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9. (2024·东海县期中) 如图, 在$△ ABC$中, $AC$和$BC$的垂直平分线$l_{1}$和$l_{2}$分别交$AB$于点$D$,$E$. 若$AD=3, DE=4, EB=5$, 则$△ ABC$的面积等于
18
.答案
9.18
10. 如图,$F$是正五边形$ABCDE$中边$DE$的中点,连接$BF$并延长与$CD$的延长线交于点$G$,则$∠ BGC$的度数为
18°
.答案
10.$18°$
三、解答题(共50分)
11.(15分)(2024·陕西)如图,已知直线$l$和$l$外一点$A$,请用尺规作图法,求作一个等腰直角$△ ABC$,使得顶点$B$和顶点$C$都在直线$l$上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可,保留作图痕迹,不写作法)
11.(15分)(2024·陕西)如图,已知直线$l$和$l$外一点$A$,请用尺规作图法,求作一个等腰直角$△ ABC$,使得顶点$B$和顶点$C$都在直线$l$上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可,保留作图痕迹,不写作法)
答案
11.解:如答图所示,等腰直角△ABC即为所求.
12. (15分)(2024·灌南县期中)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$为$BC$边上一点,$∠ B=30°$,$∠ DAB=45°$.
(1)求$∠ DAC$的度数;
(2)求证:$DC=AB$.
(1)求$∠ DAC$的度数;
(2)求证:$DC=AB$.
答案
12.(1)解:$\because AB=AC,\therefore ∠C=∠B=30°$.
$\because ∠C+∠BAC+∠B=180°$,
$\therefore ∠BAC=180°-30°-30°=120°$.
$\because ∠DAB=45°$,
$\therefore ∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°$.
(2)证明:$\because ∠DAB=45°,∠DAC=75°$,
$\therefore ∠ADC=∠B+∠DAB=30°+45°=75°$,
$\therefore ∠DAC=∠ADC,\therefore DC=AC$.
$\because AB=AC,\therefore DC=AB$.
$\because ∠C+∠BAC+∠B=180°$,
$\therefore ∠BAC=180°-30°-30°=120°$.
$\because ∠DAB=45°$,
$\therefore ∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°$.
(2)证明:$\because ∠DAB=45°,∠DAC=75°$,
$\therefore ∠ADC=∠B+∠DAB=30°+45°=75°$,
$\therefore ∠DAC=∠ADC,\therefore DC=AC$.
$\because AB=AC,\therefore DC=AB$.
13. (20分)(2024·海州区期中)在四边形$ABDC$中，$AC=AB$，$DC=DB$，$∠ CAB=60°$，$∠ CDB=120°$，$E$是$AC$上一点，$F$是$AB$延长线上一点，且$CE=BF$。
(1)在图①中，试说明：$DE=DF$；
(2)在图②中，若点$G$在$AB$上且$∠ EDG=60°$，试猜想$CE$，$EG$，$BG$之间的数量关系，并证明所归纳结论；
(3)若题中条件“$∠ CAB=60°$且$∠ CDB=120°$”改为$∠ CAB=α$，$∠ CDB=180°-α$，点$G$在$AB$上，$∠ EDG$满足什么条件时，(2)中结论仍然成立？
(1)在图①中，试说明：$DE=DF$；
(2)在图②中，若点$G$在$AB$上且$∠ EDG=60°$，试猜想$CE$，$EG$，$BG$之间的数量关系，并证明所归纳结论；
(3)若题中条件“$∠ CAB=60°$且$∠ CDB=120°$”改为$∠ CAB=α$，$∠ CDB=180°-α$，点$G$在$AB$上，$∠ EDG$满足什么条件时，(2)中结论仍然成立？
答案
13.解:(1)$\because ∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°$,
$∠CAB=60°,∠CDB=120°$,
$\therefore ∠C+∠ABD=180°$.
又$\because ∠DBF+∠ABD=180°,\therefore ∠C=∠DBF$.
在$△ CDE$和$△ BDF$中,$\begin{cases} CD=BD,\\ ∠C=∠DBF,\\ CE=BF, \end{cases}$
$\therefore △ CDE≌△ BDF(\mathrm{SAS}),\therefore DE=DF$.
(2)$CE+BG=EG$. 证明:$\because ∠BDC=120°,∠EDG=60°$,
$\therefore ∠EDC+∠BDG=∠BDC-∠EDG=60°$.
由(1),得$△ CDE≌△ BDF,\therefore ∠CDE=∠BDF$,
$\therefore ∠BDG+∠BDF=60°,即∠FDG=60°$,
$\therefore ∠EDG=∠FDG$.
在$△ DEG$和$△ DFG$中,$\begin{cases} DE=DF,\\ ∠EDG=∠FDG,\\ DG=DG, \end{cases}$
$\therefore △ DEG≌△ DFG(\mathrm{SAS}),\therefore EG=FG$.
又$\because CE=BF,FG=BF+BG,\therefore CE+BG=EG$.
(3)当$∠EDG=90°-\dfrac{1}{2}α$时,$CE+BG=EG$仍然成立,
理由:$\because ∠BDC=180°-α,∠EDG=90°-\dfrac{1}{2}α$,
$\therefore ∠EDC+∠BDG=∠BDC-∠EDG=90°-\dfrac{1}{2}α$.
由(1),得$△ CDE≌△ BDF,\therefore ∠CDE=∠BDF$,
$\therefore ∠BDG+∠BDF=90°-\dfrac{1}{2}α,即∠FDG=90°-\dfrac{1}{2}α$,
$\therefore ∠EDG=∠FDG$.
在$△ DEG$和$△ DFG$中,$\begin{cases} DE=DF,\\ ∠EDG=∠FDG,\\ DG=DG, \end{cases}$
$\therefore △ DEG≌△ DFG(\mathrm{SAS}),\therefore EG=FG$.
又$\because CE=BF,FG=BF+BG,\therefore CE+BG=EG$.
$\therefore 当∠EDG=90°-\dfrac{1}{2}α时,CE+BG=EG仍然成立$.
$∠CAB=60°,∠CDB=120°$,
$\therefore ∠C+∠ABD=180°$.
又$\because ∠DBF+∠ABD=180°,\therefore ∠C=∠DBF$.
在$△ CDE$和$△ BDF$中,$\begin{cases} CD=BD,\\ ∠C=∠DBF,\\ CE=BF, \end{cases}$
$\therefore △ CDE≌△ BDF(\mathrm{SAS}),\therefore DE=DF$.
(2)$CE+BG=EG$. 证明:$\because ∠BDC=120°,∠EDG=60°$,
$\therefore ∠EDC+∠BDG=∠BDC-∠EDG=60°$.
由(1),得$△ CDE≌△ BDF,\therefore ∠CDE=∠BDF$,
$\therefore ∠BDG+∠BDF=60°,即∠FDG=60°$,
$\therefore ∠EDG=∠FDG$.
在$△ DEG$和$△ DFG$中,$\begin{cases} DE=DF,\\ ∠EDG=∠FDG,\\ DG=DG, \end{cases}$
$\therefore △ DEG≌△ DFG(\mathrm{SAS}),\therefore EG=FG$.
又$\because CE=BF,FG=BF+BG,\therefore CE+BG=EG$.
(3)当$∠EDG=90°-\dfrac{1}{2}α$时,$CE+BG=EG$仍然成立,
理由:$\because ∠BDC=180°-α,∠EDG=90°-\dfrac{1}{2}α$,
$\therefore ∠EDC+∠BDG=∠BDC-∠EDG=90°-\dfrac{1}{2}α$.
由(1),得$△ CDE≌△ BDF,\therefore ∠CDE=∠BDF$,
$\therefore ∠BDG+∠BDF=90°-\dfrac{1}{2}α,即∠FDG=90°-\dfrac{1}{2}α$,
$\therefore ∠EDG=∠FDG$.
在$△ DEG$和$△ DFG$中,$\begin{cases} DE=DF,\\ ∠EDG=∠FDG,\\ DG=DG, \end{cases}$
$\therefore △ DEG≌△ DFG(\mathrm{SAS}),\therefore EG=FG$.
又$\because CE=BF,FG=BF+BG,\therefore CE+BG=EG$.
$\therefore 当∠EDG=90°-\dfrac{1}{2}α时,CE+BG=EG仍然成立$.
