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6.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，点C与直线AB上A，B两点的距离分别为300 km和400 km，且AB＝500 km，以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域.
(1)求证：∠ACB＝90°.
(2)海港C会受到台风影响吗？请说明理由.
(3)若台风的速度为20 km/h，则台风持续影响该海港多长时间？
(1)求证：∠ACB＝90°.
(2)海港C会受到台风影响吗？请说明理由.
(3)若台风的速度为20 km/h，则台风持续影响该海港多长时间？
答案
6.(1)证明: $\because AC=300\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AB=500\ \mathrm{km},300^2+400^2=500^2$,
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$.
$\therefore ∠ ACB=90°$.
(2)解:海港 $C$ 会受到台风影响.理由如下：
如图,过点 $C$ 作 $CD⊥ AB$ 于点 $D$.
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$,
$\therefore CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{300×400}{500}=240(\mathrm{km})$.
$\because$ 以台风中心为圆心周围 $250\ \mathrm{km}$ 以内为受影响区域,$240＜250$,
$\therefore$ 海港 $C$ 会受到台风影响.
(3)解:如图,令 $EC=FC=250\ \mathrm{km}$,则易得 $DE=DF$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中, $DE=\sqrt{EC^2-CD^2}=\sqrt{250^2-240^2}=70(\mathrm{km})$,
$\therefore EF=2DE=140\ \mathrm{km}$.
$\because$ 台风的速度为 $20\ \mathrm{km/h},140÷20=7(\mathrm{h})$,
$\therefore$ 台风持续影响该海港 $7\ \mathrm{h}$.
解析
【分析】
本题围绕台风影响海港的实际场景设置三小问，解题思路如下：
(1) 要证明∠ACB为直角，已知△ABC三边长度，可运用勾股定理的逆定理：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，最长边对应的角为直角，因此只需验证AC²+BC²是否等于AB²即可。
(2) 判断海港是否受台风影响，需比较点C到直线AB的最短距离与受影响半径250km的大小。点到直线的最短距离是垂线段长度，因此过C作CD⊥AB于D，利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、底乘高的一半）列等式求出CD的长度，若CD≤250km则受影响。
(3) 求台风持续影响的时间，需先确定台风中心在AB上移动时，到C的距离不超过250km的路径长度。在AB上取E、F两点，使CE=CF=250km，线段EF就是台风影响时段的移动路程。在Rt△CDE中用勾股定理求出DE长度，由对称性得EF=2DE，再用路程除以台风速度即可得到持续影响时间。
【解析】
(1) 证明：已知$AC=300\ \mathrm{km}$，$BC=400\ \mathrm{km}$，$AB=500\ \mathrm{km}$，
计算得$300^2+400^2=90000+160000=250000=500^2$，即$AC^2+BC^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
(2) 解：海港C会受到台风影响，理由如下：
如图，过点C作$CD⊥ AB$于点D。
直角三角形ABC的面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD$，
因此$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值解得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{300×400}{500}=240(\mathrm{km})$。
由于台风影响半径为250km，$240＜250$，因此海港C会受到台风影响。
(3) 解：如图，在AB上取点E、F，使得$EC=FC=250\ \mathrm{km}$，此时台风中心在EF段移动时，海港C都处于受影响区域。
因为$CE=CF$，$CD⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一的性质可得$DE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{EC^2-CD^2}=\sqrt{250^2-240^2}=70(\mathrm{km})$，
因此受影响的路径长度$EF=2DE=2×70=140(\mathrm{km})$。
已知台风速度为$20\ \mathrm{km/h}$，则持续影响时间为$140÷20=7(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 证明: $\because AC=300\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AB=500\ \mathrm{km},300^2+400^2=500^2$,
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$.
$\therefore ∠ ACB=90°$.
(2) 海港 $C$ 会受到台风影响.
(3) 台风持续影响该海港 $7\ \mathrm{h}$.
【知识点】
勾股定理的逆定理；点到直线的距离；勾股定理的应用
【点评】
本题结合实际生活场景，将自然灾害问题转化为几何模型，综合考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是准确理解“受影响区域”对应的几何意义，灵活运用直角三角形的面积性质、勾股定理等知识求解，能有效锻炼学生的知识迁移能力和数学建模能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕台风影响海港的实际场景设置三小问，解题思路如下：
(1) 要证明∠ACB为直角，已知△ABC三边长度，可运用勾股定理的逆定理：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，最长边对应的角为直角，因此只需验证AC²+BC²是否等于AB²即可。
(2) 判断海港是否受台风影响，需比较点C到直线AB的最短距离与受影响半径250km的大小。点到直线的最短距离是垂线段长度，因此过C作CD⊥AB于D，利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、底乘高的一半）列等式求出CD的长度，若CD≤250km则受影响。
(3) 求台风持续影响的时间，需先确定台风中心在AB上移动时，到C的距离不超过250km的路径长度。在AB上取E、F两点，使CE=CF=250km，线段EF就是台风影响时段的移动路程。在Rt△CDE中用勾股定理求出DE长度，由对称性得EF=2DE，再用路程除以台风速度即可得到持续影响时间。
【解析】
(1) 证明：已知$AC=300\ \mathrm{km}$，$BC=400\ \mathrm{km}$，$AB=500\ \mathrm{km}$，
计算得$300^2+400^2=90000+160000=250000=500^2$，即$AC^2+BC^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
(2) 解：海港C会受到台风影响，理由如下：
如图，过点C作$CD⊥ AB$于点D。
直角三角形ABC的面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD$，
因此$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值解得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{300×400}{500}=240(\mathrm{km})$。
由于台风影响半径为250km，$240＜250$，因此海港C会受到台风影响。
(3) 解：如图，在AB上取点E、F，使得$EC=FC=250\ \mathrm{km}$，此时台风中心在EF段移动时，海港C都处于受影响区域。
因为$CE=CF$，$CD⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一的性质可得$DE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{EC^2-CD^2}=\sqrt{250^2-240^2}=70(\mathrm{km})$，
因此受影响的路径长度$EF=2DE=2×70=140(\mathrm{km})$。
已知台风速度为$20\ \mathrm{km/h}$，则持续影响时间为$140÷20=7(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 证明: $\because AC=300\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AB=500\ \mathrm{km},300^2+400^2=500^2$,
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$.
$\therefore ∠ ACB=90°$.
(2) 海港 $C$ 会受到台风影响.
(3) 台风持续影响该海港 $7\ \mathrm{h}$.
【知识点】
勾股定理的逆定理；点到直线的距离；勾股定理的应用
【点评】
本题结合实际生活场景，将自然灾害问题转化为几何模型，综合考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是准确理解“受影响区域”对应的几何意义，灵活运用直角三角形的面积性质、勾股定理等知识求解，能有效锻炼学生的知识迁移能力和数学建模能力。
【难度系数】
0.7
