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1.如图,在$△ ABC$中,$BC=3$,$AC=4$,$AB=5$,$D$是$AC$的中点,连接$BD$,则$BD$的长为
(
A.$\sqrt{13}$
B.$2\sqrt{5}$
C.3
D.4
(
A
)A.$\sqrt{13}$
B.$2\sqrt{5}$
C.3
D.4
答案
1.A
解析
【分析】
首先观察△ABC的三边长，3、4、5是常见的勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，确定直角为∠C。要求BD的长度，可将BD放在Rt△BCD中求解：先利用中点的性质求出CD的长度，再结合已知BC的长度，用勾股定理即可算出BD的长。
【解析】
解：①判断△ABC的形状：
已知$BC=3$，$AC=4$，$AB=5$，计算得：
$BC^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25$，$AB^2=5^2=25$
因此$BC^2+AC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$。
②求$CD$的长度：
∵$D$是$AC$的中点，$AC=4$
∴$CD=\frac{1}{2}AC=2$
③在$Rt△ BCD$中计算$BD$：
∵$∠ C=90°$，$BC=3$，$CD=2$
由勾股定理得：$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；线段中点的定义
【点评】
本题属于勾股定理相关的基础综合题，解题的核心是先利用三边长度关系判断出直角三角形，再结合线段中点性质，通过勾股定理求出目标线段的长度。
【难度系数】
0.7
首先观察△ABC的三边长，3、4、5是常见的勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，确定直角为∠C。要求BD的长度，可将BD放在Rt△BCD中求解：先利用中点的性质求出CD的长度，再结合已知BC的长度，用勾股定理即可算出BD的长。
【解析】
解：①判断△ABC的形状：
已知$BC=3$，$AC=4$，$AB=5$，计算得：
$BC^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25$，$AB^2=5^2=25$
因此$BC^2+AC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$。
②求$CD$的长度：
∵$D$是$AC$的中点，$AC=4$
∴$CD=\frac{1}{2}AC=2$
③在$Rt△ BCD$中计算$BD$：
∵$∠ C=90°$，$BC=3$，$CD=2$
由勾股定理得：$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；线段中点的定义
【点评】
本题属于勾股定理相关的基础综合题，解题的核心是先利用三边长度关系判断出直角三角形，再结合线段中点性质，通过勾股定理求出目标线段的长度。
【难度系数】
0.7
2.【情境题】如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图.根据安全标准需满足$BC⊥ CD$，现测得$AB=CD=6\ \mathrm{dm},BC=3\ \mathrm{dm},AD=9\ \mathrm{dm}$，其中$AB$与$BD$之间由一个固定为$90°$的零件连接（即$∠ ABD=90°$），则该婴儿车
符合
（填“符合”或“不符合”）安全标准.答案
2.符合
解析
【分析】
要判断婴儿车是否符合安全标准，只需验证BC与CD是否垂直，即∠BCD是否为90°。解题思路分为两步：第一步，已知△ABD是直角三角形，∠ABD=90°，给出了直角边AB和斜边AD的长度，可利用勾股定理求出BD²的值；第二步，在△BCD中，已知BC、CD的长度，计算BC²与CD²的和，将其与BD²比较，若二者相等，根据勾股定理的逆定理即可判定∠BCD为直角，符合安全标准，反之则不符合。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，$AB=6\ \mathrm{dm}$，$AD=9\ \mathrm{dm}$，
根据勾股定理可得：
$BD^2=AD^2-AB^2=9^2-6^2=81-36=45\ (\mathrm{dm}^2)$。
在$△ BCD$中，$BC=3\ \mathrm{dm}$，$CD=6\ \mathrm{dm}$，
$\therefore BC^2+CD^2=3^2+6^2=9+36=45\ (\mathrm{dm}^2)$，
$\therefore BC^2+CD^2=BD^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$，即$BC⊥ CD$，
因此该婴儿车符合安全标准。
【答案】
符合
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合生活实际考查勾股定理及其逆定理的应用，解题时需要明确“判断垂直可通过勾股定理逆定理验证三边关系”的思路，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
要判断婴儿车是否符合安全标准，只需验证BC与CD是否垂直，即∠BCD是否为90°。解题思路分为两步：第一步，已知△ABD是直角三角形，∠ABD=90°，给出了直角边AB和斜边AD的长度，可利用勾股定理求出BD²的值；第二步，在△BCD中，已知BC、CD的长度，计算BC²与CD²的和，将其与BD²比较，若二者相等，根据勾股定理的逆定理即可判定∠BCD为直角，符合安全标准，反之则不符合。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，$AB=6\ \mathrm{dm}$，$AD=9\ \mathrm{dm}$，
根据勾股定理可得：
$BD^2=AD^2-AB^2=9^2-6^2=81-36=45\ (\mathrm{dm}^2)$。
在$△ BCD$中，$BC=3\ \mathrm{dm}$，$CD=6\ \mathrm{dm}$，
$\therefore BC^2+CD^2=3^2+6^2=9+36=45\ (\mathrm{dm}^2)$，
$\therefore BC^2+CD^2=BD^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$，即$BC⊥ CD$，
因此该婴儿车符合安全标准。
【答案】
符合
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合生活实际考查勾股定理及其逆定理的应用，解题时需要明确“判断垂直可通过勾股定理逆定理验证三边关系”的思路，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
3.如图，在四边形ABCD中，AC=4，BC=3，CD=6，$AD=2\sqrt{5}$，AD//BC，则AB的长为
5
。答案
3.5
解析
【分析】
解题时首先观察△ACD的三边长度，可先通过勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，确定直角的位置；再结合AD//BC的平行线性质，推导得到∠ACB为直角，最后在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
1. 先判断△ACD的形状：
已知AC=4，AD=2√5，CD=6，计算各边平方：
$AC^2=4^2=16$，$AD^2=(2\sqrt{5})^2=20$，$CD^2=6^2=36$
可得$AC^2+AD^2=16+20=36=CD^2$，根据勾股定理的逆定理，△ACD是直角三角形，且$∠ CAD=90°$。
2. 利用平行线性质推导直角：
∵AD//BC，
∴$∠ ACB=∠ CAD=90°$（两直线平行，内错角相等）。
3. 在Rt△ABC中计算AB的长度：
已知AC=4，BC=3，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$
【答案】
5
【知识点】
勾股定理的逆定理；平行线的性质；勾股定理
【点评】
本题主要考查勾股定理及其逆定理的综合应用，解题的核心是先通过边长关系确定直角，再结合平行线的性质转化直角到所求线段所在的直角三角形中，最终用勾股定理求解，侧重对基础定理的理解和灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察△ACD的三边长度，可先通过勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，确定直角的位置；再结合AD//BC的平行线性质，推导得到∠ACB为直角，最后在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
1. 先判断△ACD的形状：
已知AC=4，AD=2√5，CD=6，计算各边平方：
$AC^2=4^2=16$，$AD^2=(2\sqrt{5})^2=20$，$CD^2=6^2=36$
可得$AC^2+AD^2=16+20=36=CD^2$，根据勾股定理的逆定理，△ACD是直角三角形，且$∠ CAD=90°$。
2. 利用平行线性质推导直角：
∵AD//BC，
∴$∠ ACB=∠ CAD=90°$（两直线平行，内错角相等）。
3. 在Rt△ABC中计算AB的长度：
已知AC=4，BC=3，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$
【答案】
5
【知识点】
勾股定理的逆定理；平行线的性质；勾股定理
【点评】
本题主要考查勾股定理及其逆定理的综合应用，解题的核心是先通过边长关系确定直角，再结合平行线的性质转化直角到所求线段所在的直角三角形中，最终用勾股定理求解，侧重对基础定理的理解和灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
4.如图是某超市购物车的侧面简化示意图.测得支架$AC=24\ \mathrm{cm}$，$BC=18\ \mathrm{cm}$，两轮中心的距离$AB=30\ \mathrm{cm}$，则点$C$到$AB$的距离为
$\frac{72}{5}$
$\mathrm{cm}$.答案
4.$\frac{72}{5}$
解析
【分析】
首先观察三角形ABC的三边长度，先利用勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，若为直角三角形，要求点C到AB的距离，即AB边上的高，可通过三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等式求解。
【解析】
设点C到AB的距离为$ h\ \mathrm{cm} $。
1. 判断△ABC的形状：
计算得$ AC^2 + BC^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900 $，$ AB^2 = 30^2 = 900 $，
因此$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $，根据勾股定理的逆定理可知，$ ∠ ACB = 90° $，△ABC是直角三角形。
2. 利用面积法求高：
直角三角形的面积可以表示为两直角边乘积的一半，也可以表示为斜边与斜边上高乘积的一半，即：
$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · h $
代入数值：$ \frac{1}{2} × 24 × 18 = \frac{1}{2} × 30 × h $
化简得：$ 24 × 18 = 30h $
解得：$ h = \frac{24 × 18}{30} = \frac{72}{5} $
【答案】
$\frac{72}{5}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形面积公式
【点评】
本题是勾股定理相关的典型应用题，先通过逆定理判定直角三角形，再利用面积法求斜边上的高，解题思路清晰，需要熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用场景，灵活运用面积法解决线段长度求解问题。
【难度系数】
0.7
首先观察三角形ABC的三边长度，先利用勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，若为直角三角形，要求点C到AB的距离，即AB边上的高，可通过三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等式求解。
【解析】
设点C到AB的距离为$ h\ \mathrm{cm} $。
1. 判断△ABC的形状：
计算得$ AC^2 + BC^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900 $，$ AB^2 = 30^2 = 900 $，
因此$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $，根据勾股定理的逆定理可知，$ ∠ ACB = 90° $，△ABC是直角三角形。
2. 利用面积法求高：
直角三角形的面积可以表示为两直角边乘积的一半，也可以表示为斜边与斜边上高乘积的一半，即：
$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · h $
代入数值：$ \frac{1}{2} × 24 × 18 = \frac{1}{2} × 30 × h $
化简得：$ 24 × 18 = 30h $
解得：$ h = \frac{24 × 18}{30} = \frac{72}{5} $
【答案】
$\frac{72}{5}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形面积公式
【点评】
本题是勾股定理相关的典型应用题，先通过逆定理判定直角三角形，再利用面积法求斜边上的高，解题思路清晰，需要熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用场景，灵活运用面积法解决线段长度求解问题。
【难度系数】
0.7
5.【本土素材】在内蒙古广袤的草原上,有一近似于四边形的牧场,其平面如图①,小明构造出该牧场的一个数学图形(如图②所示)四边形ABCD,AC是四边形牧场的一条围栏,其中∠B=90°,AB=BC=5 km,CD=1 km,AD=7 km.(1)求围栏AC的长；(2)求四边形ABCD的面积.
数学
数学
答案
5.解:(1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°,AB=BC=5\ \mathrm{km}$,
根据勾股定理,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}\ (\mathrm{km})$.
(2)$\because AC^2=(5\sqrt{2})^2=50,CD^2+AD^2=1^2+7^2=50$,
$\therefore AC^2=CD^2+AD^2$,
$\therefore ∠ D=90°$.
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×5×5+\frac{1}{2}×7×1=16(\mathrm{km}^2)$.
根据勾股定理,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}\ (\mathrm{km})$.
(2)$\because AC^2=(5\sqrt{2})^2=50,CD^2+AD^2=1^2+7^2=50$,
$\therefore AC^2=CD^2+AD^2$,
$\therefore ∠ D=90°$.
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×5×5+\frac{1}{2}×7×1=16(\mathrm{km}^2)$.
解析
【分析】
(1) 求AC的长度时，观察到AC是Rt△ABC的斜边，已知两条直角边AB、BC的长度，直接运用勾股定理即可计算出AC的长。
(2) 求四边形ABCD的面积时，可将不规则四边形拆分为△ABC和△ACD两个三角形分别计算面积再求和。△ABC是直角三角形，面积可直接计算；对于△ACD，已知三边长度，先通过勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，再计算面积，最终相加得到四边形总面积。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=BC=5\ \mathrm{km}$，
根据勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}\ (\mathrm{km})$。
(2) $\because AC^2=(5\sqrt{2})^2=50$，$CD^2+AD^2=1^2+7^2=50$，
$\therefore AC^2=CD^2+AD^2$，
$\therefore ∠ D=90°$。
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×5×5+\frac{1}{2}×7×1=16(\mathrm{km}^2)$。
【答案】
(1) 围栏AC的长为$5\sqrt{2}\ \mathrm{km}$；
(2) 四边形ABCD的面积为$16\ \mathrm{km}^2$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题结合实际生活场景，考查勾股定理及其逆定理的综合应用，通过将不规则四边形转化为两个三角形求解面积，体现了数学中的转化思想，能很好地检验学生对定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求AC的长度时，观察到AC是Rt△ABC的斜边，已知两条直角边AB、BC的长度，直接运用勾股定理即可计算出AC的长。
(2) 求四边形ABCD的面积时，可将不规则四边形拆分为△ABC和△ACD两个三角形分别计算面积再求和。△ABC是直角三角形，面积可直接计算；对于△ACD，已知三边长度，先通过勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，再计算面积，最终相加得到四边形总面积。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=BC=5\ \mathrm{km}$，
根据勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}\ (\mathrm{km})$。
(2) $\because AC^2=(5\sqrt{2})^2=50$，$CD^2+AD^2=1^2+7^2=50$，
$\therefore AC^2=CD^2+AD^2$，
$\therefore ∠ D=90°$。
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×5×5+\frac{1}{2}×7×1=16(\mathrm{km}^2)$。
【答案】
(1) 围栏AC的长为$5\sqrt{2}\ \mathrm{km}$；
(2) 四边形ABCD的面积为$16\ \mathrm{km}^2$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题结合实际生活场景，考查勾股定理及其逆定理的综合应用，通过将不规则四边形转化为两个三角形求解面积，体现了数学中的转化思想，能很好地检验学生对定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
