12. 关于$ x $的方程$ 4x - m + 1 = 3x - 1 $的解是负数，则$ m $的取值范围是（）

A.$ m = 2 $
B.$ m ＞ 2 $
C.$ m ＜ 2 $
D.$ m ≤ 2 $

12.C

【分析】
遇到已知含参数的一元一次方程的解的性质，求参数取值范围的问题，可按三步思考：第一步，将参数看作常数，解一元一次方程，得到用参数表示的未知数x的表达式；第二步，根据题目给出的“解是负数”的条件，列出关于参数m的不等式；第三步，解不等式得到m的取值范围，对应选项即可。
【解析】
首先解方程$4x - m + 1 = 3x - 1$：
移项，得$4x - 3x = m - 1 - 1$，
合并同类项，得$x = m - 2$。
因为方程的解是负数，即$x ＜ 0$，
将$x = m - 2$代入，得$m - 2 ＜ 0$，
解不等式，得$m ＜ 2$。
由上述内容，选择C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程求解、解一元一次不等式、方程解的概念
【点评】
本题是方程与不等式的基础综合题，核心考查基础运算能力，解题关键是先求出用参数表示的方程的解，再结合解的限制条件列不等式求解，掌握基础运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

13.如果代数式$\frac{1}{4}+2x$的值不大于$8-\frac{x}{4}$的值，那么$x$的正整数解是。

13.1,2,3

【分析】
解题思路可分为三步：首先理解“不大于”的数学含义是小于等于（≤），据此将文字表述转化为一元一次不等式；其次按照一元一次不等式的常规求解步骤（去分母、移项、合并同类项、系数化为1）算出不等式的解集；最后在解集范围内筛选出所有正整数，即为所求结果。
【解析】
解：根据题意可列不等式：
$\frac{1}{4} + 2x ≤ 8 - \frac{x}{4}$
不等式两边同时乘4（每一项均乘4，去分母），得：
$1 + 8x ≤ 32 - x$
移项（移项需变号），得：
$8x + x ≤ 32 - 1$
合并同类项，得：
$9x ≤ 31$
系数化为1，得：
$x ≤ \frac{31}{9}$（即$x ≤ 3\frac{4}{9}$）
小于等于$3\frac{4}{9}$的正整数为1、2、3，即为x的正整数解。
【答案】
1,2,3
【知识点】
列一元一次不等式；解一元一次不等式；不等式特殊解求解
【点评】
本题属于不等式基础应用题，核心是准确把文字描述的不等关系转化为数学不等式，求解时需注意去分母不要漏乘常数项、移项要变号，筛选正整数解时要结合解集范围，避免多写或漏写。
【难度系数】
0.7

14.如果方程组$\begin{cases}3x+2y=k+2, \\4x+y=4k-1\end{cases}$的解$x,y$满足$x＞y$，那么$k$的取值范围是 ______ .

14.$k＞1$

【分析】
本题是含参数的二元一次方程组与一元一次不等式的综合题，解题思路分为两步：第一步，将k看作常数，用消元法解二元一次方程组，分别用含k的代数式表示出x、y；第二步，根据x＞y的不等关系，列出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
解方程组$\begin{cases}3x+2y=k+2&① \\4x+y=4k-1&②\end{cases}$
将②×2得：$8x + 2y = 8k - 2$ ③
用③-①消去y，得：
$5x = 7k - 4$
解得：$x=\frac{7k-4}{5}$
把$x=\frac{7k-4}{5}$代入②，得：
$4×\frac{7k-4}{5} + y = 4k - 1$
整理求解y：
$y=4k-1-\frac{28k-16}{5}=\frac{20k-5-28k+16}{5}=\frac{11-8k}{5}$
因为$x＞y$，所以：
$\frac{7k-4}{5}＞\frac{11-8k}{5}$
两边同时乘5（不等号方向不变），得：
$7k - 4 ＞ 11 - 8k$
移项、合并同类项得：
$15k＞15$
两边同时除以15，得：
$k＞1$
【答案】
$k＞1$
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次不等式的解法；不等式的基本性质
【点评】
本题是方程与不等式的综合基础题，核心解题思路是将参数作为常数处理，先求解方程组再结合不等关系求参数范围，侧重考查基础运算能力和知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

15.解不等式$5-\frac{x}{3}≥\frac{7}{2}-\frac{2x+4}{4}$，并把它的解集表示在数轴上。

15.$x≥-15$,数轴表示略.

【分析】
本题是一元一次不等式求解问题，解题思路与解一元一次方程类似，按照固定步骤逐步推导即可：①先找各分母的最小公倍数去分母，注意所有项都要乘最小公倍数，不能漏乘常数项；②去括号，注意符号变化；③移项，移项要变号；④合并同类项；⑤系数化为1，若系数为负数，不等号方向要改变，本题系数为正数，不等号方向保持不变；最后按照要求在数轴上表示解集，“≥”对应实心圆点，方向向右。
【解析】
解：去分母，两边同时乘以3、2、4的最小公倍数12，得：
$12×5 - 12×\frac{x}{3} ≥ 12×\frac{7}{2} - 12×\frac{2x+4}{4}$
化简得：$60 - 4x ≥ 42 - 3(2x+4)$
去括号得：$60 - 4x ≥ 42 - 6x - 12$
整理右边得：$60 - 4x ≥ 30 - 6x$
移项得：$-4x + 6x ≥ 30 - 60$
合并同类项得：$2x ≥ -30$
系数化为1，两边同时除以2得：$x ≥ -15$
数轴表示：在数轴上找到表示-15的点，画实心圆点，从该点向右画射线即可。
【答案】
$x≥-15$，数轴表示略。
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的性质、解集的数轴表示
【点评】
本题属于一元一次不等式的基础考查题型，重点检验解不等式的基本步骤掌握情况，解题时容易在去分母时漏乘常数项，数轴表示时混淆实心圆点和空心圆圈的使用，需要格外注意。
【难度系数】
0.8

16.代数式$\frac{1-3x}{2}$与$x-2$的差是负数，求$x$的取值范围.

16.$x＞1$

【分析】
解题首先要准确理解题意：“两个代数式的差是负数”指的是第一个代数式$\frac{1-3x}{2}$减去第二个代数式$x-2$的结果小于0，据此可以列出一元一次不等式。接下来按照解一元一次不等式的步骤逐步计算即可，注意系数化为1时，若两边同时除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
根据题意，可列不等式：
$\frac{1-3x}{2} - (x-2) ＜ 0$
去分母（两边同乘2，不等号方向不变），得：
$1 - 3x - 2(x - 2) ＜ 0$
去括号，得：
$1 - 3x - 2x + 4 ＜ 0$
合并同类项，得：
$5 - 5x ＜ 0$
移项，得：
$-5x ＜ -5$
系数化为1（两边同除以-5，不等号方向改变），得：
$x ＞ 1$
【答案】
$x＞1$
【知识点】
列一元一次不等式；解一元一次不等式
【点评】
本题核心考查将文字描述的数量关系转化为不等式的能力，解题关键是正确理解“差为负数”的含义，解不等式时需注意不等号方向的变化规则，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8

17.某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了$(m-5)\% (m＞5)$，要使第二年的价格不低于商品第一年未上升时的价格，求$m$的取值范围.

17.$5＜m≤\dfrac{155}{11}$

【分析】
解题时先设商品原价为$a$（$a＞0$），首先根据增长率的计算方式，第一年涨价10%后价格为原价的$(1+10\%)$倍；第二年在第一年价格的基础上下降$(m-5)\%$，则第二年价格是第一年价格的$[1-(m-5)\%]$倍。题目要求第二年价格不低于原价，即第二年价格≥原价，据此列出不等式，由于$a＞0$，两边可直接约去$a$，转化为关于$m$的一元一次不等式求解，最后结合已知$m＞5$的条件确定最终取值范围。
【解析】
解：设该商品第一年未上升时的价格为$a$（$a＞0$）。
1. 计算第一年涨价后的价格：
第一年上升10%后价格为：$a(1+10\%)=1.1a$
2. 计算第二年降价后的价格：
第二年下降$(m-5)\%$后价格为：$1.1a × [1-(m-5)\%]$
3. 根据题意列不等式：
第二年价格不低于原价，可得：
$1.1a × (1 - \frac{m-5}{100}) ≥ a$
因为$a＞0$，不等式两边同时除以$a$，不等号方向不变，得：
$1.1 × (1 - \frac{m-5}{100}) ≥ 1$
4. 解不等式：
两边同时除以1.1，得：$1 - \frac{m-5}{100} ≥ \frac{10}{11}$
移项得：$\frac{m-5}{100} ≤ 1 - \frac{10}{11} = \frac{1}{11}$
两边同时乘100，得：$m - 5 ≤ \frac{100}{11}$
移项计算得：$m ≤ 5 + \frac{100}{11} = \frac{155}{11}$
结合已知条件$m＞5$，最终得到$m$的取值范围。
【答案】
$5＜m≤\dfrac{155}{11}$
【知识点】
一元一次不等式的应用，解一元一次不等式，增长率问题
【点评】
本题属于不等式实际应用的基础题型，解题核心是准确梳理价格升降的比例关系，正确列出不等关系，求解时注意正数参数约去时不等号方向不变，同时不要遗漏题目给出的$m＞5$的限制条件，避免出现取值范围的错误。
【难度系数】
0.7

18.如图,在$△ ABC$中,AD是中线,$AB+AC=14$,$△ ABD$的周长比$△ ACD$的周长大4.
(1)求AB,AC的长;
(2)求$△ ABC$周长的取值范围.

18.(1)$AB=9,AC=5$.
(2)$18＜C_{△ ABC}＜28$

【分析】
（1）根据三角形中线的定义，AD是BC边上的中线可得BD=CD。△ABD和△ACD的周长中，AD是公共边，BD=CD，因此两个三角形的周长差就是AB与AC的差，即$AB-AC=4$，再结合已知$AB+AC=14$，联立两个等式即可求出AB、AC的长。
（2）要求△ABC的周长范围，先根据三角形三边关系求出第三边BC的取值范围，再结合$AB+AC=14$，即可推出周长的取值范围。
【解析】
（1）
∵AD是BC边上的中线，
∴$BD=CD$。
△ABD的周长为$AB+BD+AD$，△ACD的周长为$AC+CD+AD$。
已知△ABD的周长比△ACD的周长大4，因此：
$(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=4$，
化简得$AB-AC=4$。
又已知$AB+AC=14$，联立得方程组：
$\begin{cases}AB+AC=14 \\ AB-AC=4 \end{cases}$
两式相加得$2AB=18$，解得$AB=9$，
将$AB=9$代入$AB+AC=14$，得$AC=14-9=5$。
（2）根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
已知$AB=9$，$AC=5$，因此：
$AB-AC＜BC＜AB+AC$，即$4＜BC＜14$。
△ABC的周长$C_{△ABC}=AB+AC+BC=14+BC$，
将BC的范围代入得：$14+4＜C_{△ABC}＜14+14$，即$18＜C_{△ABC}＜28$。
【答案】
(1) $AB=9$，$AC=5$
(2) $18＜C_{△ABC}＜28$
【知识点】
三角形中线的定义，二元一次方程组的应用，三角形三边关系
【点评】
本题重点考查三角形中线的性质和三边关系的实际应用，解题核心是通过周长差转化得到AB和AC的数量关系，再利用三边关系确定第三边的范围，是几何基础运算类的典型题型。
【难度系数】
0.75

19.定义关于@的一种运算:$a@b=a+2b$,如$2@3=2+6=8$.
(1)若$3@x＜7$,且$x$为正整数,求$x$的值;
(2)若关于$x$的不等式$3(x+1)≤8-x$的解和$x@a≤5$的解完全相同,求$a$的值.

19.(1)$x=1$ (2)$a=\dfrac{15}{8}$

【分析】
本题是新定义运算结合不等式的题型，解题思路如下：
(1) 首先根据题目给出的@运算规则，将3@x转化为常规的代数表达式，再列出一元一次不等式求解，最后结合x是正整数的限制条件得到x的值；
(2) 先求解不含参数的一元一次不等式$3(x+1)≤8-x$，得到它的解集，再按照@运算规则将$x@a≤5$转化为常规不等式，求出用a表示的解集，根据两个不等式解集完全相同的条件，列方程求解a的值即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则$a@b=a+2b$，可得：
$3@x=3+2x$
代入不等式$3@x＜7$得：
$3+2x＜7$
移项得：$2x＜7-3$，即$2x＜4$
系数化为1得：$x＜2$
$\because x$为正整数，$\therefore x=1$
(2) 先解不等式$3(x+1)≤8-x$：
去括号得：$3x+3≤8-x$
移项得：$3x+x≤8-3$
合并同类项得：$4x≤5$
系数化为1得：$x≤\frac{5}{4}$
再根据新运算规则化简$x@a≤5$：
$x@a=x+2a≤5$
移项得：$x≤5-2a$
$\because$ 两个不等式的解完全相同，$\therefore 5-2a=\frac{5}{4}$
解这个方程：
移项得：$2a=5-\frac{5}{4}=\frac{15}{4}$
系数化为1得：$a=\frac{15}{8}$
【答案】
(1)$x=1$ (2)$a=\dfrac{15}{8}$
【知识点】
新定义运算、一元一次不等式求解、同解不等式应用
【点评】
本题核心是准确理解新定义的运算规则，将陌生运算转化为熟悉的代数运算，再结合一元一次不等式的解法和同解不等式的性质求解，计算过程需要注意移项变号等细节，避免计算失误。
【难度系数】
0.7