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1. 在测量一个小口圆柱形容器的壁厚(厚度均匀)时,小明用“X 型转动钳”按如图所示的方法进行测量,其中$OA=OD,OB=OC$,测得$AB=3\ \mathrm{cm},EF=4\ \mathrm{cm}$,则圆柱形容器的壁厚是（
A.2 cm
B.1.5 cm
C.1 cm
D.0.5 cm
D
）A.2 cm
B.1.5 cm
C.1 cm
D.0.5 cm
答案
1. D
2. (2025 常州市金坛区期中) 如图，$∠ ACF$ 是$△ ABC$ 的外角，$CD$ 平分$∠ ACF$，且 $CD$ 与$BA$ 的延长线交于点 $D$，$E$ 是线段 $CD$ 上的一个动点(点 $E$ 不与点 $C$，$D$ 重合). 若$EA=2$，$EB=7$，设 $CA+CB=t$，则 $t$ 的取值范围是
$5＜t＜9$
.答案
2. $5＜t＜9$ 提示:如图,在 $CF$ 上截取 $CG=CA$,连接 $EG$. 因为 $CD$ 平分$∠ACF$,所以$∠ACE=∠GCE$.
在$△ ACE$ 和$△ GCE$ 中,$\begin{cases} CA=CG, \\ ∠ACE=∠GCE, \\ CE=CE, \end{cases}$所以$△ ACE≌△ GCE(\mathrm{SAS})$. 所以 $GE=AE=2$. 在$△ BEG$ 中,可得 $7-2＜BG＜7+2$,即 $5＜BG＜9$. 因为 $BG=CB+CG$,且 $CG=CA$,所以 $BG=CA+CB=t$,所以 $5＜t＜9$.
3. （2025 无锡市新吴区期中）如图，$AB = 9\ \mathrm{cm}$，$BC = 12\ \mathrm{cm}$，$∠ B = ∠ C$，点 $P$ 在线段 $BC$ 上以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度由点 $B$ 向点 $C$ 运动，同时，点 $Q$ 从点 $C$ 出发沿射线 $CD$ 运动. 若经过 $t\ \mathrm{s}$ 后，$△ ABP$ 与 $△ CQP$ 全等，则 $t$ 的值是
$\frac{3}{2}$或$3$
.答案
3. $\frac{3}{2}$或$3$ 提示:设点 $Q$ 运动的速度为 $x\ \mathrm{cm/s}$,则 $BP=2t\ \mathrm{cm},CQ=xt\ \mathrm{cm},PC=(12-2t)\mathrm{cm}$. 因为 $∠B=∠C$, 则 ① 当 $BA=CQ,BP=CP$ 时,$△ BAP≌△ CQP(\mathrm{SAS})$,即 $9=xt,2t=12-2t$,解得 $t=3,x=3$; ② 当 $BA=CP,BP=CQ$ 时,$△ BAP≌△ CPQ(\mathrm{SAS})$,即 $9=12-2t,2t=xt$,解得 $t=\frac{3}{2},x=2$. 综上所述,$t$ 的值为$\frac{3}{2}$或$3$.
4. 如图,在$△ ABC$中,$BD ⊥ AC$于点$D$,$CE ⊥ AB$于点$E$,$F$是线段$BD$上一点,$BF=AC$,$G$是线段$CE$的延长线上一点,$CG=AB$,连接$AG$,$AF$.
(1) 求证:$∠ ABD = ∠ ACE$.
(2) 猜想线段$AF$与$AG$之间的数量和位置关系,并说明理由.
(1) 求证:$∠ ABD = ∠ ACE$.
(2) 猜想线段$AF$与$AG$之间的数量和位置关系,并说明理由.
答案
4. (1) 证明:因为 $BD⊥ AC,CE⊥ AB$,所以 $∠ADB=∠AEC=90°$,所以 $∠ABD+∠BAD=90°=∠ACE+∠BAD$,所以 $∠ABD=∠ACE$.
(2) 解:$AF=AG,AF⊥ AG$. 理由如下:
在$△ ABF$ 和$△ GCA$ 中,因为 $BA=CG$,$∠ABF=∠GCA$,$BF=CA$,所以 $△ ABF≌△ GCA(\mathrm{SAS})$,所以 $AF=GA$,$∠BAF=∠G$. 又因为 $∠GAE+∠G=90°$,所以 $∠GAE+∠BAF=90°$,所以 $∠GAF=90°$,即 $AF⊥ AG$.
(2) 解:$AF=AG,AF⊥ AG$. 理由如下:
在$△ ABF$ 和$△ GCA$ 中,因为 $BA=CG$,$∠ABF=∠GCA$,$BF=CA$,所以 $△ ABF≌△ GCA(\mathrm{SAS})$,所以 $AF=GA$,$∠BAF=∠G$. 又因为 $∠GAE+∠G=90°$,所以 $∠GAE+∠BAF=90°$,所以 $∠GAF=90°$,即 $AF⊥ AG$.
5.【阅读理解】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:在$△ ABC$中,$AB=9$,$AC=5$,求边$BC$上的中线$AD$长的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法(如图1):①延长$AD$至点$Q$,使得$DQ=AD$;②连接$BQ$,把$AB$,$AC$,$2AD$集中在$△ ABQ$中;③利用三角形的三边关系,可得$4＜AQ＜14$.
(1)$AD$长的取值范围是
(2)请写出图1中$AC$与$BQ$之间的位置关系,并加以证明.
【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”等字样,可以考虑倍长中线,构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
【思考】
(3)如图2,$AD$是$△ ABC$的中线,$AB=AE$,$AC=AF$,$∠ BAE=∠ FAC=90°$.试探究线段$AD$与$EF$之间的数量和位置关系,并加以证明.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法(如图1):①延长$AD$至点$Q$,使得$DQ=AD$;②连接$BQ$,把$AB$,$AC$,$2AD$集中在$△ ABQ$中;③利用三角形的三边关系,可得$4＜AQ＜14$.
(1)$AD$长的取值范围是
$2＜AD＜7$
.(2)请写出图1中$AC$与$BQ$之间的位置关系,并加以证明.
【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”等字样,可以考虑倍长中线,构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
【思考】
(3)如图2,$AD$是$△ ABC$的中线,$AB=AE$,$AC=AF$,$∠ BAE=∠ FAC=90°$.试探究线段$AD$与$EF$之间的数量和位置关系,并加以证明.
答案
5. (1) $2＜AD＜7$
(2) $AC// BQ$. 证明如下:
因为 $AD$ 是边 $BC$ 上的中线,所以 $BD=CD$. 又因为 $∠BDQ=∠CDA$,$QD=AD$,所以 $△ QDB≌△ ADC$,所以 $∠BQD=∠CAD$,所以 $AC// BQ$.
(3) $EF=2AD$,$AD⊥ EF$. 证明如下:
延长 $AD$ 至点 $Q$,使得 $DQ=AD$,连接 $BQ$. 由(2)可知,$BQ// AC$,$BQ=AC$. 因为 $AC=AF$,所以 $BQ=AF$. 因为 $BQ// AC$,所以 $∠BAC+∠ABQ=180°$. 因为 $∠BAE=∠FAC=90°$,所以 $∠BAC+∠EAF=180°$. 所以 $∠ABQ=∠EAF$. 在$△ ABQ$ 和$△ EAF$ 中,
$\begin{cases} AB=EA, \\ ∠ABQ=∠EAF, \\ BQ=AF, \end{cases}$
所以 $△ ABQ≌△ EAF(\mathrm{SAS})$,所以 $AQ=EF$,$∠BAQ=∠AEF$. 因为 $AD=DQ$,所以 $EF=AQ=2AD$. 延长 $DA$ 交 $EF$ 于点 $P$. 因为 $∠BAE=90°$,所以 $∠BAQ+∠EAP=90°$,所以 $∠AEF+∠EAP=90°$,所以 $∠APE=90°$,所以 $AD⊥ EF$.
(2) $AC// BQ$. 证明如下:
因为 $AD$ 是边 $BC$ 上的中线,所以 $BD=CD$. 又因为 $∠BDQ=∠CDA$,$QD=AD$,所以 $△ QDB≌△ ADC$,所以 $∠BQD=∠CAD$,所以 $AC// BQ$.
(3) $EF=2AD$,$AD⊥ EF$. 证明如下:
延长 $AD$ 至点 $Q$,使得 $DQ=AD$,连接 $BQ$. 由(2)可知,$BQ// AC$,$BQ=AC$. 因为 $AC=AF$,所以 $BQ=AF$. 因为 $BQ// AC$,所以 $∠BAC+∠ABQ=180°$. 因为 $∠BAE=∠FAC=90°$,所以 $∠BAC+∠EAF=180°$. 所以 $∠ABQ=∠EAF$. 在$△ ABQ$ 和$△ EAF$ 中,
$\begin{cases} AB=EA, \\ ∠ABQ=∠EAF, \\ BQ=AF, \end{cases}$
所以 $△ ABQ≌△ EAF(\mathrm{SAS})$,所以 $AQ=EF$,$∠BAQ=∠AEF$. 因为 $AD=DQ$,所以 $EF=AQ=2AD$. 延长 $DA$ 交 $EF$ 于点 $P$. 因为 $∠BAE=90°$,所以 $∠BAQ+∠EAP=90°$,所以 $∠AEF+∠EAP=90°$,所以 $∠APE=90°$,所以 $AD⊥ EF$.
