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【变式1】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，已知每箱售价不得低于50元且不得高于55元.通过市场调查发现:若以每箱50元的价格销售，则平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元)之间的函数解析式.
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式.
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元)之间的函数解析式.
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式.
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
答案
解:(1)根据题意,得y=90-3(x-50),
即y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
(2)根据题意,得w=(x-40)(-3x+240)=-3x²+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).
(3)因为w=-3x²+360x-9600=-3(x-60)²+1200,
所以当x＜60时,w随x的增大而增大.
又因为50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w取得最大值,最大值为1125.
故当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,最大利润是1125元.
即y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
(2)根据题意,得w=(x-40)(-3x+240)=-3x²+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).
(3)因为w=-3x²+360x-9600=-3(x-60)²+1200,
所以当x＜60时,w随x的增大而增大.
又因为50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w取得最大值,最大值为1125.
故当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,最大利润是1125元.
【典例2】某企业为进一步提升市场竞争力，计划在明年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该手机全年需要投入研发成本250万元，每生产$x$千部手机，需另外投入成本$R(x)$万元，其中$R(x)=\begin{cases}10x^2 + 100x + 800, & 0 ＜ x ＜ 50, \\504x + \dfrac{10\ 000}{x - 2} - 6\ 450, & x ≥ 50.\end{cases}$已知每部手机的售价为5 000元，且生产的手机当年全部销售完。
(1)求明年该款手机的利润$y$（万元）关于年产量$x$的函数解析式。
(2)当年产量$x$为多少时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
解题指导 (1)由题意可知，利润=售价－研发成本－另外投入成本，据此可分段列出函数解析式，注意将单位统一为万元。
(2)根据解析式特征，分别求出最大值，进而得出答案。
答案 解:(1)当$0＜x＜50$时，$y=500x - (10x^2 + 100x + 800) - 250 = -10x^2 + 400x - 1\ 050$；
当$x≥50$时，$y=500x - (504x + \dfrac{10\ 000}{x - 2} - 6\ 450) - 250 = -(4x + \dfrac{10\ 000}{x - 2}) + 6\ 200$。
综上，$y=\begin{cases}-10x^2 + 400x - 1\ 050, & 0 ＜ x ＜ 50, \\-(4x + \dfrac{10\ 000}{x - 2}) + 6\ 200, & x ≥ 50.\end{cases}$
（分段函数分段解，注意将结果并在一起）
(2)当$0＜x＜50$时，$y=-10x^2 + 400x - 1\ 050=-10(x - 20)^2 + 2\ 950$，
所以当$x=20$时，$y_{\mathrm{max}}=2\ 950$。
当$x≥50$时，$y=-(4x + \dfrac{10\ 000}{x - 2}) + 6\ 200=-4(x - 2)-\dfrac{10\ 000}{x - 2}+6\ 192≤ -2\sqrt{40\ 000}+6\ 192=5\ 792$，当且仅当$4(x - 2)=\dfrac{10\ 000}{x - 2}$，
即$x=52$时，等号成立，此时$y_{\mathrm{max}}=5\ 792$。
综上，当年产量$x$为52时，该企业所获得的利润最大，最大利润是5 792万元。
(1)求明年该款手机的利润$y$（万元）关于年产量$x$的函数解析式。
(2)当年产量$x$为多少时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
解题指导 (1)由题意可知，利润=售价－研发成本－另外投入成本，据此可分段列出函数解析式，注意将单位统一为万元。
(2)根据解析式特征，分别求出最大值，进而得出答案。
答案 解:(1)当$0＜x＜50$时，$y=500x - (10x^2 + 100x + 800) - 250 = -10x^2 + 400x - 1\ 050$；
当$x≥50$时，$y=500x - (504x + \dfrac{10\ 000}{x - 2} - 6\ 450) - 250 = -(4x + \dfrac{10\ 000}{x - 2}) + 6\ 200$。
综上，$y=\begin{cases}-10x^2 + 400x - 1\ 050, & 0 ＜ x ＜ 50, \\-(4x + \dfrac{10\ 000}{x - 2}) + 6\ 200, & x ≥ 50.\end{cases}$
（分段函数分段解，注意将结果并在一起）
(2)当$0＜x＜50$时，$y=-10x^2 + 400x - 1\ 050=-10(x - 20)^2 + 2\ 950$，
所以当$x=20$时，$y_{\mathrm{max}}=2\ 950$。
当$x≥50$时，$y=-(4x + \dfrac{10\ 000}{x - 2}) + 6\ 200=-4(x - 2)-\dfrac{10\ 000}{x - 2}+6\ 192≤ -2\sqrt{40\ 000}+6\ 192=5\ 792$，当且仅当$4(x - 2)=\dfrac{10\ 000}{x - 2}$，
即$x=52$时，等号成立，此时$y_{\mathrm{max}}=5\ 792$。
综上，当年产量$x$为52时，该企业所获得的利润最大，最大利润是5 792万元。
答案
解：
(1) 由题意，每部手机售价为5000元，即每千部手机总售价为500万元，全年总销售额为$500x$万元。
利润 = 总销售额 - 额外投入成本$R(x)$ - 固定研发成本250万元。
当$0 ＜ x ＜ 50$时：
$y = 500x - (10x^2 + 100x + 800) - 250 = -10x^2 + 400x - 1050$
当$x ≥ 50$时：
$y = 500x - (504x + \dfrac{10000}{x-2} - 6450) - 250 = -(4x + \dfrac{10000}{x-2}) + 6200$
综上，利润$y$关于年产量$x$的函数解析式为：
$y=\begin{cases}-10x^2 + 400x - 1050, & 0 ＜ x ＜ 50 \\-(4x + \dfrac{10000}{x-2}) + 6200, & x ≥ 50\end{cases}$
(2) 当$0 ＜ x ＜ 50$时，对函数配方得：
$y = -10(x-20)^2 + 2950$
该二次函数开口向下，对称轴为$x=20$，因此当$x=20$时，$y$取得最大值$2950$。
当$x ≥ 50$时，对函数变形：
$\begin{aligned}y &= -(4x + \dfrac{10000}{x-2}) + 6200 \\&= -[4(x-2) + \dfrac{10000}{x-2}] + 6192\end{aligned}$
由基本不等式，对正实数$a,b$有$a+b ≥ 2\sqrt{ab}$，因$x≥50$，故$x-2≥48＞0$，令$a=4(x-2)$，$b=\dfrac{10000}{x-2}$，可得：
$4(x-2) + \dfrac{10000}{x-2} ≥ 2\sqrt{4(x-2) · \dfrac{10000}{x-2}} = 400$
因此$y ≤ -400 + 6192 = 5792$，当且仅当$4(x-2)=\dfrac{10000}{x-2}$时等号成立，解得$x=52$（负根舍去），此时$y$取得最大值$5792$。
因为$5792 ＞ 2950$，所以当年产量更大的利润为5792万元。
答：当年产量$x$为52千部时，该企业所获得的利润最大，最大利润是5792万元。
(1) 由题意，每部手机售价为5000元，即每千部手机总售价为500万元，全年总销售额为$500x$万元。
利润 = 总销售额 - 额外投入成本$R(x)$ - 固定研发成本250万元。
当$0 ＜ x ＜ 50$时：
$y = 500x - (10x^2 + 100x + 800) - 250 = -10x^2 + 400x - 1050$
当$x ≥ 50$时：
$y = 500x - (504x + \dfrac{10000}{x-2} - 6450) - 250 = -(4x + \dfrac{10000}{x-2}) + 6200$
综上，利润$y$关于年产量$x$的函数解析式为：
$y=\begin{cases}-10x^2 + 400x - 1050, & 0 ＜ x ＜ 50 \\-(4x + \dfrac{10000}{x-2}) + 6200, & x ≥ 50\end{cases}$
(2) 当$0 ＜ x ＜ 50$时，对函数配方得：
$y = -10(x-20)^2 + 2950$
该二次函数开口向下，对称轴为$x=20$，因此当$x=20$时，$y$取得最大值$2950$。
当$x ≥ 50$时，对函数变形：
$\begin{aligned}y &= -(4x + \dfrac{10000}{x-2}) + 6200 \\&= -[4(x-2) + \dfrac{10000}{x-2}] + 6192\end{aligned}$
由基本不等式，对正实数$a,b$有$a+b ≥ 2\sqrt{ab}$，因$x≥50$，故$x-2≥48＞0$，令$a=4(x-2)$，$b=\dfrac{10000}{x-2}$，可得：
$4(x-2) + \dfrac{10000}{x-2} ≥ 2\sqrt{4(x-2) · \dfrac{10000}{x-2}} = 400$
因此$y ≤ -400 + 6192 = 5792$，当且仅当$4(x-2)=\dfrac{10000}{x-2}$时等号成立，解得$x=52$（负根舍去），此时$y$取得最大值$5792$。
因为$5792 ＞ 2950$，所以当年产量更大的利润为5792万元。
答：当年产量$x$为52千部时，该企业所获得的利润最大，最大利润是5792万元。
