8. 如图,点$D$在$AC$上,点$E$在$AB$上,且$BD ⊥ CE$,垂足为$M$.有下列说法:①$BM$的长是点$B$到$CE$的距离;②$CE$的长是点$C$到$AB$的距离;③$BD$的长是点$B$到$AC$的距离;④$CM$的长是点$C$到$BD$的距离.其中正确的是.(填序号)

8.①④

【分析】
要判断各说法是否正确，需依据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。逐一分析每个说法是否符合该定义即可。
【解析】
根据点到直线的距离的定义：
1. 对于①：因为$BD⊥CE$，垂足为$M$，即$BM$是点$B$到直线$CE$的垂线段，所以$BM$的长是点$B$到$CE$的距离，①正确；
2. 对于②：$CE$与$AB$不垂直，不存在$CE$是点$C$到$AB$的垂线段，因此$CE$的长不是点$C$到$AB$的距离，②错误；
3. 对于③：$BD$与$AC$不垂直，$BD$不是点$B$到$AC$的垂线段，因此$BD$的长不是点$B$到$AC$的距离，③错误；
4. 对于④：因为$BD⊥CE$，垂足为$M$，即$CM$是点$C$到直线$BD$的垂线段，所以$CM$的长是点$C$到$BD$的距离，④正确。
综上，正确的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
点到直线的距离
【点评】
本题考查点到直线的距离的概念，核心是理解“垂线段的长度”这一关键，需准确判断线段是否为对应点到直线的垂线段，属于基础概念题，难度不大。
【难度系数】
0.6

9. 如图是一位跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹，则表示该运动员成绩的是 .

9.线段BN的长度

【分析】
要确定跳远运动员的成绩，需明确跳远成绩的判定规则：跳远成绩是从起跳线到运动员落地点的垂直距离，即过落地点向起跳线作垂线，所得垂线段的长度。观察题图，起跳线为左侧的竖直线，落地点为N点，BN是从N点到起跳线的垂线段（B处为直角，说明BN垂直于起跳线），因此成绩对应这条垂线段。
【解析】
根据跳远成绩的定义，成绩为起跳线到落地点的垂线段长度。图中，BN是落地点N到起跳线的垂线段，所以表示该运动员成绩的是线段BN的长度。
【答案】
线段BN的长度
【知识点】
垂线段性质、点到直线的距离
【点评】
本题结合跳远实际场景，考查垂线段在生活中的应用，核心是理解点到直线的距离是垂线段的长度，属于基础概念题，难度不大。
【难度系数】
0.3

10. 如图，$∠ C=90°$，$AB=5$，$AC=4$，$BC=3$，$AC+BC＞AB$ 的依据是；$AB＞AC$ 的依据是.

10.两点之间线段最短 垂线段最短

【分析】要明确两个不等式的几何依据：1. 对于$AC+BC＞AB$，$AB$是连接A、B两点的线段，$AC+BC$是折线$A-C-B$的长度，需结合两点间线段的性质判断；2. 对于$AB＞AC$，$∠C=90°$说明$AC⊥BC$，$AC$是点A到直线BC的垂线段，$AB$是斜线段，需结合点到直线的线段性质判断。
【解析】1. 两点之间，线段最短：A、B两点间，线段$AB$是最短路径，折线$A-C-B$的长度$AC+BC$大于线段$AB$，故$AC+BC＞AB$；2. 垂线段最短：因为$∠C=90°$，即$AC⊥BC$，$AC$是点A到直线$BC$的垂线段，$AB$是点A到直线$BC$的斜线段，点到直线的所有线段中垂线段最短，因此斜线段$AB$长度大于垂线段$AC$，故$AB＞AC$。
【答案】两点之间线段最短；垂线段最短
【知识点】线段的性质；垂线段的性质
【点评】本题考查几何基本性质的应用，需准确区分“两点之间线段最短”和“垂线段最短”的适用场景，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】0.3

11. 如图,在正方形网格中,所有小正方形的边长都为 1,点 A,B,C 都在格点上.
(1)利用网格作图:过点 C 画直线 AB 的垂线 CE,垂足为 E.
(2)线段 CE 的长度是点到直线的距离.
(3)比较大小:$CE$$CB$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”),理由:.

11.(1)解:如答图,直线CE即为所求.
(2)C AB (3)＜ 垂线段最短

【分析】
本题包含三个小问题，第(1)问需借助网格的直角特性，过点C画出直线AB的垂线并确定垂足E；第(2)问根据点到直线的距离的定义，判断CE对应的点和直线；第(3)问依据垂线段最短的性质比较CE与CB的大小。
【解析】
(1) 观察网格中直线AB的格点特征，过点C作与AB垂直的直线，该直线与AB交于格点E，直线CE即为所求，如答图所示。
(2) 根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，因此线段CE的长度是点C到直线AB的距离。
(3) CE是点C到直线AB的垂线段，CB是点C到直线AB的斜线段，根据“垂线段最短”的性质，可得CE＜CB。
【答案】
(1) 如答图（）；(2) C；AB；(3) ＜；垂线段最短
【知识点】
垂线的画法，点到直线的距离，垂线段最短
【点评】
本题结合正方形网格考查了垂线的作图、点到直线的距离的定义及垂线段的性质，属于基础几何题，解题关键是掌握相关几何基本概念和性质。
【难度系数】
0.5

12. 在三角形 $ABC$ 中, $AB=4, AC=6, BD ⊥ AC$, 垂足为 $D, CE ⊥ AB$, 垂足为 $E$. 若三角形 $ABC$的面积为 9, 求点 $B$ 到直线 $AC$ 的距离, 点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离.

12.解:因为三角形ABC的面积为9,AC=6,BD⊥AC,
所以$\frac{1}{2} AC·BD=9$,所以BD=3,
所以点B到直线AC的距离为3.
因为三角形ABC的面积为9,AB=4,CE⊥AB,
所以$\frac{1}{2} AB·CE=9$,所以$CE=\frac{9}{2}$,
所以点C到直线AB的距离为$\frac{9}{2}$.

【分析】首先明确：点到直线的距离是该点到直线的垂线段的长度，题目中BD⊥AC，则BD是点B到直线AC的距离；CE⊥AB，则CE是点C到直线AB的距离。再利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，结合已知的三角形面积、对应底边长度，即可求出对应的垂线段长度，也就是所求的距离。
【解析】因为三角形ABC的面积为9，AC=6，BD⊥AC，根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BD$，代入得：$9=\frac{1}{2}×6×BD$，解得$BD=3$，所以点B到直线AC的距离为3。
又因为三角形ABC的面积为9，AB=4，CE⊥AB，同理根据面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·CE$，代入得：$9=\frac{1}{2}×4×CE$，解得$CE=\frac{9}{2}$，所以点C到直线AB的距离为$\frac{9}{2}$。
【答案】点B到直线AC的距离为3，点C到直线AB的距离为$\frac{9}{2}$
【知识点】三角形面积公式，点到直线的距离
【点评】本题考查三角形面积公式的应用及点到直线距离的概念，属于基础题型，解题关键是明确点到直线的距离对应三角形的高，再结合面积公式计算即可。
【难度系数】0.8

13. 如图,在锐角三角形 ABC 中,$AB＜BC,AC=5,BC=6$,BC 边上的高$AD=4$,若点 P 在边 AC上移动(含端点),求 BP 长的取值范围.

13.解:由垂线段最短可知,当$BP⊥AC$时,BP最短,
此时$S_{三角形ABC}=\frac{1}{2} BC·AD=\frac{1}{2} AC·BP$,
所以$\frac{1}{2}×6×4=\frac{1}{2}×5BP$,解得$BP=4.8$,
即BP的长最小为4.8.
因为$AB＜BC,BC=6$,所以BP的长最大为6.
所以BP长的取值范围为$4.8≤BP≤6$.

【分析】要确定BP的取值范围，需分别找到BP的最小值和最大值。根据“垂线段最短”，当BP垂直于AC时，BP取得最小值，可通过三角形面积相等计算该最小值；当点P在AC的端点处时，BP取得最大值，结合AB＜BC的条件，判断出最大值为BC的长度。
【解析】1. 求BP的最小值：根据垂线段最短，当$BP⊥AC$时，BP最短。此时$△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}BC·AD$，也可表示为$\frac{1}{2}AC·BP$，因此有$\frac{1}{2}×6×4=\frac{1}{2}×5×BP$，解得$BP=4.8$，即BP的最小值为4.8。2. 求BP的最大值：因为点P在AC上移动，当P与端点C重合时，$BP=BC=6$；当P与端点A重合时，$BP=AB$，由$AB＜BC$可知$AB＜6$，因此BP的最大值为6。综上，BP长的取值范围是$4.8≤BP≤6$。
【答案】$4.8≤BP≤6$
【知识点】垂线段最短、三角形面积公式、线段长度比较
【点评】本题结合垂线段最短和三角形面积公式求线段最小值，再通过分析端点位置确定最大值，考查几何中线段最值的求解方法，难度适中。
【难度系数】0.6