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1.有下列几组数:①9,12,15;②8,15,17;③7,24,25;④$n^2 -1$，$2n$，$n^2 +1$（n是大于1的整数）.其中是勾股数的有（
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
D
）A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
答案
1.D
解析
【分析】
解题前首先明确勾股数的判定标准：①三个数都为正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方。我们只需按照这两个标准，依次对4组数逐一验证即可得出正确答案。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数，称为勾股数，我们逐组验证：
1. 验证①组：$9^2=81$，$12^2=144$，$15^2=225$，可得$9^2+12^2=81+144=225=15^2$，且三个数都是正整数，是勾股数；
2. 验证②组：$8^2=64$，$15^2=225$，$17^2=289$，可得$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，且三个数都是正整数，是勾股数；
3. 验证③组：$7^2=49$，$24^2=576$，$25^2=625$，可得$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，且三个数都是正整数，是勾股数；
4. 验证④组：已知n是大于1的整数，故$n^2 -1$、$2n$、$n^2 +1$均为正整数，计算平方和：
$(n^2-1)^2 + (2n)^2 = n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2 = n^4 + 2n^2 + 1$，
而$(n^2+1)^2 = n^4 + 2n^2 + 1$，
因此$(n^2-1)^2 + (2n)^2 = (n^2+1)^2$，满足勾股数要求，是勾股数。
综上4组均为勾股数，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的判定、完全平方公式、平方运算
【点评】
本题核心考查勾股数的判定，需注意除了验证平方和关系外，不能忽略三个数必须为正整数的前提，第④组是常见的勾股数通用表达式，掌握该规律可提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
解题前首先明确勾股数的判定标准：①三个数都为正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方。我们只需按照这两个标准，依次对4组数逐一验证即可得出正确答案。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数，称为勾股数，我们逐组验证：
1. 验证①组：$9^2=81$，$12^2=144$，$15^2=225$，可得$9^2+12^2=81+144=225=15^2$，且三个数都是正整数，是勾股数；
2. 验证②组：$8^2=64$，$15^2=225$，$17^2=289$，可得$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，且三个数都是正整数，是勾股数；
3. 验证③组：$7^2=49$，$24^2=576$，$25^2=625$，可得$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，且三个数都是正整数，是勾股数；
4. 验证④组：已知n是大于1的整数，故$n^2 -1$、$2n$、$n^2 +1$均为正整数，计算平方和：
$(n^2-1)^2 + (2n)^2 = n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2 = n^4 + 2n^2 + 1$，
而$(n^2+1)^2 = n^4 + 2n^2 + 1$，
因此$(n^2-1)^2 + (2n)^2 = (n^2+1)^2$，满足勾股数要求，是勾股数。
综上4组均为勾股数，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的判定、完全平方公式、平方运算
【点评】
本题核心考查勾股数的判定，需注意除了验证平方和关系外，不能忽略三个数必须为正整数的前提，第④组是常见的勾股数通用表达式，掌握该规律可提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
2.若线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是 （
A.$2:3:4$
B.$3:4:6$
C.$5:12:13$
D.$4:6:7$
C
）A.$2:3:4$
B.$3:4:6$
C.$5:12:13$
D.$4:6:7$
答案
2.C
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成直角三角形，可依据勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。由于三边的比例同时扩大或缩小相同倍数时，三边的平方和关系不会改变，因此可以直接用各选项中比例的数值代入验证即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，我们逐一验证各选项：
A选项：三边比为$2:3:4$，最长边对应数值为4，计算得$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不符合要求；
B选项：三边比为$3:4:6$，最长边对应数值为6，计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$6^2=36$，$25≠36$，不符合要求；
C选项：三边比为$5:12:13$，最长边对应数值为13，计算得$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，满足两短边平方和等于最长边平方，符合要求；
D选项：三边比为$4:6:7$，最长边对应数值为7，计算得$4^2+6^2=16+36=52$，$7^2=49$，$52≠49$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题时优先验证两短边平方和与最长边平方的相等关系即可，平时积累常见的勾股数可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要判断三条线段能否组成直角三角形，可依据勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。由于三边的比例同时扩大或缩小相同倍数时，三边的平方和关系不会改变，因此可以直接用各选项中比例的数值代入验证即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，我们逐一验证各选项：
A选项：三边比为$2:3:4$，最长边对应数值为4，计算得$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不符合要求；
B选项：三边比为$3:4:6$，最长边对应数值为6，计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$6^2=36$，$25≠36$，不符合要求；
C选项：三边比为$5:12:13$，最长边对应数值为13，计算得$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，满足两短边平方和等于最长边平方，符合要求；
D选项：三边比为$4:6:7$，最长边对应数值为7，计算得$4^2+6^2=16+36=52$，$7^2=49$，$52≠49$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题时优先验证两短边平方和与最长边平方的相等关系即可，平时积累常见的勾股数可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3.下列命题的逆命题成立的是（
A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C.两直线平行，同旁内角互补
D.如果两个角都是$45°$，那么这两个角相等
C
）A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C.两直线平行，同旁内角互补
D.如果两个角都是$45°$，那么这两个角相等
答案
3.C
解析
【分析】
要判断哪个命题的逆命题成立，首先要明确逆命题的定义：将原命题的题设和结论互换位置，得到的就是原命题的逆命题。解题时先逐一写出每个选项命题的逆命题，再结合已学的数学定理、性质判断逆命题是否成立即可。
【解析】
逆命题的改写规则为：把原命题的题设作为逆命题的结论，原命题的结论作为逆命题的题设，逐个分析如下：
A选项：原命题题设为“两个三角形是全等三角形”，结论为“对应角相等”，逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”。反例：两个相似三角形对应角相等，但不一定全等，因此逆命题不成立。
B选项：原命题题设为“两个数相等”，结论为“它们的绝对值相等”，逆命题为“绝对值相等的两个数相等”。反例：3和-3的绝对值相等，但两数不相等，因此逆命题不成立。
C选项：原命题题设为“两直线平行”，结论为“同旁内角互补”，逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，这是平行线的判定定理，属于真命题，因此逆命题成立。
D选项：原命题题设为“两个角都是45°”，结论为“这两个角相等”，逆命题为“相等的两个角都是45°”。反例：两个30°的角也相等，但不是45°，因此逆命题不成立。
综上，只有C选项的逆命题成立。
【答案】
C
【知识点】
1. 逆命题的定义
2. 平行线的判定与性质
3. 真假命题判断
【点评】
本题考查逆命题的改写及真假命题的判断，解题核心是准确区分原命题的题设和结论，正确写出逆命题后再结合相关数学知识验证其是否成立，属于基础类考题，需熟练掌握命题相关的基本概念。
【难度系数】
0.7
要判断哪个命题的逆命题成立，首先要明确逆命题的定义：将原命题的题设和结论互换位置，得到的就是原命题的逆命题。解题时先逐一写出每个选项命题的逆命题，再结合已学的数学定理、性质判断逆命题是否成立即可。
【解析】
逆命题的改写规则为：把原命题的题设作为逆命题的结论，原命题的结论作为逆命题的题设，逐个分析如下：
A选项：原命题题设为“两个三角形是全等三角形”，结论为“对应角相等”，逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”。反例：两个相似三角形对应角相等，但不一定全等，因此逆命题不成立。
B选项：原命题题设为“两个数相等”，结论为“它们的绝对值相等”，逆命题为“绝对值相等的两个数相等”。反例：3和-3的绝对值相等，但两数不相等，因此逆命题不成立。
C选项：原命题题设为“两直线平行”，结论为“同旁内角互补”，逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，这是平行线的判定定理，属于真命题，因此逆命题成立。
D选项：原命题题设为“两个角都是45°”，结论为“这两个角相等”，逆命题为“相等的两个角都是45°”。反例：两个30°的角也相等，但不是45°，因此逆命题不成立。
综上，只有C选项的逆命题成立。
【答案】
C
【知识点】
1. 逆命题的定义
2. 平行线的判定与性质
3. 真假命题判断
【点评】
本题考查逆命题的改写及真假命题的判断，解题核心是准确区分原命题的题设和结论，正确写出逆命题后再结合相关数学知识验证其是否成立，属于基础类考题，需熟练掌握命题相关的基本概念。
【难度系数】
0.7
4.如图1，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（
A.4
B.16
C.22
D.55
B
）A.4
B.16
C.22
D.55
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：直线l上的三个正方形中，中间正方形b的两侧各有一个直角三角形，我们可以先利用正方形的性质和同角的余角相等，证明这两个直角三角形全等，得到对应边相等，再结合勾股定理，就能推出三个正方形面积之间的数量关系，进而求出b的面积。
【解析】
设正方形a、b、c的边长分别为$ x $、$ y $、$ z $，由题意得$ S_a=x^2=5 $，$ S_c=z^2=11 $。
1. 证明三角形全等：
∵正方形b的内角为90°，
∴两个直角三角形的一组锐角之和为90°，
又
∵直角三角形的两个锐角互余，可得两个三角形的对应锐角相等，
且两个三角形均为直角三角形，斜边均为正方形b的边长$ y $，
∴两个直角三角形全等（AAS），可得对应直角边长度分别为$ x $和$ z $。
2. 结合勾股定理计算：
在以$ y $为斜边的直角三角形中，由勾股定理得：
$ y^2=x^2+z^2 $
∵正方形b的面积$ S_b=y^2 $，
∴$ S_b=5+11=16 $。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是勾股定理与全等三角形结合的典型基础题，巧妙将正方形的面积关系和勾股定理结合，解题的核心是通过证明全等得到直角三角形边长的关系，这类题是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：直线l上的三个正方形中，中间正方形b的两侧各有一个直角三角形，我们可以先利用正方形的性质和同角的余角相等，证明这两个直角三角形全等，得到对应边相等，再结合勾股定理，就能推出三个正方形面积之间的数量关系，进而求出b的面积。
【解析】
设正方形a、b、c的边长分别为$ x $、$ y $、$ z $，由题意得$ S_a=x^2=5 $，$ S_c=z^2=11 $。
1. 证明三角形全等：
∵正方形b的内角为90°，
∴两个直角三角形的一组锐角之和为90°，
又
∵直角三角形的两个锐角互余，可得两个三角形的对应锐角相等，
且两个三角形均为直角三角形，斜边均为正方形b的边长$ y $，
∴两个直角三角形全等（AAS），可得对应直角边长度分别为$ x $和$ z $。
2. 结合勾股定理计算：
在以$ y $为斜边的直角三角形中，由勾股定理得：
$ y^2=x^2+z^2 $
∵正方形b的面积$ S_b=y^2 $，
∴$ S_b=5+11=16 $。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是勾股定理与全等三角形结合的典型基础题，巧妙将正方形的面积关系和勾股定理结合，解题的核心是通过证明全等得到直角三角形边长的关系，这类题是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
5.受台风影响，路边一棵大树在离地面6米处断裂(但未分离)，大树顶部落在离大树底部8米处，则大树折断之前的高是
16
米.答案
5.16
解析
【分析】
这是一道勾股定理的实际应用题，解题时首先要将实际场景转化为数学模型：大树原本垂直于地面，断裂后未分离，大树的下部、地面、断裂的上部刚好构成直角三角形。其中两条直角边分别是大树下部的长度（离地面6米）、大树顶部落地点与树底部的距离（8米），断裂的上部是这个直角三角形的斜边。我们可以先通过勾股定理求出断裂部分的长度，再加上未断裂的下部长度，就能得到大树折断前的总高度。
【解析】
解：由题意可知，大树断裂后形成直角三角形，两条直角边的长度分别为6米和8米。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$（米）
即大树断裂的上半部分长度为10米。
则大树折断前的总高度为：$6 + 10 = 16$（米）
【答案】
16
【知识点】
1.勾股定理 2.直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用，核心是将实际问题抽象为直角三角形模型，明确各边的对应关系即可求解，能很好地考查学生的建模能力和基础公式运用能力。
【难度系数】
0.8
这是一道勾股定理的实际应用题，解题时首先要将实际场景转化为数学模型：大树原本垂直于地面，断裂后未分离，大树的下部、地面、断裂的上部刚好构成直角三角形。其中两条直角边分别是大树下部的长度（离地面6米）、大树顶部落地点与树底部的距离（8米），断裂的上部是这个直角三角形的斜边。我们可以先通过勾股定理求出断裂部分的长度，再加上未断裂的下部长度，就能得到大树折断前的总高度。
【解析】
解：由题意可知，大树断裂后形成直角三角形，两条直角边的长度分别为6米和8米。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$（米）
即大树断裂的上半部分长度为10米。
则大树折断前的总高度为：$6 + 10 = 16$（米）
【答案】
16
【知识点】
1.勾股定理 2.直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用，核心是将实际问题抽象为直角三角形模型，明确各边的对应关系即可求解，能很好地考查学生的建模能力和基础公式运用能力。
【难度系数】
0.8
6. 已知三角形三个内角的度数之比为1:2:3，最大边长是8 cm，则最小边长是
4
cm.答案
6.4
7.如图2是台阶的示意图.已知每个台阶的宽度都是36 cm,每个台阶的高度都是15 cm,则 A,B 两点之间的距离等于
195 cm
. 答案
7.195 cm
解析
【分析】
求解本题可利用平移的思想，先将所有台阶的水平边向下平移、竖直边向左平移，把A、B两点的连线转化为直角三角形的斜边。首先数出台阶总数量，分别计算A到B的水平总距离和竖直总距离，再结合勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
观察图形可知共有5级台阶：
1. 计算水平总距离：每个台阶宽度为36cm，水平总长度 = $36×5=180\ \mathrm{cm}$
2. 计算竖直总距离：每个台阶高度为15cm，竖直总高度 = $15×5=75\ \mathrm{cm}$
3. 根据勾股定理，A、B两点距离为直角三角形的斜边长：
$AB=\sqrt{180^2+75^2}=\sqrt{32400+5625}=\sqrt{38025}=195\ \mathrm{cm}$
【答案】
195 cm
【知识点】
平移的应用，勾股定理，图形转化思想
【点评】
本题结合生活中的台阶场景考查几何知识的实际应用，通过平移将不规则的折线距离转化为规则直角三角形的边长问题，解题的关键是准确算出水平、竖直方向的总长度，再结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.7
求解本题可利用平移的思想，先将所有台阶的水平边向下平移、竖直边向左平移，把A、B两点的连线转化为直角三角形的斜边。首先数出台阶总数量，分别计算A到B的水平总距离和竖直总距离，再结合勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
观察图形可知共有5级台阶：
1. 计算水平总距离：每个台阶宽度为36cm，水平总长度 = $36×5=180\ \mathrm{cm}$
2. 计算竖直总距离：每个台阶高度为15cm，竖直总高度 = $15×5=75\ \mathrm{cm}$
3. 根据勾股定理，A、B两点距离为直角三角形的斜边长：
$AB=\sqrt{180^2+75^2}=\sqrt{32400+5625}=\sqrt{38025}=195\ \mathrm{cm}$
【答案】
195 cm
【知识点】
平移的应用，勾股定理，图形转化思想
【点评】
本题结合生活中的台阶场景考查几何知识的实际应用，通过平移将不规则的折线距离转化为规则直角三角形的边长问题，解题的关键是准确算出水平、竖直方向的总长度，再结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.7
8.八年级学生准备测量校园人工湖的深度.如图3,他们在离湖边1米远的D处(CD=1米)将一根竹竿AB竖直插到水底,竹竿高出水面1尺,把竹竿的顶端拉向湖边(底端没动),竿顶和湖边的水面刚好平齐.求湖水的深度BD和竹竿的长度AB.(1尺=$\frac{1}{3}$米)
答案
8.湖水深$\frac{4}{3}$米,竹竿长$\frac{5}{3}$米.
解析
【分析】
本题是勾股定理的实际应用问题，解题思路如下：首先统一单位，将1尺换算为$\frac{1}{3}$米；其次抓住“竹竿长度不变”这一关键条件，可知拉到湖边后竹竿长度$CB=AB$；接着设湖水深度$BD$为未知数，用含未知数的式子表示出$CB$的长度；最后在$Rt△ CDB$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
首先统一单位：$1$尺$=\frac{1}{3}$米。
设湖水的深度$BD$为$x$米，则竹竿的长度$AB=(x+\frac{1}{3})$米。
由题意可知，将竿顶拉到湖边时竹竿长度不变，因此$CB=AB=(x+\frac{1}{3})$米。
观察图形可知$△ CDB$是直角三角形，$∠ CDB=90°$，$CD=1$米，根据勾股定理可得：
$CD^2 + BD^2 = CB^2$
代入数值：
$1^2 + x^2 = (x+\frac{1}{3})^2$
展开右侧：
$1 + x^2 = x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}$
消去$x^2$，移项计算：
$\frac{2}{3}x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
解得：
$x = \frac{8}{9} × \frac{3}{2} = \frac{4}{3}$
则竹竿长度$AB = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$（米）。
【答案】
湖水深$\frac{4}{3}$米，竹竿长$\frac{5}{3}$米。
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的常见题型，解题的核心是抓住竹竿长度不变的隐含条件，构造直角三角形利用勾股定理建立方程，解题时要注意先统一单位，避免单位不一致导致计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是勾股定理的实际应用问题，解题思路如下：首先统一单位，将1尺换算为$\frac{1}{3}$米；其次抓住“竹竿长度不变”这一关键条件，可知拉到湖边后竹竿长度$CB=AB$；接着设湖水深度$BD$为未知数，用含未知数的式子表示出$CB$的长度；最后在$Rt△ CDB$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
首先统一单位：$1$尺$=\frac{1}{3}$米。
设湖水的深度$BD$为$x$米，则竹竿的长度$AB=(x+\frac{1}{3})$米。
由题意可知，将竿顶拉到湖边时竹竿长度不变，因此$CB=AB=(x+\frac{1}{3})$米。
观察图形可知$△ CDB$是直角三角形，$∠ CDB=90°$，$CD=1$米，根据勾股定理可得：
$CD^2 + BD^2 = CB^2$
代入数值：
$1^2 + x^2 = (x+\frac{1}{3})^2$
展开右侧：
$1 + x^2 = x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}$
消去$x^2$，移项计算：
$\frac{2}{3}x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
解得：
$x = \frac{8}{9} × \frac{3}{2} = \frac{4}{3}$
则竹竿长度$AB = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$（米）。
【答案】
湖水深$\frac{4}{3}$米，竹竿长$\frac{5}{3}$米。
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的常见题型，解题的核心是抓住竹竿长度不变的隐含条件，构造直角三角形利用勾股定理建立方程，解题时要注意先统一单位，避免单位不一致导致计算错误。
【难度系数】
0.7
