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13. ★★ 新考法 分类讨论法 如图,已知四个点的坐标分别为$A(-4,2),B(-3,1),C(-1,1),D(-2,2)$,若抛物线$y=ax^2$与四边形$ABCD$的边没有交点,则$a$的取值范围为
$a＞1或0＜a＜\frac{1}{9}或a＜0$
.答案
13.$a＞1或0＜a＜\frac{1}{9}或a＜0$ 【点拨】①当 $a＜0$ 时，恒成立；②当$a＞0$ 时，将点 $C(-1,1)$ 的坐标代入 $y=ax^2$，得 $a=1$，将点 $B(-3,1)$ 的坐标代入 $y=ax^2$，得 $a=\frac{1}{9}$，将点$A(-4,2)$ 的坐标代入 $y=ax^2$，得 $a=\frac{1}{8}$. $\because$ 抛物线 $y=ax^2$与四边形 $ABCD$ 的边没有交点，$\therefore a＞1$ 或 $0＜a＜\frac{1}{9}$.
14. 如图，点A为抛物线$C_1:y=\frac{1}{2}x^2 -2$的顶点，点B的坐标为$(1,0)$，直线AB交抛物线$C_1$于另一点C。
(1)求点C的坐标；
(2)平行于y轴的直线$x=3$交直线AB于点D，交抛物线$C_1$于点E，平行于y轴的直线$x=a$交直线AB于点F，交抛物线$C_1$于点G，若$FG:DE=4:3$，求a的值。
(1)求点C的坐标；
(2)平行于y轴的直线$x=3$交直线AB于点D，交抛物线$C_1$于点E，平行于y轴的直线$x=a$交直线AB于点F，交抛物线$C_1$于点G，若$FG:DE=4:3$，求a的值。
答案
14.【解】(1)对于 $y=\frac{1}{2}x^2-2$，当 $x=0$ 时，$y=-2$，$\therefore A(0,-2)$. 设直线 $AB$ 的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$.将点 $A(0,-2)$，$B(1,0)$ 的坐标分别代入上式，得 $\begin{cases}b=-2,\\k+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=2,\\b=-2.\end{cases}$$\therefore$ 直线 $AB$ 的表达式为 $y=2x-2$.联立，得 $\begin{cases}y=\frac{1}{2}x^2-2,\\y=2x-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x_1=4,\\y_1=6,\end{cases}$ $\begin{cases}x_2=0,\\y_2=-2.\end{cases}$$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(4,6)$.
(2)$\because$ 直线 $x=3$ 分别交直线 $AB$ 和抛物线 $C_1$ 于 $D$，$E$ 两点，$\therefore y_D=4$，$y_E=\frac{5}{2}$. $\therefore DE=\frac{3}{2}$.又 $\because FG:DE=4:3$，$\therefore FG=2$.$\because$ 直线 $x=a$ 分别交直线 $AB$ 和抛物线 $C_1$ 于 $F$，$G$ 两点，$\therefore y_F=2a-2$，$y_G=\frac{1}{2}a^2-2$.$\therefore FG=\left|2a-\frac{1}{2}a^2\right|=2$，解得 $a_1=a_2=2$，$a_3=2+2\sqrt{2}$，$a_4=2-2\sqrt{2}$.
(2)$\because$ 直线 $x=3$ 分别交直线 $AB$ 和抛物线 $C_1$ 于 $D$，$E$ 两点，$\therefore y_D=4$，$y_E=\frac{5}{2}$. $\therefore DE=\frac{3}{2}$.又 $\because FG:DE=4:3$，$\therefore FG=2$.$\because$ 直线 $x=a$ 分别交直线 $AB$ 和抛物线 $C_1$ 于 $F$，$G$ 两点，$\therefore y_F=2a-2$，$y_G=\frac{1}{2}a^2-2$.$\therefore FG=\left|2a-\frac{1}{2}a^2\right|=2$，解得 $a_1=a_2=2$，$a_3=2+2\sqrt{2}$，$a_4=2-2\sqrt{2}$.
15. ★★★ 新视角存在性探究题 如图,已知抛物线$y=ax^2+c$过点$(-2,2),(4,5)$,过定点$F(0,2)$的直线$l$:$y=kx+2$与抛物线交于$A,B$两点,点$B$在点$A$的右侧,过点$B$作$x$轴的垂线,垂足为$C$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)当点$B$在抛物线上运动时,判断线段$BF$与$BC$的数量关系(用“＞”“＜”或“=”表示),并说明原因.
(3)$P$为$y$轴上一点,以$B,C,F,P$为顶点的四边形是菱形,设点$P(0,m)$,则自然数$m$的值为
(4)若$k=1$,在直线$l$下方的抛物线上是否存在点$Q$,使得$△ QBF$的面积最大?若存在,求出点$Q$的坐标及$△ QBF$面积的最大值;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的表达式.
(2)当点$B$在抛物线上运动时,判断线段$BF$与$BC$的数量关系(用“＞”“＜”或“=”表示),并说明原因.
(3)$P$为$y$轴上一点,以$B,C,F,P$为顶点的四边形是菱形,设点$P(0,m)$,则自然数$m$的值为
6或0
.(4)若$k=1$,在直线$l$下方的抛物线上是否存在点$Q$,使得$△ QBF$的面积最大?若存在,求出点$Q$的坐标及$△ QBF$面积的最大值;若不存在,请说明理由.
答案
15.【解】(1)把点 $(-2,2)$，$(4,5)$ 的坐标分别代入 $y=ax^2+c$，得 $\begin{cases}4a+c=2,\\16a+c=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=\frac{1}{4},\\c=1,\end{cases}$$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=\frac{1}{4}x^2+1$.
(2)$BF=BC$. 理由:设 $B(x,\frac{1}{4}x^2+1)$.$\because F(0,2)$，$\therefore BF^2=x^2+(\frac{1}{4}x^2+1-2)^2=x^2+(\frac{1}{4}x^2-1)^2=(\frac{1}{4}x^2+1)^2$，$\therefore BF=\frac{1}{4}x^2+1$.$\because BC⊥ x$ 轴于点 $C$，$\therefore BC=\frac{1}{4}x^2+1$，$\therefore BF=BC$.
(3)6或0 【点拨】当 $m=0$ 时，$P$ 点和原点重合，易知 $PF=PC=2$，点 $C$ 的坐标为 $(2,0)$，点 $B$ 的坐标为 $(2,2)$，$BC=BF=2$，$\therefore$ 四边形 $BCPF$ 为菱形. 当点 $P$ 在点 $F$ 上方时，如图①. $\because$ 四边形 $BCFP$ 是菱形，$\therefore CB=CF=PF$. $\because CB=FB$，$\therefore BC=CF=BF$，$\therefore △ BCF$ 为等边三角形. $\therefore ∠ BCF=60°$，$\therefore ∠ OCF=30°$. 在 $\mathrm{Rt}△ OCF$ 中，$CF=2OF=4$，$\therefore PF=CF=4$，$\therefore$ 易知 $P(0,6)$. $\therefore$ 自然数 $m$ 的值为 6 或 0.
(4)存在. 如图②，作 $QE// y$ 轴交 $AB$ 于点 $E$，当 $k=1$ 时，一次函数的表达式为 $y=x+2$，解方程组 $\begin{cases}y=x+2,\\y=\frac{1}{4}x^2+1,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x=2+2\sqrt{2},\\y=4+2\sqrt{2}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=2-2\sqrt{2},\\y=4-2\sqrt{2},\end{cases}$则 $B(2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2})$. 设 $Q(t,\frac{1}{4}t^2+1)$，则 $E(t,t+2)$.$\therefore EQ=t+2-(\frac{1}{4}t^2+1)=-\frac{1}{4}t^2+t+1$，$\therefore S_{△ QBF}=S_{△ EQF}+S_{△ EQB}=\frac{1}{2}(2+2\sqrt{2})· EQ=(\sqrt{2}+1)(-\frac{1}{4}t^2+t+1)=-\frac{\sqrt{2}+1}{4}·(t-2)^2+2\sqrt{2}+2$.$\therefore$ 当 $t=2$ 时，$S_{△ QBF}$ 有最大值，最大值为 $2\sqrt{2}+2$，此时 $Q$ 点的坐标为 $(2,2)$.
