1.下列关系一定正确的是 （）

A.$π \in \mathbb{Q}$
B.$∅ ⊆ \{0\}$
C.$\{0,1\} ⊆ \{(0,1)\}$
D.$\{(a,b)\} = \{(b,a)\}$

1.B 因为π是无理数,所以$π∉\mathbf{Q}$,故A错误;空集是任何集合的子集,所以$∅⊆\{0\}$,故B正确;集合$\{0,1\}$是数集,集合$\{(0,1)\}$是点集,所以$\{0,1\}⊈\{(0,1)\}$,故C错误;当$a≠b$时,点$(a,b)$与点$(b,a)$表示不同的点,所以$\{(a,b)\}≠\{(b,a)\}$,故D错误.

2.若$M=\{x\in\mathbf{N}\left|\dfrac{8}{8-x}\in\mathbf{N} \}$，则集合$M$的子集的个数是（）

A.8
B.16
C.32
D.64

2.B 因为$\frac{8}{8-x}\in\mathbf{N}$,所以$8-x=1,2,4,8$.
因为$x\in\mathbf{N}$,所以$x=7,6,4,0$,$(0\in\mathbf{N},但0∉\mathbf{N}^*)$所以集合$M=\{7,6,4,0\}$,
所以集合M的子集的个数是$2^4=16$.

3.设集合$A=\{x|1＜x＜2\},B=\{x|x＜a\}$.若$A⊆ B$,则a满足的条件是 （）

A.$a≥2$
B.$a≤1$
C.$a≥1$
D.$a≤2$

3.A 如图,利用数轴表示$A⊆B$.
由图易得$a≥2$.

4.(多选)下列选项正确的是（）

A.空集也存在子集
B.任意集合至少有两个子集
C.空集是任何集合的真子集
D.若$∅ ⊂neqq A$，则$A ≠ ∅$

4.AD 因为空集是任何集合的子集,所以空集的子集是空集,故A正确;因为空集只有一个子集,故B错误;因为空集是任意一个非空集合的真子集,空集并不是它本身的真子集,故C错误,D正确.

5.(多选)已知非空集合$A=\{x|x^2+ax+b=0\}$，且$A⊆\{-1,2\}$，则$a+b$的值可以是（）

A.4
B.3
C.-3
D.0

5.BCD 因为非空集合$A⊆\{-1,2\}$,
所以$A=\{-1\}$或$A=\{2\}$或$A=\{-1,2\}$.
当$A=\{-1\}$时,得$(-1)^2-a+b=0$且$\Delta=a^2-4b=0$,解得$a=2,b=1$,则$a+b=3$;
当$A=\{2\}$时,得$2^2+2a+b=0$且$\Delta=a^2-4b=0$,解得$a=-4,b=4$,则$a+b=0$;
当$A=\{-1,2\}$时,得$\begin{cases} (-1)^2 -a +b=0,\\2^2 +2a +b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=-2,\end{cases}$
则$a+b=-3$.
(也可利用根与系数的关系求解,即$\begin{cases}-1+2=-a,\\(-1)×2=b\end{cases}$)
综上,$a+b$的值可以是3,0,-3.

6.若集合$A=\{x|x≥ -2\}$，集合$B=\{x|-2≤ x＜8\}$，则集合$A$与$B$的关系是。

6.$B ⊂neqq A$ 在数轴上表示出集合A,B,如图所示,易知$B ⊂neqq A$.

7.(教材改编题)已知集合$P=\{x∣ -1＜x＜3\},Q=\{x∣ 2m-1＜x＜3m-2\}$，若$Q⊆ P$，求实数$m$的取值范围.

7.解:①当$Q=∅$时,则$2m-1≥3m-2$,解得$m≤1$;
②当$Q≠∅$时,如图所示
则$\begin{cases}3m-2＞2m-1,\\2m-1≥-1,\\3m-2≤3,\end{cases}$
解得$1＜m≤\frac{5}{3}$.
综上,实数m的取值范围为$\{m|m≤\frac{5}{3}\}$.

8.(新课标Ⅱ卷)设集合$A=\{0,-a\}$，$B=\{1,a-2,2a-2\}$，若$A ⊆ B$，则$a=$（）

A.2
B.1
C.$\frac{2}{3}$
D.$-1$

8.B ①若$a-2=0$,解得$a=2$,此时$A=\{0,-2\}$,$B=\{1,0,2\}$,不符合题意;②若$2a-2=0$,解得$a=1$,此时$A=\{0,-1\}$,$B=\{1,-1,0\}$,符合题意.
综上所述,$a=1$.

9. 新定义集合A和B的运算：$A ◯ B = \{(x,y) ∣ x \in A, y \in B\}$。若集合$A = \{1,2,3\}, B = \{2,3\}$，则$A ◯ B$的真子集的个数为（）

A.31
B.32
C.62
D.63

9.D 由新定义,知$A○B=\{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)\}$,一共6个元素,所以$A○B$的真子集的个数为$2^6-1=63$.

10.(多选)若集合$A=\{x|x^2 - x = 0\}, B=\{x|x ⊆ A\}$,则下列表示正确的是（）

A.$∅ ⊆ B$
B.$∅ \in B$
C.$A ⊆ B$
D.$A \in B$

10.ABD 集合$A=\{x|x^2-x=0\}=\{0,1\}$.由题可知,集合B表示由集合A的子集作为元素所构成的集合,所以$B=\{∅,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$,所以$∅$作为集合有$∅⊆B$,作为元素有$∅∈B$,故A,B均正确;A为数集,B中元素为集合,故C错误;集合A作为元素时,可以有$A∈B$,故D正确.

11.已知集合$A = \{x ∣ 0 ＜ ax + 1 ≤ 5\}$，$B = \{x ∣ -\dfrac{1}{2} ＜ x ≤ 2\}$。
(1)若$A ⊆ B$，求实数$a$的取值范围。
(2)是否存在实数$a$，使得$A = B$？若存在，求出$a$的值；若不存在，请说明理由。
(提示:(1)第1步:分类讨论求出集合$A$中$x$的取值范围;第2步:画数轴,根据$A ⊆ B$列不等式组求解.(2)根据$A = B$确定$a$的正负,进而列方程组求解)
答案 P04

11.解:(1)①当$a=0$时,$A=\{x|0＜1≤5\}=\mathbf{R}$,故$A⊆B$不成立.
②当$a＜0$时,$A=\{x|\frac{4}{a}≤ x＜-\frac{1}{a}\}$.如图.
因为$A⊆B$,所以$\begin{cases}\frac{4}{a}＞-\frac{1}{2},\\-\frac{1}{a}≤2,\end{cases}$解得$a＜-8$.
③当$a＞0$时,$A=\{x|-\frac{1}{a}＜x≤\frac{4}{a}\}$.如图.
因为$A⊆B$,所以$\begin{cases}\frac{4}{a}≤2,\\-\frac{1}{a}≥-\frac{1}{2},\end{cases}$
解得$a≥2$.
综上,实数a的取值范围是$\{a|a＜-8或a≥2\}$.
(2)存在.
①当$a=0$时,$A=\mathbf{R}$,$A=B$不成立;
②当$a＜0$时,$A=\{x|\frac{4}{a}≤ x＜-\frac{1}{a}\}$,$A=B$不成立;
③当$a＞0$时,$A=\{x|-\frac{1}{a}＜x≤\frac{4}{a}\}$.
因为$A=B$,所以$\begin{cases}\frac{4}{a}=2,\\-\frac{1}{a}=-\frac{1}{2},\end{cases}$解得$a=2$.
综上,a的值是2.