1.（2024 湖北省中考）如图，AB 是半圆 O 的直径，C 为半圆 O 上一点，以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，交 BA 于点 M，交 BC于点 N，分别以点 M，N 为圆心，大于$\dfrac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在$∠ ABC$的内部相交于点 D，画射线 BD，连接 AC. 若$∠ CAB=50°,则∠ CBD$的度数是 （）


A.$30°$
B.$25°$
C.$20°$
D.$15°$

1. C

【分析】首先，根据AB是半圆O的直径，利用圆周角定理（直径所对的圆周角为直角）得到∠ACB=90°；其次，由作图过程可知，BD是∠ABC的角平分线（尺规作角平分线的方法）；最后在Rt△ABC中，先计算出∠ABC的度数，再利用角平分线的性质求出∠CBD的度数。
【解析】
∵AB是半圆O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90°。在Rt△ABC中，∠CAB=50°，
∴∠ABC=90°−∠CAB=90°−50°=40°。由作图步骤可知，BD是∠ABC的角平分线，
∴∠CBD=½∠ABC=½×40°=20°。
【答案】C
【知识点】圆周角定理、角平分线的性质、直角三角形内角和
【点评】本题结合尺规作图与圆周角定理，考查直角三角形的角度计算，属于基础几何题，需掌握相关定理和作图方法即可解答。
【难度系数】0.5

2. (2024 常州市中考)如图,$AB$是$\odot O$的直径,$CD$是$\odot O$的弦,连接$AD,BC,BD$.若$∠ BCD=20°$,则$∠ ABD=$$°$.

70

【分析】
要解决本题，需运用圆的圆周角相关性质：第一步，利用同弧所对的圆周角相等，找到∠BAD与∠BCD的等量关系；第二步，根据直径所对的圆周角为直角，确定△ABD是直角三角形；第三步，结合直角三角形内角和计算∠ABD的度数。
【解析】
∵ ∠BCD和∠BAD都是弧BD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠BAD = ∠BCD = 20°。
又
∵ AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，
∴ ∠ADB = 90°。
在△ABD中，三角形内角和为180°，即∠ABD + ∠BAD + ∠ADB = 180°，
∴ ∠ABD = 180° - 90° - 20° = 70°。
【答案】
70
【知识点】
圆周角定理、直径的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，核心考查圆周角定理和直径的直角性质，解题思路清晰，步骤简洁，属于中考常见基础题型。
【难度系数】
0.6

3. 如图,$AB$是$\odot O$的弦,$AB=2\sqrt{3}$,$C$是$\odot O$上的一个动点,且$∠ ACB=60°$.若$M,N$分别是弦$AB,BC$的中点,则$MN$长的最大值是.

2 提示:如图,连接 AO 并延长,交$\odot O$于点 D,连接 BD. 因为 M, N 分别是弦 AB, BC 的中点,所以 MN 是$△ ABC$的中位线,所以$MN=\dfrac{1}{2}AC$,所以当 AC 的长最大时,MN 的长最大. 因为 C 是$\odot O$上的一个动点,且$∠ ACB=60°$,所以当点 C 运动到点 D 处时,AC 的长最大,最大值即为$\odot O$的直径 AD 的长. 在$△ ABD$中,易知$∠ ADB=∠ C=60°$,因为 AD 为$\odot O$的直径,所以$∠ ABD=90°$,所以$∠ BAD=30°$,所以$BD=\dfrac{1}{2}AD$. 由勾股定理,得$BD^2+AB^2=AD^2$,即$(\dfrac{1}{2}AD)^2+(2\sqrt{3})^2=(AD)^2$,解得$AD=4$(负值已舍),所以 MN 长的最大值为2.

【分析】要找到MN的最大值，首先利用三角形中位线定理，将MN转化为AC的一半，因此MN的最大值由AC的最大值决定。根据圆周角性质，∠ACB固定为60°，可知圆中弦AC的最大值为圆的直径，因此只需计算圆的直径长度，即可求出MN的最大值。
【解析】1. 因为M、N分别是AB、BC的中点，根据三角形中位线定理，MN是△ABC的中位线，故$MN=\frac{1}{2}AC$，因此当AC最长时，MN最长。
2. 由∠ACB=60°，根据圆周角定理，同弧AB所对的圆周角相等，可知弦AC的最大值为⊙O的直径（直径是圆中最长的弦）。
3. 连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，则AD为⊙O的直径，因此∠ABD=90°（直径所对的圆周角为直角），且∠ADB=∠ACB=60°（同弧AB所对的圆周角相等）。
4. 在Rt△ABD中，∠ADB=60°，故∠BAD=30°，因此$BD=\frac{1}{2}AD$。
5. 根据勾股定理，$BD^2 + AB^2 = AD^2$，代入$AB=2\sqrt{3}$，$BD=\frac{1}{2}AD$，得：
$(\frac{1}{2}AD)^2 + (2\sqrt{3})^2 = AD^2$
化简得：$\frac{AD^2}{4} + 12 = AD^2$，即$\frac{3AD^2}{4}=12$，解得$AD^2=16$，故AD=4（长度为正，舍去负值）。
6. 因此AC的最大值为AD=4，所以$MN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，即MN长的最大值为2。
【答案】2
【知识点】三角形中位线定理、圆周角定理、圆的直径性质
【点评】本题通过中位线转化线段关系，结合圆的性质求最值，关键是将MN的最值转化为AC的最值，再利用直径是最长弦的性质确定AC的最大值，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】0.5

4. 如图，在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中，$AB=AD,∠ C=108^{\circ },$点$E$在$\overset{\frown}{AB}$上，则$∠ E=\_\_\_\_\_\_°.$

126 提示:连接 AC. 因为$AB=AD$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$,所以$∠ ACB=∠ ACD=\dfrac{1}{2}∠ BCD=54°$. 因为$∠ E+∠ ACB=180°$,所以$∠ E=180°-∠ ACB=126°$.

【分析】
要解决本题，需结合圆的相关性质逐步推导：首先利用“等弦对等弧”得到弧AB与弧AD的关系，再根据圆周角定理推出AC平分∠BCD，算出∠ACB的度数；最后利用圆内接四边形的对角互补，即可求出∠E的度数。
【解析】
连接AC，
∵ AB=AD，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$（等弦对等弧），
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠ACB=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
已知∠BCD=∠C=108°，
∴ ∠ACB=$\frac{1}{2}$×108°=54°，
又
∵ 四边形AEBC是⊙O的内接四边形，
根据圆内接四边形的对角互补，得∠E + ∠ACB=180°，
∴ ∠E=180° - 54°=126°。
【答案】
126
【知识点】
圆内接四边形性质，圆周角定理，等弦对等弧
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，关键是通过等弦建立弧与角的关系，结合圆周角定理和圆内接四边形的性质求解，需学生熟练掌握圆的基本定理，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

5. 如图,将$\odot O$沿弦$AB$折叠,点$C$在$\overset{\frown}{AMB}$上,点$D$在$\overset{\frown}{AB}$上. 若$∠ ACB=70^{ \circ }$,则$∠ ADB$的度数是.

$110°$

【分析】
要解决本题，需运用圆周角定理和折叠的性质。首先，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于该弧度数的一半，先确定弦AB所对弧的度数；再结合折叠后点D与点C在弦AB两侧，同弦AB所对的两侧圆周角互补的特点，即可求出∠ADB的度数。
【解析】
1. 因为∠ACB是⊙O中弦AB所对的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，所以弦AB所对的弧AB的度数为 $2×∠ ACB = 2×70° = 140°$。
2. 弦AB将圆分为两段弧，点C在弧AMB上，点D在沿AB折叠后的弧AB上，即点C与点D分别在弦AB的两侧，此时弦AB所对的两个圆周角互补，因此 $∠ ADB = 180° - ∠ ACB = 180° -70° = 110°$。
【答案】
$110°$
【知识点】
圆周角定理、折叠性质
【点评】
本题结合折叠的对称性考查圆周角定理的应用，核心是掌握同弦所对两侧圆周角互补的性质，属于圆的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

6. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,$BD$ 为$\odot O$ 的直径,$AC$ 平分$∠ BAD$,$CD=2\sqrt{2}$,点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上,连接 $DE$.
(1) 求直径 $BD$ 的长；
(2) 若 $BE=5\sqrt{2}$,计算图中阴影部分的面积.

解:(1) 因为 AC 平分$∠ BAD$,所以$∠ BAC=∠ CAD$. 因为在同圆中相等的圆周角所对的弧、弦均相等,所以$CB=CD=2\sqrt{2}$. 因为 BD 是$\odot O$的直径,所以$∠ BCD=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$BD=\sqrt{2CD^2}=\sqrt{2}CD=4$.
(2) 因为$CB=CD=2\sqrt{2}$,$BE=5\sqrt{2}$,所以$CE=BE-CB=3\sqrt{2}$. 由(1)可知,$∠ DCE=90°$,C 是半圆的中点,所以由圆的对称性可知,$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ DCE}=\dfrac{1}{2}CD· CE=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$.

【分析】
首先，第(1)问利用角平分线得到相等的圆周角，根据圆周角定理“同圆中相等的圆周角所对的弦相等”，得出CB=CD；再结合BD是直径，直径所对的圆周角为直角，得到Rt△BCD，用勾股定理即可求出BD的长度。第(2)问先计算CE的长度，再根据∠DCE为直角，结合圆的对称性，将阴影部分面积转化为△DCE的面积，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 因为AC平分∠BAD，所以∠BAC=∠CAD。根据圆周角定理：同圆中相等的圆周角所对的弦相等，可得CB=CD=2√2。
又因为BD是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，所以∠BCD=90°，即△BCD是直角三角形。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
BD = √(BC² + CD²) = √[(2√2)² + (2√2)²] = √(8 + 8) = √16 = 4。
(2) 已知CB=2√2，BE=5√2，所以CE = BE - CB = 5√2 - 2√2 = 3√2。
由(1)知∠BCD=90°，所以∠DCE=180° - ∠BCD = 90°，即△DCE是直角三角形。
根据圆的对称性，阴影部分的面积等于△DCE的面积，因此：
S阴影 = S△DCE = (1/2)×CD×CE = (1/2)×2√2×3√2 = (1/2)×6×2 = 6。
【答案】
(1) BD的长为4；(2) 阴影部分的面积为6。
【知识点】
圆周角定理、勾股定理、阴影面积计算
【点评】
本题综合考查圆的性质与直角三角形的相关知识，解题关键是利用圆周角定理得到弦相等，通过对称性转化阴影面积，难度适中，需熟练掌握圆的基本性质和面积计算方法。
【难度系数】
0.5

7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径的$\odot O$经过点$D$,$P$是边$AC$上一点(不与点$A$,$C$重合).请用无刻度直尺按要求作图,保留作图痕迹,不写作法.
(1) 过点$A$作一条直线,将$△ ABC$分成面积相等的两部分;
(2) 在边$AB$上找一点$P'$,使得$BP'=CP$.

解:(1) 如图,直线 AD 即为所求.
(2) 如图,点$P'$即为所求.

【分析】
要解决这道作图题，需结合圆和等腰三角形的性质分析：
(1) 要将△ABC分成面积相等的两部分，需找到平分面积的直线。AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对圆周角为直角，故AD⊥BC；又AB=AC，等腰三角形底边上的高AD同时是中线，因此BD=DC，△ABD和△ADC等底同高，面积相等，直线AD即为所求。
(2) 要在AB上找P'使BP'=CP，利用等腰△ABC的对称性：AD是对称轴，点C关于AD的对称点是B，作点P关于AD的对称点，该点在AB上即为P'，根据对称性质，对应线段相等，故CP=BP'。
【解析】
(1) 因为AB为⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，所以∠ADB=90°，即AD⊥BC。又AB=AC，△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线，故BD=DC。△ABD与△ADC的底BD=DC，高均为AD，因此面积相等，所以直线AD将△ABC分成面积相等的两部分。
(2) 由AB=AC，AD⊥BC，可知AD是△ABC的对称轴，点C关于AD的对称点为点B。作点P关于直线AD的对称点，该对称点在AB边上，记为P'，根据轴对称的性质，对称点到对称轴上点的距离相等，故CP=BP'，即P'满足条件。
【答案】
(1) 直线AD；(2) 点P'；
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，轴对称性质
【点评】
本题结合圆的性质与等腰三角形的对称性考查作图，需灵活运用几何图形的性质确定作图依据，是对几何性质应用的综合考查，难度适中。
【难度系数】
0.5