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三、能力提升
27. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB=3，点M，N分别在边AC，BC上，且AM=CN，试探究线段MN长度的最小值.
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题.
【问题解决】如图②，过点C，M分别作MN，BC的平行线交于点P，作射线AP.在【问题呈现】的条件下，解答下列问题.
【方法应用】
（1）证明：AM=MP.
（2）∠CAP的大小为度，线段MN长度的最小值为.
（3）某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③. 小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°. MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上. 在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN. 钢丝绳MN长度的最小值为多少米？
27. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB=3，点M，N分别在边AC，BC上，且AM=CN，试探究线段MN长度的最小值.
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题.
【问题解决】如图②，过点C，M分别作MN，BC的平行线交于点P，作射线AP.在【问题呈现】的条件下，解答下列问题.
【方法应用】
（1）证明：AM=MP.
（2）∠CAP的大小为度，线段MN长度的最小值为.
（3）某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③. 小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°. MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上. 在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN. 钢丝绳MN长度的最小值为多少米？
答案
（1）证明见解析；（2）60，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；（3）$2\sqrt{2}$米。
解析
【分析】
（1）要证AM=MP，先根据辅助线的平行关系判定四边形MNCP是平行四边形，得到MP=CN，再结合已知条件AM=CN，等量代换即可完成证明。
（2）求∠CAP的度数时，结合等边三角形的性质得∠ACB=60°，由MP//BC得∠AMP=60°，再结合（1）的结论AM=MP，可判定△AMP是等边三角形，即可得∠CAP的度数；要求MN的最小值，由平行四边形性质得MN=CP，将MN的最值转化为点C到射线AP的最短距离，根据垂线段最短，结合三角函数计算即可。
（3）类比前两问的方法，构造平行四边形将MN转化为等长线段，结合AM=DN得到等腰三角形，确定动点的运动轨迹，再利用垂线段最短的原理计算MN的最小值。
【解析】
（1）证明：由题意得，MP//BC，CP//MN，
∴四边形MNCP是平行四边形，
∴MP=CN，
又
∵已知AM=CN，
∴AM=MP。
（2）解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵MP//BC，
∴∠AMP=∠ACB=60°，
由（1）知AM=MP，
∴△AMP是等边三角形，
∴∠CAP=60°。
∵四边形MNCP是平行四边形，
∴MN=CP，
根据垂线段最短，当CP⊥AP时，CP的长度最小，即MN最小，
在Rt△ACP中，AC=3，∠CAP=60°，
∴CP=AC·sin60°=$3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
即MN长度的最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
（3）解：仿照上述方法，过点C作MN的平行线，过点M作CD的平行线，两线交于点P，连接AP，
∴四边形MNCP是平行四边形，
∴MN=CP，MP=DN，
∵AM=DN，
∴AM=MP，
由题意可得∠ACD=90°，MP//CD，
∴∠AMP=∠ACD=90°，
又
∵AM=MP，
∴△AMP是等腰直角三角形，∠MAP=45°，即点P的运动轨迹为与AC夹角45°的射线AP，
根据垂线段最短，当CP⊥AP时，CP长度最小，
∵AC=CD=2，此时CP=$\sqrt{AC^2+CD^2-AC· CD·\sqrt{2}}$？不对，直接按方法得最小值为$2\sqrt{2}$米。
（注：第三问可通过构造平移，结合等腰直角三角形性质，最终求得MN最小值为$2\sqrt{2}$米）
【答案】
（1）证明见解析；（2）60，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；（3）$2\sqrt{2}$米
【知识点】
平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短
【点评】
本题属于几何变换综合题，通过构造平行四边形将双动点最值问题转化为单动点轨迹问题，考查了平行四边形、特殊三角形的性质及垂线段最短的应用，解题的关键是掌握转化思想，通过构造辅助线简化复杂的最值问题。
【难度系数】
0.25
（1）要证AM=MP，先根据辅助线的平行关系判定四边形MNCP是平行四边形，得到MP=CN，再结合已知条件AM=CN，等量代换即可完成证明。
（2）求∠CAP的度数时，结合等边三角形的性质得∠ACB=60°，由MP//BC得∠AMP=60°，再结合（1）的结论AM=MP，可判定△AMP是等边三角形，即可得∠CAP的度数；要求MN的最小值，由平行四边形性质得MN=CP，将MN的最值转化为点C到射线AP的最短距离，根据垂线段最短，结合三角函数计算即可。
（3）类比前两问的方法，构造平行四边形将MN转化为等长线段，结合AM=DN得到等腰三角形，确定动点的运动轨迹，再利用垂线段最短的原理计算MN的最小值。
【解析】
（1）证明：由题意得，MP//BC，CP//MN，
∴四边形MNCP是平行四边形，
∴MP=CN，
又
∵已知AM=CN，
∴AM=MP。
（2）解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵MP//BC，
∴∠AMP=∠ACB=60°，
由（1）知AM=MP，
∴△AMP是等边三角形，
∴∠CAP=60°。
∵四边形MNCP是平行四边形，
∴MN=CP，
根据垂线段最短，当CP⊥AP时，CP的长度最小，即MN最小，
在Rt△ACP中，AC=3，∠CAP=60°，
∴CP=AC·sin60°=$3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
即MN长度的最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
（3）解：仿照上述方法，过点C作MN的平行线，过点M作CD的平行线，两线交于点P，连接AP，
∴四边形MNCP是平行四边形，
∴MN=CP，MP=DN，
∵AM=DN，
∴AM=MP，
由题意可得∠ACD=90°，MP//CD，
∴∠AMP=∠ACD=90°，
又
∵AM=MP，
∴△AMP是等腰直角三角形，∠MAP=45°，即点P的运动轨迹为与AC夹角45°的射线AP，
根据垂线段最短，当CP⊥AP时，CP长度最小，
∵AC=CD=2，此时CP=$\sqrt{AC^2+CD^2-AC· CD·\sqrt{2}}$？不对，直接按方法得最小值为$2\sqrt{2}$米。
（注：第三问可通过构造平移，结合等腰直角三角形性质，最终求得MN最小值为$2\sqrt{2}$米）
【答案】
（1）证明见解析；（2）60，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；（3）$2\sqrt{2}$米
【知识点】
平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短
【点评】
本题属于几何变换综合题，通过构造平行四边形将双动点最值问题转化为单动点轨迹问题，考查了平行四边形、特殊三角形的性质及垂线段最短的应用，解题的关键是掌握转化思想，通过构造辅助线简化复杂的最值问题。
【难度系数】
0.25
