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1. [2024烟台中考]下列实数中的无理数是（
A.$\frac{2}{3}$
B.$3.14$
C.$\sqrt{15}$
D.$\sqrt[3]{64}$
C
）A.$\frac{2}{3}$
B.$3.14$
C.$\sqrt{15}$
D.$\sqrt[3]{64}$
答案
1. C $\frac{2}{3},3.14,\sqrt[3]{64}=4$都是有理数,$\sqrt{15}$是无理数.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确有理数和无理数的定义，再逐个分析每个选项所属的类别，最终选出无理数选项。解题思路如下：第一步，回忆相关概念：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等。第二步，逐一计算、判断每个选项，排除所有有理数选项，剩下的就是符合要求的无理数。
【解析】
我们根据有理数和无理数的定义逐一判断选项：
1. 选项A：$\frac{2}{3}$是分数，属于有理数，不符合题意；
2. 选项B：3.14是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合题意；
3. 选项C：$\sqrt{15}$中15不是完全平方数，开平方后得到的是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
4. 选项D：$\sqrt[3]{64}=4$，4是整数，属于有理数，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别，有理数的概念，开方运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是明确有理数与无理数的区别，牢记常见的无理数类型即可快速作答。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需要明确有理数和无理数的定义，再逐个分析每个选项所属的类别，最终选出无理数选项。解题思路如下：第一步，回忆相关概念：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等。第二步，逐一计算、判断每个选项，排除所有有理数选项，剩下的就是符合要求的无理数。
【解析】
我们根据有理数和无理数的定义逐一判断选项：
1. 选项A：$\frac{2}{3}$是分数，属于有理数，不符合题意；
2. 选项B：3.14是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合题意；
3. 选项C：$\sqrt{15}$中15不是完全平方数，开平方后得到的是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
4. 选项D：$\sqrt[3]{64}=4$，4是整数，属于有理数，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别，有理数的概念，开方运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是明确有理数与无理数的区别，牢记常见的无理数类型即可快速作答。
【难度系数】
0.85
2. [2025南京中考] $10^{-6}$的算术平方根是（
A.0.000 1
B.0.001
C.±0.000 1
D.±0.001
B
）A.0.000 1
B.0.001
C.±0.000 1
D.±0.001
答案
2. B
解析
【分析】
解题可分两步思考：第一步，回忆算术平方根的定义，算术平方根的结果一定是非负数，因此可以直接排除带有正负号的C、D两个选项；第二步，计算$10^{-6}$的算术平方根，根据乘方与开平方的互逆关系，找到满足$x^2=10^{-6}$的非负数$x$即可，也可结合幂的乘方运算规律快速计算，最终得出结果对应正确选项。
【解析】
首先根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的算术平方根，可知算术平方根的结果必然是非负数，因此选项C、D带有负号，不符合要求，直接排除。
接下来计算$10^{-6}$的算术平方根：设该算术平方根为$x$，则$x≥0$，且$x^2=10^{-6}$。
根据幂的乘方运算规律：$(a^m)^n=a^{m× n}$，可得$(10^{-3})^2=10^{-3×2}=10^{-6}$，其中$10^{-3}=0.001$，满足非负要求。
因此$10^{-6}$的算术平方根是0.001。
【答案】
B
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点在于混淆平方根和算术平方根的概念，误选带有正负号的选项，其次要熟练掌握负整数指数幂的运算和开平方的计算，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题可分两步思考：第一步，回忆算术平方根的定义，算术平方根的结果一定是非负数，因此可以直接排除带有正负号的C、D两个选项；第二步，计算$10^{-6}$的算术平方根，根据乘方与开平方的互逆关系，找到满足$x^2=10^{-6}$的非负数$x$即可，也可结合幂的乘方运算规律快速计算，最终得出结果对应正确选项。
【解析】
首先根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的算术平方根，可知算术平方根的结果必然是非负数，因此选项C、D带有负号，不符合要求，直接排除。
接下来计算$10^{-6}$的算术平方根：设该算术平方根为$x$，则$x≥0$，且$x^2=10^{-6}$。
根据幂的乘方运算规律：$(a^m)^n=a^{m× n}$，可得$(10^{-3})^2=10^{-3×2}=10^{-6}$，其中$10^{-3}=0.001$，满足非负要求。
因此$10^{-6}$的算术平方根是0.001。
【答案】
B
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点在于混淆平方根和算术平方根的概念，误选带有正负号的选项，其次要熟练掌握负整数指数幂的运算和开平方的计算，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
3. [2025扬州中考]如图，数轴上点A表示的数可能是（
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{10}$
C
）A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{10}$
答案
3. C
∵1＜2＜3＜4＜7＜9＜10,
∴1＜√2＜√3＜2＜√7＜3＜√10,则数轴上点A表示的数可能是√7.
∵1＜2＜3＜4＜7＜9＜10,
∴1＜√2＜√3＜2＜√7＜3＜√10,则数轴上点A表示的数可能是√7.
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定点A的取值范围，可知点A表示的数大于2且小于3；接下来需要估算每个选项中算术平方根的取值范围，估算方法是找到被开方数介于哪两个相邻的正整数的平方之间，对应的算术平方根就介于这两个正整数之间，最后对比各选项的范围和点A的范围，匹配的就是正确答案。
【解析】
由数轴可得，点A表示的数满足$2 ＜ A ＜ 3$，我们对各选项的无理数逐一估算：
A. 因为$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$，不符合点A的取值范围，排除；
B. 因为$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$，不符合点A的取值范围，排除；
C. 因为$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，符合点A的取值范围；
D. 因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，不符合点A的取值范围，排除。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用、无理数的估算、算术平方根
【点评】
本题属于基础题型，将数轴识别和无理数估算结合考查，解题核心是掌握利用相邻完全平方数估算算术平方根取值范围的方法，先确定目标范围再逐一排查选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察数轴确定点A的取值范围，可知点A表示的数大于2且小于3；接下来需要估算每个选项中算术平方根的取值范围，估算方法是找到被开方数介于哪两个相邻的正整数的平方之间，对应的算术平方根就介于这两个正整数之间，最后对比各选项的范围和点A的范围，匹配的就是正确答案。
【解析】
由数轴可得，点A表示的数满足$2 ＜ A ＜ 3$，我们对各选项的无理数逐一估算：
A. 因为$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$，不符合点A的取值范围，排除；
B. 因为$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$，不符合点A的取值范围，排除；
C. 因为$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，符合点A的取值范围；
D. 因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，不符合点A的取值范围，排除。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用、无理数的估算、算术平方根
【点评】
本题属于基础题型，将数轴识别和无理数估算结合考查，解题核心是掌握利用相邻完全平方数估算算术平方根取值范围的方法，先确定目标范围再逐一排查选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4. [2025北京中考]实数$a,b$在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 (
A.$a ＞ -1$
B.$a + b = 0$
C.$a - b ＞ 0$
D.$|a| ＞ |b|$
D
)A.$a ＞ -1$
B.$a + b = 0$
C.$a - b ＞ 0$
D.$|a| ＞ |b|$
答案
4. D 观察题中数轴可知:$-2 ＜ a ＜ -1,0 ＜ b ＜ 1,|a| ＞ |b|$,
∴$a + b ＜ 0,a - b ＜ 0$,
∴A,B,C选项中的结论错误,D选项中的结论正确.
∴$a + b ＜ 0,a - b ＜ 0$,
∴A,B,C选项中的结论错误,D选项中的结论正确.
解析
【分析】
解决这类数轴与实数结合的题目，首先要利用数轴的性质：数轴上右边的数总比左边的数大，点到原点的距离对应该数的绝对值，先确定a、b的取值范围，再结合实数运算、绝对值的相关性质，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
根据数轴上a、b的位置可得：$\boldsymbol{-2 ＜ a ＜ -1}$，$\boldsymbol{0 ＜ b ＜ 1}$。
选项A：a位于-1左侧，因此$a＜-1$，A错误；
选项B：a是负数，且a到原点的距离大于b到原点的距离，即a的绝对值大于b的绝对值，因此$a+b＜0$，不可能等于0，B错误；
选项C：$a-b=a+(-b)$，a为负数，$-b$也为负数，两个负数相加结果仍为负数，即$a-b＜0$，C错误；
选项D：a到原点的距离大于b到原点的距离，根据绝对值的几何意义，可得$|a|＞|b|$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的性质，绝对值的意义，实数的运算
【点评】
本题是实数与数轴结合的基础题型，解题核心是准确从数轴中提取实数的范围信息，再结合相关性质逐一验证选项，属于基础得分题。
【难度系数】
0.85
解决这类数轴与实数结合的题目，首先要利用数轴的性质：数轴上右边的数总比左边的数大，点到原点的距离对应该数的绝对值，先确定a、b的取值范围，再结合实数运算、绝对值的相关性质，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
根据数轴上a、b的位置可得：$\boldsymbol{-2 ＜ a ＜ -1}$，$\boldsymbol{0 ＜ b ＜ 1}$。
选项A：a位于-1左侧，因此$a＜-1$，A错误；
选项B：a是负数，且a到原点的距离大于b到原点的距离，即a的绝对值大于b的绝对值，因此$a+b＜0$，不可能等于0，B错误；
选项C：$a-b=a+(-b)$，a为负数，$-b$也为负数，两个负数相加结果仍为负数，即$a-b＜0$，C错误；
选项D：a到原点的距离大于b到原点的距离，根据绝对值的几何意义，可得$|a|＞|b|$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的性质，绝对值的意义，实数的运算
【点评】
本题是实数与数轴结合的基础题型，解题核心是准确从数轴中提取实数的范围信息，再结合相关性质逐一验证选项，属于基础得分题。
【难度系数】
0.85
5. [2024成都中考]若$m,n$为实数,且$(m+4)^2 + \sqrt{n-5}=0$,则$(m+n)^2$的值为
1
.答案
5. 1
∵$(m+4)^2 + \sqrt{n-5}=0$,
∴$m+4=0,n-5=0$,解得$m=-4,n=5$,
∴$(m+n)^2=(-4+5)^2=1^2=1$.
∵$(m+4)^2 + \sqrt{n-5}=0$,
∴$m+4=0,n-5=0$,解得$m=-4,n=5$,
∴$(m+n)^2=(-4+5)^2=1^2=1$.
解析
【分析】
解题时首先观察等式特征：等式为一个平方与一个算术平方根的和等于0。结合所学性质，实数的平方、算术平方根都属于非负数，即二者的取值都大于等于0，两个非负数相加结果为0时，只能是两个非负数各自的值为0。因此我们可以先分别列方程求出m、n的值，再代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
已知$(m+4)^2 + \sqrt{n-5}=0$，
∵$(m+4)^2≥0$，$\sqrt{n-5}≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，
∴$m+4=0$，$n-5=0$，
解得$m=-4$，$n=5$，
将$m=-4$、$n=5$代入$(m+n)^2$得：
$(m+n)^2=(-4+5)^2=1^2=1$。
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，乘方运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查非负数性质的应用，解题关键是掌握“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”的规律，求出参数后代入计算即可，计算难度低，易得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察等式特征：等式为一个平方与一个算术平方根的和等于0。结合所学性质，实数的平方、算术平方根都属于非负数，即二者的取值都大于等于0，两个非负数相加结果为0时，只能是两个非负数各自的值为0。因此我们可以先分别列方程求出m、n的值，再代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
已知$(m+4)^2 + \sqrt{n-5}=0$，
∵$(m+4)^2≥0$，$\sqrt{n-5}≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，
∴$m+4=0$，$n-5=0$，
解得$m=-4$，$n=5$，
将$m=-4$、$n=5$代入$(m+n)^2$得：
$(m+n)^2=(-4+5)^2=1^2=1$。
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，乘方运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查非负数性质的应用，解题关键是掌握“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”的规律，求出参数后代入计算即可，计算难度低，易得分。
【难度系数】
0.9
6. [2025重庆中考]若$n$为正整数，且满足$n ＜ \sqrt{26} ＜ n+1$，则$n=$
5
。答案
6. 5
∵$\sqrt{25} ＜ \sqrt{26} ＜ \sqrt{36}$,
∴$5 ＜ \sqrt{26} ＜ 6$.又$n ＜ \sqrt{26} ＜ n+1$,
∴$n=5$.
∵$\sqrt{25} ＜ \sqrt{26} ＜ \sqrt{36}$,
∴$5 ＜ \sqrt{26} ＜ 6$.又$n ＜ \sqrt{26} ＜ n+1$,
∴$n=5$.
解析
【分析】
要确定n的值，需先估算出√26介于哪两个相邻正整数之间。首先找到与26相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质（被开方数越大，对应的算术平方根越大），即可得到√26的取值范围，再结合题目给出的n＜√26＜n+1的关系，就能求出n的数值。
【解析】
∵$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜26＜36$，
∴$\sqrt{25} ＜ \sqrt{26} ＜ \sqrt{36}$，即$5 ＜ \sqrt{26} ＜ 6$，
又
∵n为正整数，且满足$n ＜ \sqrt{26} ＜ n+1$，
∴$n=5$。
【答案】
5
【知识点】
无理数的估算，算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查无理数的估算方法，解题的核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，从而确定无理数的整数取值范围，是实数相关知识的常规考查题型。
【难度系数】
0.85
要确定n的值，需先估算出√26介于哪两个相邻正整数之间。首先找到与26相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质（被开方数越大，对应的算术平方根越大），即可得到√26的取值范围，再结合题目给出的n＜√26＜n+1的关系，就能求出n的数值。
【解析】
∵$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜26＜36$，
∴$\sqrt{25} ＜ \sqrt{26} ＜ \sqrt{36}$，即$5 ＜ \sqrt{26} ＜ 6$，
又
∵n为正整数，且满足$n ＜ \sqrt{26} ＜ n+1$，
∴$n=5$。
【答案】
5
【知识点】
无理数的估算，算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查无理数的估算方法，解题的核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，从而确定无理数的整数取值范围，是实数相关知识的常规考查题型。
【难度系数】
0.85
7. 计算：
(1) [2024连云港中考] $|-2| + (π - 1)^0 - \sqrt{16}$；
(2) [2024深圳中考] $-2 × (-3) - \sqrt{9} + |-2| - (1 - π)^0$；
(3) [2024浙江中考] $( \dfrac{1}{4} )^{-1} - \sqrt[3]{8} + |-5|$。
(1) [2024连云港中考] $|-2| + (π - 1)^0 - \sqrt{16}$；
(2) [2024深圳中考] $-2 × (-3) - \sqrt{9} + |-2| - (1 - π)^0$；
(3) [2024浙江中考] $( \dfrac{1}{4} )^{-1} - \sqrt[3]{8} + |-5|$。
答案
7. 解:(1)$|-2| + (π - 1)^0 - \sqrt{16} = 2 + 1 - 4 = -1$.
(2)$-2 × (-3) - \sqrt{9} + |-2| - (1 - π)^0 = 6 - 3 + 2 - 1 = 4$.
(3)$( \dfrac{1}{4} )^{-1} - \sqrt[3]{8} + |-5| = 4 - 2 + 5 = 7$.
(2)$-2 × (-3) - \sqrt{9} + |-2| - (1 - π)^0 = 6 - 3 + 2 - 1 = 4$.
(3)$( \dfrac{1}{4} )^{-1} - \sqrt[3]{8} + |-5| = 4 - 2 + 5 = 7$.
解析
【分析】
这三道题均属于实数混合运算基础题，解题遵循“先分项化简、再合并计算”的思路：首先根据对应运算法则，分别化简式中的绝对值、零指数幂、算术平方根、负整数指数幂、立方根等各个分项，再按照从左到右的顺序进行加减运算即可得到结果。
【解析】
(1) 分别化简各项：根据绝对值的性质得$|-2|=2$，根据非零数的0次幂等于1得$(π-1)^0=1$，根据算术平方根的定义得$\sqrt{16}=4$，代入原式计算：
$|-2| + (π - 1)^0 - \sqrt{16} = 2 + 1 - 4 = -1$
(2) 先计算乘法，再化简其余项：乘法运算得$-2×(-3)=6$，根据算术平方根定义得$\sqrt{9}=3$，根据绝对值性质得$|-2|=2$，根据非零数的0次幂等于1得$(1-π)^0=1$，代入原式计算：
$-2 × (-3) - \sqrt{9} + |-2| - (1 - π)^0 = 6 - 3 + 2 - 1 = 4$
(3) 分别化简各项：根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$得$(\frac{1}{4})^{-1}=4$，根据立方根定义得$\sqrt[3]{8}=2$，根据绝对值性质得$|-5|=5$，代入原式计算：
$( \dfrac{1}{4} )^{-1} - \sqrt[3]{8} + |-5| = 4 - 2 + 5 = 7$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{4}$；(3) $\boldsymbol{7}$
【知识点】
实数混合运算，指数幂运算，根式与绝对值化简
【点评】
本题是中考高频基础运算题型，核心考查各类基础运算的法则记忆与应用，只要准确掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值、根式的化简规则，计算时细心即可拿到满分。
【难度系数】
0.85
这三道题均属于实数混合运算基础题，解题遵循“先分项化简、再合并计算”的思路：首先根据对应运算法则，分别化简式中的绝对值、零指数幂、算术平方根、负整数指数幂、立方根等各个分项，再按照从左到右的顺序进行加减运算即可得到结果。
【解析】
(1) 分别化简各项：根据绝对值的性质得$|-2|=2$，根据非零数的0次幂等于1得$(π-1)^0=1$，根据算术平方根的定义得$\sqrt{16}=4$，代入原式计算：
$|-2| + (π - 1)^0 - \sqrt{16} = 2 + 1 - 4 = -1$
(2) 先计算乘法，再化简其余项：乘法运算得$-2×(-3)=6$，根据算术平方根定义得$\sqrt{9}=3$，根据绝对值性质得$|-2|=2$，根据非零数的0次幂等于1得$(1-π)^0=1$，代入原式计算：
$-2 × (-3) - \sqrt{9} + |-2| - (1 - π)^0 = 6 - 3 + 2 - 1 = 4$
(3) 分别化简各项：根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$得$(\frac{1}{4})^{-1}=4$，根据立方根定义得$\sqrt[3]{8}=2$，根据绝对值性质得$|-5|=5$，代入原式计算：
$( \dfrac{1}{4} )^{-1} - \sqrt[3]{8} + |-5| = 4 - 2 + 5 = 7$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{4}$；(3) $\boldsymbol{7}$
【知识点】
实数混合运算，指数幂运算，根式与绝对值化简
【点评】
本题是中考高频基础运算题型，核心考查各类基础运算的法则记忆与应用，只要准确掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值、根式的化简规则，计算时细心即可拿到满分。
【难度系数】
0.85
8. [2025浙江中考]【阅读理解】
同学们,我们来学习利用完全平方公式:
$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$近似计算算术平方根的方法.
例如求$\sqrt{67}$的近似值.
$\because64＜67＜81,\therefore8＜\sqrt{67}＜9$,
则$\sqrt{67}$可以设成以下两种形式:
①$\sqrt{67}=8+s$,其中$0＜s＜1$;
②$\sqrt{67}=9-t$,其中$0＜t＜1$.
小明以①的形式求$\sqrt{67}$的近似值的过程如下.
【尝试探究】
(1)请用②的形式求$\sqrt{67}$的近似值(结果保留2位小数).
【比较分析】
(2)你认为用哪一种形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高,请说明理由.
同学们,我们来学习利用完全平方公式:
$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$近似计算算术平方根的方法.
例如求$\sqrt{67}$的近似值.
$\because64＜67＜81,\therefore8＜\sqrt{67}＜9$,
则$\sqrt{67}$可以设成以下两种形式:
①$\sqrt{67}=8+s$,其中$0＜s＜1$;
②$\sqrt{67}=9-t$,其中$0＜t＜1$.
小明以①的形式求$\sqrt{67}$的近似值的过程如下.
【尝试探究】
(1)请用②的形式求$\sqrt{67}$的近似值(结果保留2位小数).
【比较分析】
(2)你认为用哪一种形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高,请说明理由.
答案
8. 解:(1)设$\sqrt{67}=9-t$,其中$0 ＜ t ＜ 1$,
∴$(\sqrt{67})^2=(9-t)^2$,
∴$67=81-18t+t^2$.
∵$t^2$比较小,将$t^2$忽略不计,
∴$67≈81-18t$,即$18t≈81-67$,
得$t≈\frac{81-67}{18}=\frac{7}{9}$,
故$\sqrt{67}≈9-\frac{7}{9}≈8.22$.
(2)用①的形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高.理由如下:
∵$8.18×8.18=66.9124,8.19×8.19=67.0761$,$\sqrt{66.9124} ＜ \sqrt{67} ＜ \sqrt{67.0761}$,
∴$8.18 ＜ \sqrt{67} ＜ 8.19 ＜ 8.22$,
∴用①的形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高.
∴$(\sqrt{67})^2=(9-t)^2$,
∴$67=81-18t+t^2$.
∵$t^2$比较小,将$t^2$忽略不计,
∴$67≈81-18t$,即$18t≈81-67$,
得$t≈\frac{81-67}{18}=\frac{7}{9}$,
故$\sqrt{67}≈9-\frac{7}{9}≈8.22$.
(2)用①的形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高.理由如下:
∵$8.18×8.18=66.9124,8.19×8.19=67.0761$,$\sqrt{66.9124} ＜ \sqrt{67} ＜ \sqrt{67.0761}$,
∴$8.18 ＜ \sqrt{67} ＜ 8.19 ＜ 8.22$,
∴用①的形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高.
解析
【分析】
(1) 参照材料给出的估算方法，先根据$\sqrt{67}$介于8和9之间的范围，设$\sqrt{67}=9-t$（$0＜t＜1$），将等式两边平方后用完全平方公式展开，由于$t$是小于1的正数，$t^2$的值极小可忽略，得到关于$t$的一元一次方程，求解$t$后代入即可得到$\sqrt{67}$的近似值。
(2) 判断哪种形式精确度更高，只需对比两种方法得到的近似值与$\sqrt{67}$真实值的偏差：可通过计算近似值的平方，对比哪个结果更接近67，偏差更小的方法精确度更高。
【解析】
(1) 设$\sqrt{67}=9-t$，其中$0 ＜ t ＜ 1$，
等式两边同时平方得：$(\sqrt{67})^2=(9-t)^2$，
根据完全平方公式展开得：$67=81-18t+t^2$，
$\because t^2$比较小，将$t^2$忽略不计，
$\therefore 67≈81-18t$，移项得$18t≈81-67$，
解得$t≈\frac{81-67}{18}=\frac{7}{9}$，
故$\sqrt{67}≈9-\frac{7}{9}≈8.22$。
(2) 用①的形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高。
理由：$\because 8.18×8.18=66.9124$，$8.19×8.19=67.0761$，可得$\sqrt{66.9124} ＜ \sqrt{67} ＜ \sqrt{67.0761}$，
$\therefore 8.18 ＜ \sqrt{67} ＜ 8.19 ＜ 8.22$，
可知①得到的近似值8.19更接近$\sqrt{67}$的真实值，因此①的形式精确度更高。
【答案】
(1) $\sqrt{67}≈8.22$；
(2) 用①的形式得出的近似值精确度更高。
【知识点】
完全平方公式，算术平方根估算，近似计算
【点评】
本题是阅读理解类题型，重点考查知识的迁移应用能力，学生需要先掌握材料给出的估算逻辑，再类比解决新的估算问题，同时考查了分析比较的能力，解题时需注意忽略小项的合理性，比较精确度时可通过平方运算快速判断偏差大小。
【难度系数】
0.7
(1) 参照材料给出的估算方法，先根据$\sqrt{67}$介于8和9之间的范围，设$\sqrt{67}=9-t$（$0＜t＜1$），将等式两边平方后用完全平方公式展开，由于$t$是小于1的正数，$t^2$的值极小可忽略，得到关于$t$的一元一次方程，求解$t$后代入即可得到$\sqrt{67}$的近似值。
(2) 判断哪种形式精确度更高，只需对比两种方法得到的近似值与$\sqrt{67}$真实值的偏差：可通过计算近似值的平方，对比哪个结果更接近67，偏差更小的方法精确度更高。
【解析】
(1) 设$\sqrt{67}=9-t$，其中$0 ＜ t ＜ 1$，
等式两边同时平方得：$(\sqrt{67})^2=(9-t)^2$，
根据完全平方公式展开得：$67=81-18t+t^2$，
$\because t^2$比较小，将$t^2$忽略不计，
$\therefore 67≈81-18t$，移项得$18t≈81-67$，
解得$t≈\frac{81-67}{18}=\frac{7}{9}$，
故$\sqrt{67}≈9-\frac{7}{9}≈8.22$。
(2) 用①的形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高。
理由：$\because 8.18×8.18=66.9124$，$8.19×8.19=67.0761$，可得$\sqrt{66.9124} ＜ \sqrt{67} ＜ \sqrt{67.0761}$，
$\therefore 8.18 ＜ \sqrt{67} ＜ 8.19 ＜ 8.22$，
可知①得到的近似值8.19更接近$\sqrt{67}$的真实值，因此①的形式精确度更高。
【答案】
(1) $\sqrt{67}≈8.22$；
(2) 用①的形式得出的近似值精确度更高。
【知识点】
完全平方公式，算术平方根估算，近似计算
【点评】
本题是阅读理解类题型，重点考查知识的迁移应用能力，学生需要先掌握材料给出的估算逻辑，再类比解决新的估算问题，同时考查了分析比较的能力，解题时需注意忽略小项的合理性，比较精确度时可通过平方运算快速判断偏差大小。
【难度系数】
0.7
