2) $GH$长度为$2\sqrt{31}$ m.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 结合题干隐含的平行四边形ABCD边长、角度条件，以A为原点建立平面直角坐标系，先求出平行四边形各顶点、已知点E、F、G的坐标；2. 利用平行四边形对角线互相平分的性质，可知EF和GH的中点重合，据此列方程求出H点的坐标；3. 最后用两点间距离公式计算GH的长度即可。
【解析】
解：由题可知平行四边形ABCD中，AB=10m，AD=8m，∠A=60°，E、F分别为AB、CD的中点。
以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系：
则$A(0,0)$，$B(10,0)$，过D作AB的垂线，结合∠A=60°可得$D(4,4\sqrt{3})$，$C(14,4\sqrt{3})$。
∵E是AB中点，
∴$E(5,0)$；F是CD中点，
∴$F(9,4\sqrt{3})$。
∵G在AD上，AG=3m，同理过G作AB的垂线，可得G点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$。
∵四边形EGFH是平行四边形，平行四边形对角线互相平分，
∴EF与GH的中点重合。
先求EF的中点坐标：$(\frac{5+9}{2},\frac{0+4\sqrt{3}}{2})=(7,2\sqrt{3})$。
设H点坐标为$(x,y)$，则GH中点满足：
$\begin{cases}\frac{\frac{3}{2}+x}{2}=7\\\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}+y}{2}=2\sqrt{3}\end{cases}$
解得：$x=\frac{25}{2}$，$y=\frac{5\sqrt{3}}{2}$，即$H(\frac{25}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2})$。
根据两点间距离公式：
$GH=\sqrt{(\frac{25}{2}-\frac{3}{2})^2+(\frac{5\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{11^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{124}=2\sqrt{31}\ \mathrm{(m)}$
【答案】
$GH$长度为$2\sqrt{31}$ m.
【知识点】
平行四边形的性质，两点间距离公式，坐标法解几何问题
【点评】
本题将平行四边形性质与坐标计算结合，通过建立坐标系把几何问题转化为代数运算，利用平行四边形对角线互相平分的性质简化了求点坐标的步骤，是几何求值类问题的典型考法。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：1. 结合题干隐含的平行四边形ABCD边长、角度条件，以A为原点建立平面直角坐标系，先求出平行四边形各顶点、已知点E、F、G的坐标；2. 利用平行四边形对角线互相平分的性质，可知EF和GH的中点重合，据此列方程求出H点的坐标；3. 最后用两点间距离公式计算GH的长度即可。
【解析】
解：由题可知平行四边形ABCD中，AB=10m，AD=8m，∠A=60°，E、F分别为AB、CD的中点。
以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系：
则$A(0,0)$，$B(10,0)$，过D作AB的垂线，结合∠A=60°可得$D(4,4\sqrt{3})$，$C(14,4\sqrt{3})$。
∵E是AB中点，
∴$E(5,0)$；F是CD中点，
∴$F(9,4\sqrt{3})$。
∵G在AD上，AG=3m，同理过G作AB的垂线，可得G点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$。
∵四边形EGFH是平行四边形，平行四边形对角线互相平分，
∴EF与GH的中点重合。
先求EF的中点坐标：$(\frac{5+9}{2},\frac{0+4\sqrt{3}}{2})=(7,2\sqrt{3})$。
设H点坐标为$(x,y)$，则GH中点满足：
$\begin{cases}\frac{\frac{3}{2}+x}{2}=7\\\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}+y}{2}=2\sqrt{3}\end{cases}$
解得：$x=\frac{25}{2}$，$y=\frac{5\sqrt{3}}{2}$，即$H(\frac{25}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2})$。
根据两点间距离公式：
$GH=\sqrt{(\frac{25}{2}-\frac{3}{2})^2+(\frac{5\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{11^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{124}=2\sqrt{31}\ \mathrm{(m)}$
【答案】
$GH$长度为$2\sqrt{31}$ m.
【知识点】
平行四边形的性质，两点间距离公式，坐标法解几何问题
【点评】
本题将平行四边形性质与坐标计算结合，通过建立坐标系把几何问题转化为代数运算，利用平行四边形对角线互相平分的性质简化了求点坐标的步骤，是几何求值类问题的典型考法。
【难度系数】
0.65
