登录
9. 如图4，在$△ ABC$中，$AB = AC = 5$，$BC=6$，$M$为$BC$的中点，$MN ⊥ AC$于点$N$，则$MN$的长是（
A.$\frac{6}{5}$
B.$\frac{9}{5}$
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{16}{5}$
C
）A.$\frac{6}{5}$
B.$\frac{9}{5}$
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{16}{5}$
答案
9.C
解析
【分析】
本题是等腰三角形背景下的线段长度求解问题，解题思路如下：①首先观察到等腰三角形+底边中点的条件，根据等腰三角形三线合一的性质，连接AM即可得到AM⊥BC，同时得到MC的长度；②在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AM的长度；③△AMC为直角三角形，MN是AC边上的高，可利用等面积法，即同一个三角形用两组底和高计算的面积相等，建立等式求出MN的长度。
【解析】
解：连接AM，
∵AB=AC，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，$MC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$（等腰三角形三线合一）。
在$Rt△ABM$中，AB=5，BM=3，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AB² - BM²}=\sqrt{5² - 3²}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
∵MN⊥AC，
∴△AMC的面积可以表示为两种形式：
$S_{△AMC}=\frac{1}{2}×MC×AM$，也等于$S_{△AMC}=\frac{1}{2}×AC×MN$，
代入已知数值：$\frac{1}{2}×3×4 = \frac{1}{2}×5×MN$，
两边同时约去$\frac{1}{2}$，得$12=5MN$，
解得$MN=\frac{12}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理；等面积法求线段长
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练运用等腰三角形的三线合一性质构造直角三角形，再结合勾股定理和等面积法求解线段长度，这类题型是三角形章节的高频考点，需要熟练掌握解题思路。
【难度系数】
0.7
本题是等腰三角形背景下的线段长度求解问题，解题思路如下：①首先观察到等腰三角形+底边中点的条件，根据等腰三角形三线合一的性质，连接AM即可得到AM⊥BC，同时得到MC的长度；②在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AM的长度；③△AMC为直角三角形，MN是AC边上的高，可利用等面积法，即同一个三角形用两组底和高计算的面积相等，建立等式求出MN的长度。
【解析】
解：连接AM，
∵AB=AC，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，$MC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$（等腰三角形三线合一）。
在$Rt△ABM$中，AB=5，BM=3，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AB² - BM²}=\sqrt{5² - 3²}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
∵MN⊥AC，
∴△AMC的面积可以表示为两种形式：
$S_{△AMC}=\frac{1}{2}×MC×AM$，也等于$S_{△AMC}=\frac{1}{2}×AC×MN$，
代入已知数值：$\frac{1}{2}×3×4 = \frac{1}{2}×5×MN$，
两边同时约去$\frac{1}{2}$，得$12=5MN$，
解得$MN=\frac{12}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理；等面积法求线段长
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练运用等腰三角形的三线合一性质构造直角三角形，再结合勾股定理和等面积法求解线段长度，这类题型是三角形章节的高频考点，需要熟练掌握解题思路。
【难度系数】
0.7
10. 如图 5,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$, $AC=BC$,$CD⊥ AB$ 于点 $D$. $M,N$ 分别是 $AC,BC$ 上的动点,且 $∠ MDN=90°$. 给出下列结论:①$AM=CN$;②四边形 $MDNC$ 的面积为定值;③$AM^2 + BN^2 = MN^2$;④$NM$ 平分 $∠ CND$. 其中正确的是 (
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
A
)A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
答案
10.A
解析
【分析】
首先根据等腰直角三角形的性质，先推出CD与AD、BD的数量关系，以及各锐角的度数；再结合∠MDN=90°，寻找相等的角，证明△ADM和△CDN全等，据此判断结论①；利用全等三角形面积相等，推导四边形MDNC的面积与固定三角形△ACD的面积关系，判断结论②；结合全等得到的边相等的结论，将AM、BN转化到直角三角形MCN中，用勾股定理判断结论③；最后分析∠CND的角平分线是否对任意动点M、N都成立，判断结论④即可。
【解析】
解：已知在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=BC$，$CD⊥AB$，
∴ $AD=BD=CD$，$∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°$，$∠ADC=90°$。
① 证明：
∵$∠MDN=90°$，
∴ $∠ADM + ∠MDC = ∠CDN + ∠MDC = 90°$，即$∠ADM=∠CDN$。
在$△ADM$和$△CDN$中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠DCN=45° \\AD=CD \\∠ADM=∠CDN\end{array} $
∴ $△ADM≌△CDN$（ASA），
∴ $AM=CN$，故①正确。
② 证明：
∵$△ADM≌△CDN$，
∴ $S_{△ADM}=S_{△CDN}$，
∴ $S_{四边形MDNC}=S_{△CDM} + S_{△CDN}=S_{△CDM} + S_{△ADM}=S_{△ACD}$。
∵$△ABC$的形状大小固定，
∴$S_{△ACD}$为定值，即四边形$MDNC$的面积为定值，故②正确。
③ 证明：
∵$AC=BC$，$AM=CN$，
∴ $AC-AM=BC-CN$，即$CM=BN$。
在$Rt△MCN$中，由勾股定理得：$CN^2 + CM^2 = MN^2$，
将$CN=AM$、$CM=BN$代入得：$AM^2 + BN^2 = MN^2$，故③正确。
④ 证明：只有当M、N分别为AC、BC的中点时，$NM$才平分$∠CND$，对于任意动点M、N该结论不成立，故④错误。
综上，正确的结论为①②③。
【答案】
A
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题的突破口是通过角的互余关系推导全等条件，利用全等三角形的性质得到边和面积的等量关系，判断结论时需注意区分“对任意动点成立”和“特殊位置成立”的差异。
【难度系数】
0.6
首先根据等腰直角三角形的性质，先推出CD与AD、BD的数量关系，以及各锐角的度数；再结合∠MDN=90°，寻找相等的角，证明△ADM和△CDN全等，据此判断结论①；利用全等三角形面积相等，推导四边形MDNC的面积与固定三角形△ACD的面积关系，判断结论②；结合全等得到的边相等的结论，将AM、BN转化到直角三角形MCN中，用勾股定理判断结论③；最后分析∠CND的角平分线是否对任意动点M、N都成立，判断结论④即可。
【解析】
解：已知在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=BC$，$CD⊥AB$，
∴ $AD=BD=CD$，$∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°$，$∠ADC=90°$。
① 证明：
∵$∠MDN=90°$，
∴ $∠ADM + ∠MDC = ∠CDN + ∠MDC = 90°$，即$∠ADM=∠CDN$。
在$△ADM$和$△CDN$中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠DCN=45° \\AD=CD \\∠ADM=∠CDN\end{array} $
∴ $△ADM≌△CDN$（ASA），
∴ $AM=CN$，故①正确。
② 证明：
∵$△ADM≌△CDN$，
∴ $S_{△ADM}=S_{△CDN}$，
∴ $S_{四边形MDNC}=S_{△CDM} + S_{△CDN}=S_{△CDM} + S_{△ADM}=S_{△ACD}$。
∵$△ABC$的形状大小固定，
∴$S_{△ACD}$为定值，即四边形$MDNC$的面积为定值，故②正确。
③ 证明：
∵$AC=BC$，$AM=CN$，
∴ $AC-AM=BC-CN$，即$CM=BN$。
在$Rt△MCN$中，由勾股定理得：$CN^2 + CM^2 = MN^2$，
将$CN=AM$、$CM=BN$代入得：$AM^2 + BN^2 = MN^2$，故③正确。
④ 证明：只有当M、N分别为AC、BC的中点时，$NM$才平分$∠CND$，对于任意动点M、N该结论不成立，故④错误。
综上，正确的结论为①②③。
【答案】
A
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题的突破口是通过角的互余关系推导全等条件，利用全等三角形的性质得到边和面积的等量关系，判断结论时需注意区分“对任意动点成立”和“特殊位置成立”的差异。
【难度系数】
0.6
11.已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高，若AB=1，AC：BC=4：1，则CD的长为
$\frac{4}{17}$
.答案
11.$\frac{4}{17}$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：①先根据AC与BC的比例关系设参数，结合直角三角形斜边长度，用勾股定理求出参数的平方值；②利用直角三角形面积的两种计算方式（两条直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）建立等量关系，代入数值即可求出CD的长，解题时可直接用参数平方代入计算，无需开方简化运算。
【解析】
解：设$AC=4k$，$BC=k$（$k＞0$）
∵$△ ABC$是直角三角形，$AB$为斜边
∴根据勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入$AB=1$得：$(4k)^2 + k^2 = 1^2$
化简得：$16k^2 + k^2 = 1$，即$17k^2=1$，解得$k^2=\frac{1}{17}$
∵$CD$是斜边$AB$上的高，$△ ABC$的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC = \frac{1}{2}AB· CD$
两边同乘2得：$AC· BC = AB· CD$
将$AC=4k$，$BC=k$，$AB=1$代入得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{4k· k}{1}=4k^2$
把$k^2=\frac{1}{17}$代入得：$CD=4×\frac{1}{17}=\frac{4}{17}$
【答案】
$\frac{4}{17}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，比例设参
【点评】
本题是直角三角形边长计算的典型题型，核心考查等积法的应用，通过面积的两种表达形式建立等量关系求高，运算简便，同时比例设参的技巧能有效降低运算量，是几何计算中需要熟练掌握的方法。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：①先根据AC与BC的比例关系设参数，结合直角三角形斜边长度，用勾股定理求出参数的平方值；②利用直角三角形面积的两种计算方式（两条直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）建立等量关系，代入数值即可求出CD的长，解题时可直接用参数平方代入计算，无需开方简化运算。
【解析】
解：设$AC=4k$，$BC=k$（$k＞0$）
∵$△ ABC$是直角三角形，$AB$为斜边
∴根据勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入$AB=1$得：$(4k)^2 + k^2 = 1^2$
化简得：$16k^2 + k^2 = 1$，即$17k^2=1$，解得$k^2=\frac{1}{17}$
∵$CD$是斜边$AB$上的高，$△ ABC$的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC = \frac{1}{2}AB· CD$
两边同乘2得：$AC· BC = AB· CD$
将$AC=4k$，$BC=k$，$AB=1$代入得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{4k· k}{1}=4k^2$
把$k^2=\frac{1}{17}$代入得：$CD=4×\frac{1}{17}=\frac{4}{17}$
【答案】
$\frac{4}{17}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，比例设参
【点评】
本题是直角三角形边长计算的典型题型，核心考查等积法的应用，通过面积的两种表达形式建立等量关系求高，运算简便，同时比例设参的技巧能有效降低运算量，是几何计算中需要熟练掌握的方法。
【难度系数】
0.7
12.如图6，已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，求AF的长.
答案
12.10
解析
【分析】
题目中给出多个直角，我们可以通过构造直角三角形求解AF的长度：过点F作AB的垂线，交AB的延长线于点G，此时△AGF为直角三角形，AF是斜边。我们只需要分别求出两条直角边AG和FG的长度，就可以利用勾股定理算出AF的长度。其中FG的长度等于水平方向线段BC与EF的和，AG的长度等于竖直方向线段AB、CD、DE的和。
【解析】
解：过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G。
由图中各直角的位置关系可得：
水平方向直角边长度：$FG = BC + EF = 4 + 2 = 6$
竖直方向直角边长度：$AG = AB + CD + DE = 3 + 3 + 2 = 8$
在$Rt△ AGF$中，根据勾股定理：
$AF^2 = AG^2 + FG^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$
因为线段长度为正数，所以$AF = \sqrt{100} = 10$
【答案】
10
【知识点】
勾股定理，割补法构造直角三角形
【点评】
本题核心是将所求线段转化为直角三角形的斜边，把分散的已知线段长度整合为直角三角形的两条直角边，考查了图形转化能力和勾股定理的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
题目中给出多个直角，我们可以通过构造直角三角形求解AF的长度：过点F作AB的垂线，交AB的延长线于点G，此时△AGF为直角三角形，AF是斜边。我们只需要分别求出两条直角边AG和FG的长度，就可以利用勾股定理算出AF的长度。其中FG的长度等于水平方向线段BC与EF的和，AG的长度等于竖直方向线段AB、CD、DE的和。
【解析】
解：过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G。
由图中各直角的位置关系可得：
水平方向直角边长度：$FG = BC + EF = 4 + 2 = 6$
竖直方向直角边长度：$AG = AB + CD + DE = 3 + 3 + 2 = 8$
在$Rt△ AGF$中，根据勾股定理：
$AF^2 = AG^2 + FG^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$
因为线段长度为正数，所以$AF = \sqrt{100} = 10$
【答案】
10
【知识点】
勾股定理，割补法构造直角三角形
【点评】
本题核心是将所求线段转化为直角三角形的斜边，把分散的已知线段长度整合为直角三角形的两条直角边，考查了图形转化能力和勾股定理的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图7，某中学有一块四边形的空地ABCD.学校计划在空地上种植草皮，经测量，$∠ A=90°$，$AB=3\ \mathrm{m}$，$BC=12\ \mathrm{m}$，$CD=13\ \mathrm{m}$，$DA=4\ \mathrm{m}$.若每平方米草皮200元，则学校需要投入多少资金买草皮？
答案
13.7 200元
解析
【分析】
这是一道不规则四边形面积计算的实际应用题，解题思路如下：①四边形ABCD是不规则图形，已知∠A=90°，我们可以连接辅助线BD，将四边形分割为△ABD和△BCD两个三角形；②先在Rt△ABD中运用勾股定理求出BD的长度；③再结合BD、BC、CD的长度，用勾股定理的逆定理判断△BCD是否为直角三角形；④分别计算两个三角形的面积，求和得到四边形的总面积，最后用总面积乘每平方米草皮的价格，即可得到总投入资金。
【解析】
解：连接BD，
∵ 在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=3 m，AD=4 m，
由勾股定理得：$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
∴ $BD = 5\ \mathrm{m}$，
在△BCD中，$BD=5\ \mathrm{m}$，$BC=12\ \mathrm{m}$，$CD=13\ \mathrm{m}$，
∵ $BD^2 + BC^2 = 25 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$CD^2 = 13^2 = 169$，
∴ $BD^2 + BC^2 = CD^2$，
由勾股定理的逆定理可得，△BCD是直角三角形，且$∠ CBD=90°$，
∴ 四边形ABCD的面积 $= S_{△ ABD} + S_{△ BCD}$
$= \frac{1}{2} × AB × AD + \frac{1}{2} × BD × BC$
$= \frac{1}{2} × 3 × 4 + \frac{1}{2} × 5 × 12$
$= 6 + 30 = 36$（平方米）
总投入资金为：$36 × 200 = 7200$（元）
【答案】
7200元
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题属于几何实际应用类基础题，核心解题思路是通过添加辅助线将不规则四边形转化为熟悉的直角三角形求解，解题的关键是合理构造辅助线，灵活运用勾股定理及其逆定理。
【难度系数】
0.7
这是一道不规则四边形面积计算的实际应用题，解题思路如下：①四边形ABCD是不规则图形，已知∠A=90°，我们可以连接辅助线BD，将四边形分割为△ABD和△BCD两个三角形；②先在Rt△ABD中运用勾股定理求出BD的长度；③再结合BD、BC、CD的长度，用勾股定理的逆定理判断△BCD是否为直角三角形；④分别计算两个三角形的面积，求和得到四边形的总面积，最后用总面积乘每平方米草皮的价格，即可得到总投入资金。
【解析】
解：连接BD，
∵ 在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=3 m，AD=4 m，
由勾股定理得：$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
∴ $BD = 5\ \mathrm{m}$，
在△BCD中，$BD=5\ \mathrm{m}$，$BC=12\ \mathrm{m}$，$CD=13\ \mathrm{m}$，
∵ $BD^2 + BC^2 = 25 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$CD^2 = 13^2 = 169$，
∴ $BD^2 + BC^2 = CD^2$，
由勾股定理的逆定理可得，△BCD是直角三角形，且$∠ CBD=90°$，
∴ 四边形ABCD的面积 $= S_{△ ABD} + S_{△ BCD}$
$= \frac{1}{2} × AB × AD + \frac{1}{2} × BD × BC$
$= \frac{1}{2} × 3 × 4 + \frac{1}{2} × 5 × 12$
$= 6 + 30 = 36$（平方米）
总投入资金为：$36 × 200 = 7200$（元）
【答案】
7200元
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题属于几何实际应用类基础题，核心解题思路是通过添加辅助线将不规则四边形转化为熟悉的直角三角形求解，解题的关键是合理构造辅助线，灵活运用勾股定理及其逆定理。
【难度系数】
0.7
14.如图8,已知OA=10,P是射线ON上一动点,∠O=60°.(1)当△AOP是等边三角形时,求AP的长;(2)当△AOP是直角三角形时,求AP的长.
答案
14.(1)10 (2)$5\sqrt{3}$或$10\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 当△AOP是等边三角形时，根据等边三角形三边相等的性质，直接可得AP与OA相等，代入OA的长度即可求解。
(2) 当△AOP是直角三角形时，已知∠O=60°，因此直角顶点只能是∠OAP或∠APO，需分两种情况讨论：分别根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出未知边长，再用勾股定理计算AP的长度，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵△AOP是等边三角形，
∴AP=OA，
又
∵OA=10，
∴AP=10。
(2) 分两种情况讨论：
① 当∠APO=90°时，
∵∠O=60°，
∴∠OAP=30°，
∴OP=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×10=5，
在Rt△AOP中，由勾股定理得：
AP=$\sqrt{OA^2 - OP^2}$=$\sqrt{10^2 - 5^2}$=$\sqrt{75}$=$5\sqrt{3}$；
② 当∠OAP=90°时，
∵∠O=60°，
∴∠APO=30°，
∴OP=2OA=2×10=20，
在Rt△AOP中，由勾股定理得：
AP=$\sqrt{OP^2 - OA^2}$=$\sqrt{20^2 - 10^2}$=$\sqrt{300}$=$10\sqrt{3}$。
综上，AP的长为$5\sqrt{3}$或$10\sqrt{3}$。
【答案】
(1)10；(2)$5\sqrt{3}$或$10\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题主要考查特殊三角形性质的综合应用，解题的关键是明确直角三角形未指明直角顶点时需分类讨论，避免出现漏解的情况，是三角形章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 当△AOP是等边三角形时，根据等边三角形三边相等的性质，直接可得AP与OA相等，代入OA的长度即可求解。
(2) 当△AOP是直角三角形时，已知∠O=60°，因此直角顶点只能是∠OAP或∠APO，需分两种情况讨论：分别根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出未知边长，再用勾股定理计算AP的长度，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵△AOP是等边三角形，
∴AP=OA，
又
∵OA=10，
∴AP=10。
(2) 分两种情况讨论：
① 当∠APO=90°时，
∵∠O=60°，
∴∠OAP=30°，
∴OP=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×10=5，
在Rt△AOP中，由勾股定理得：
AP=$\sqrt{OA^2 - OP^2}$=$\sqrt{10^2 - 5^2}$=$\sqrt{75}$=$5\sqrt{3}$；
② 当∠OAP=90°时，
∵∠O=60°，
∴∠APO=30°，
∴OP=2OA=2×10=20，
在Rt△AOP中，由勾股定理得：
AP=$\sqrt{OP^2 - OA^2}$=$\sqrt{20^2 - 10^2}$=$\sqrt{300}$=$10\sqrt{3}$。
综上，AP的长为$5\sqrt{3}$或$10\sqrt{3}$。
【答案】
(1)10；(2)$5\sqrt{3}$或$10\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题主要考查特殊三角形性质的综合应用，解题的关键是明确直角三角形未指明直角顶点时需分类讨论，避免出现漏解的情况，是三角形章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
