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1. 关于二次函数$y=3x^2$的图象，下列说法错误的是（
A.它是一条抛物线
B.它的开口向上，且关于$y$轴对称
C.它的顶点是抛物线的最高点
D.它与$y=-3x^2$的图象关于$x$轴对称
C
）A.它是一条抛物线
B.它的开口向上，且关于$y$轴对称
C.它的顶点是抛物线的最高点
D.它与$y=-3x^2$的图象关于$x$轴对称
答案
1.C 【点拨】$y=3x^2$ 的图象是一条抛物线,开口向上,关于$y$轴对称,顶点是抛物线的最低点,它与$y=-3x^2$ 的图象关于$x$轴对称,故选项 C 错误,符合题意.
2.已知抛物线$y=ax^2(a＞0)$过$A(-2,y_1),B(1,y_2)$两点，则下列关系式一定正确的是（
A.$y_1＞0＞y_2$
B.$y_2＞0＞y_1$
C.$y_1＞y_2＞0$
D.$y_2＞y_1＞0$
C
）A.$y_1＞0＞y_2$
B.$y_2＞0＞y_1$
C.$y_1＞y_2＞0$
D.$y_2＞y_1＞0$
答案
2.C
3. 新视角结论开放题 已知二次函数$y=(a-1)x^2$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，则实数$a$的值可能是
0(答案不唯一)
.(写出一个即可)答案
3.0(答案不唯一)
4. 一题多解 如图所示，三个二次函数的图象分别对应的是① $y=a_1x^2$；② $y=a_2x^2$；③ $y=a_3x^2$，则 $a_1,a_2,a_3$ 的大小关系是
$a_1＞a_2＞a_3$
。答案
4.$a_1＞a_2＞a_3$ 【点拨】解法1:由抛物线的开口方向,可知$a_1＞0,a_2＞0,a_3＜0$,由抛物线的开口大小,可知$|a_1|＞|a_2|$,$\therefore a_1＞a_2＞a_3$.解法2:用特殊值法,当$x=1$时,四个函数值分别等于二次项系数,$\therefore a_1＞a_2＞a_3$.
5. [2026 邢台期中] 对于抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 +1$ 与 $y=-\frac{1}{2}x^2 -1$ 的说法如下：①对称轴都是 y 轴；②开口大小相同；③顶点坐标相同.
则正确的有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
则正确的有 （
C
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
5.C
6. 易错题 对于二次函数$y=2x^2 -3$，当$-1≤ x≤2$时，y的取值范围是（
A.$-1≤ y≤5$
B.$-5≤ y≤5$
C.$-3≤ y≤5$
D.$-2≤ y≤5$
C
）A.$-1≤ y≤5$
B.$-5≤ y≤5$
C.$-3≤ y≤5$
D.$-2≤ y≤5$
答案
6.C
7. 新考向传统文化 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围.剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A,B,C,D四点落在抛物线 $ y=ax^2 + c $ 上，则下列结论正确的是（
A.$ ac ＜ 0 $
B.$ ac = 0 $
C.$ ac ＞ 0 $
D.$ ac ≥ 0 $
$ y=-\frac{1}{2}x^2 +2 $
$ y=-\frac{1}{2}x^2 -2 $
C
）A.$ ac ＜ 0 $
B.$ ac = 0 $
C.$ ac ＞ 0 $
D.$ ac ≥ 0 $
$ y=-\frac{1}{2}x^2 +2 $
$ y=-\frac{1}{2}x^2 -2 $
答案
7.C
8.已知关于x的二次函数$y=(a-1)x^2+a^2-3$有最值6，且当$x＞0$时，y随x的增大而减小，则该二次函数的表达式是
$y=-4x^2+6$
。答案
8.$y=-4x^2+6$
9. 下列各组抛物线中能够通过互相平移得到的是（
A.$y=2x^2$ 与 $y=3x^2$
B.$y=2x^2$ 与 $y=x^2+2$
C.$y=2x^2+3$ 与 $y=3x^2+2$
D.$y=2x^2$ 与 $y=2x^2-1$
D
）A.$y=2x^2$ 与 $y=3x^2$
B.$y=2x^2$ 与 $y=x^2+2$
C.$y=2x^2+3$ 与 $y=3x^2+2$
D.$y=2x^2$ 与 $y=2x^2-1$
答案
9.D
10.如图,将抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 +2$沿$y$轴向下平移一段距离后,得到一条新的抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 -2$.若曲线段$AD$平移至曲线段$BC$,曲线段$AD$所扫过的区域为阴影部分,则阴影部分的面积是
16
.答案
10.16 【点拨】如图,连接 BC,由平移的性质可知四边形ABCD 是平行四边形,当 $y=0$ 时,$0=-\frac{1}{2}x^2+2$,解得$x_1=-2,x_2=2$,$\therefore AD=4$.$\because y=-\frac{1}{2}x^2+2$ 的顶点坐标为$(0,2)$,$y=-\frac{1}{2}x^2-2$ 的顶点坐标为$(0,-2)$,$\therefore$ 抛物线向下平移了4个单位长度,$\therefore$ 阴影部分的面积是$4×4=16$.
11. 二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=ax+a$在同一坐标系中的大致图象可能是（
D
）答案
11.D
12. ★★ 新趋势跨学科 如图①，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平的方向反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”。抛物线的焦点位置有一种特性：如图②，抛物线上任意一点M到焦点A的距离AM的长，等于点M到一条平行于x轴的直线l的距离MN的长。若抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2 +3$，则此抛物线的焦点坐标为（
A.$(0,3)$
B.$(0,4)$
C.$(0,\frac{7}{2})$
D.$(0,\frac{9}{2})$
C
）A.$(0,3)$
B.$(0,4)$
C.$(0,\frac{7}{2})$
D.$(0,\frac{9}{2})$
答案
12.C 【点拨】设抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2+3$ 与 $y$ 轴的交点为 $C$，$l$ 与 $y$ 轴交于点 $B$，$A(0,a)$，$M(m,\frac{1}{2}m^2+3)$，则$AM^2=m^2+(\frac{1}{2}m^2+3-a)^2$，$OA=a$. 由题可知 $AC=BC$，$AM=MN$. $\because$ 点 $C$ 为该抛物线的顶点，$\therefore C(0,3)$.$\therefore OC=3$. $\therefore BC=AC=a-3$. $\therefore OB=6-a$. $\therefore N(m,6-a)$，$\therefore MN^2=(\frac{1}{2}m^2+a-3)^2$，由 $AM=MN$，得 $AM^2=MN^2$，$\therefore m^2+(\frac{1}{2}m^2+3-a)^2=(\frac{1}{2}m^2+a-3)^2$，整理，得 $m^2(2a-7)=0$. $\because m$ 为任意实数，$\therefore 2a-7=0$，解得 $a=\frac{7}{2}$. $\therefore$ 焦点的坐标为 $(0,\frac{7}{2})$.
