【情境建模】
(1)如图1,点 P 在∠MAN 的平分线上,过点 P 作 AQ 的垂线,分别交 AM,AN 于点 B,C。求证:AB=AC。
【应用实践】
请直接应用“情境建模”中的结论解答下列问题。
(2)将图1沿着过点 B 的直线 l 折叠,得到图 2(部分未画出),使点 C 恰好与边 AM 上的点 D重合,此时测得∠ACD=90°,求∠DAC 的度数。
【拓展提升】
(3)如图 3,△ABC 表示某小区一处绿化施工区域,其中∠ACB=90°,AC=50 m,BC=120 m,AB=130 m。该绿化带中修建了健身步道 OA,OB,OM,ON,MN,其中入口 M,N 分别在AC,BC上,步道 OA,OB 分别平分∠BAC 和∠ABC,OM⊥OA,ON⊥OB。现要用围栏完全封闭△CMN 区域,用于地下排水和地上公益广告等设施建设,求围栏的长度至少需要多少米(步道宽度忽略不计)。

(1) 证明见上述过程；(2) $\boldsymbol{60°}$；(3) 围栏长度至少为$\boldsymbol{40m}$。

(1) 证明：
∵ AP平分∠MAN，
∴ ∠BAP=∠CAP，
∵ BC⊥AQ，
∴ ∠APB=∠APC=90°，
在△ABP和△ACP中：
$\{\begin{array}{l}∠BAP=∠CAP \\AP=AP \\∠APB=∠APC\end{array} $
∴ △ABP≌△ACP（ASA），
∴ AB=AC。
(2) 解：由折叠性质得BD=BC，因此∠BDC=∠BCD，
由(1)的结论可得AB=AC，设∠DAC=α，
∵ AP平分∠DAC，
∴ ∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{α}{2}$，
已知∠ACD=90°，即∠ACB + ∠BCD=90°，代入得：
$90°-\frac{α}{2} + ∠BCD=90°$，解得∠BCD=$\frac{α}{2}$，即∠BDC=$\frac{α}{2}$，
在△ACD中由内角和定理：∠DAC + ∠ADC + ∠ACD=180°，
即$α + \frac{α}{2} + 90°=180°$，解得α=60°，即∠DAC=60°。
(3) 解：延长MO交AB于点D，延长NO交AB于点E，
∵ OA平分∠BAC，OM⊥OA，由(1)的结论可得AM=AD，OM=OD，
同理，OB平分∠ABC，ON⊥OB，可得BN=BE，ON=OE，
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠AOB=180° - $\frac{1}{2}$∠BAC - $\frac{1}{2}$∠ABC = 180° - $\frac{1}{2}(180°-90°)=135°$，
可得∠MON=∠DOE=45°，
在△MON和△DOE中：
$\{\begin{array}{l}OM=OD \\∠MON=∠DOE \\ON=OE\end{array} $
∴ △MON≌△DOE（SAS），因此MN=DE，
又∵ DE=AD + BE - AB = AM + BN - AB，即MN=AM + BN - AB，
因此△CMN的周长=CM + CN + MN
= (AC - AM) + (BC - BN) + (AM + BN - AB)
= AC + BC - AB
代入AC=50m，BC=120m，AB=130m，得周长=50+120-130=40m。