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15. (★★★)为更好地推进生活垃圾分类工作,改善城市生态环境.某小区准备购买A,B两种型号的垃圾箱,通过市场调研得知:购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元;购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元.
(1)每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元?
(2)该小区物业计划用不多于2 100元的资金购买A,B两种型号的垃圾箱共20个(两种都需要购买),则该小区最多可以购买B型垃圾箱多少个?有几种购货方案?
(1)每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元?
(2)该小区物业计划用不多于2 100元的资金购买A,B两种型号的垃圾箱共20个(两种都需要购买),则该小区最多可以购买B型垃圾箱多少个?有几种购货方案?
答案
解：
(1)设每个A型垃圾箱$x$元，每个B型垃圾箱$y$元，根据题意得：
$\begin{cases}3x + 2y = 540 \\ 3y - 2x = 160\end{cases}$
解这个方程组：
由$3x + 2y = 540$得$x = \frac{540 - 2y}{3}$，代入$3y - 2x = 160$，
$3y - 2×\frac{540 - 2y}{3} = 160$，
两边同乘3得：$9y - 1080 + 4y = 480$，
$13y = 1560$，解得$y = 120$，
将$y = 120$代入$x = \frac{540 - 2y}{3}$，得$x = 100$。
答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元。
(2)设购买B型垃圾箱$m$个，则购买A型垃圾箱$(20 - m)$个，根据题意得：
$100(20 - m) + 120m ≤ 2100$，
化简得：$2000 + 20m ≤ 2100$，
$20m ≤ 100$，解得$m ≤ 5$。
因为两种垃圾箱都需要购买，所以$m ≥1$，且$m$为正整数，
故$m$可取1、2、3、4、5，共5种。
答：该小区最多可以购买B型垃圾箱5个，有5种购货方案。
(1)设每个A型垃圾箱$x$元，每个B型垃圾箱$y$元，根据题意得：
$\begin{cases}3x + 2y = 540 \\ 3y - 2x = 160\end{cases}$
解这个方程组：
由$3x + 2y = 540$得$x = \frac{540 - 2y}{3}$，代入$3y - 2x = 160$，
$3y - 2×\frac{540 - 2y}{3} = 160$，
两边同乘3得：$9y - 1080 + 4y = 480$，
$13y = 1560$，解得$y = 120$，
将$y = 120$代入$x = \frac{540 - 2y}{3}$，得$x = 100$。
答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元。
(2)设购买B型垃圾箱$m$个，则购买A型垃圾箱$(20 - m)$个，根据题意得：
$100(20 - m) + 120m ≤ 2100$，
化简得：$2000 + 20m ≤ 2100$，
$20m ≤ 100$，解得$m ≤ 5$。
因为两种垃圾箱都需要购买，所以$m ≥1$，且$m$为正整数，
故$m$可取1、2、3、4、5，共5种。
答：该小区最多可以购买B型垃圾箱5个，有5种购货方案。
有个蛋糕店的天平坏了，天平的两臂长度不相等.店主怕别人说他缺斤短两，于是他想出了一个他认为很公平的称蛋糕的办法.
他把一些糕点放在右边的托盘中，在左边的托盘里加砝码，称出一个斤两数；然后，再把这些糕点放在左边的托盘中，在右边的托盘里加砝码，也称出一个斤两数；最后把两个数相加除以2，作为糕点的真实质量向顾客收钱(不考虑游码).用这个办法，店主认为他买卖公平、童叟无欺.
后来，有个顾客想出了一个新办法.
他说：“要买2斤糕点，先把1斤重的砝码放在左边托盘，在右边托盘不断加糕点，直到天平平衡为止；然后，再在右边托盘放好1斤重的砝码，在左边托盘中不断加糕点，也使天平平衡；最后，把两次称得的糕点放在一起，按照2斤收钱即可.”
聪明的同学，你觉得老板真的是童叟无欺吗？顾客的办法公平吗？
主题六
他把一些糕点放在右边的托盘中，在左边的托盘里加砝码，称出一个斤两数；然后，再把这些糕点放在左边的托盘中，在右边的托盘里加砝码，也称出一个斤两数；最后把两个数相加除以2，作为糕点的真实质量向顾客收钱(不考虑游码).用这个办法，店主认为他买卖公平、童叟无欺.
后来，有个顾客想出了一个新办法.
他说：“要买2斤糕点，先把1斤重的砝码放在左边托盘，在右边托盘不断加糕点，直到天平平衡为止；然后，再在右边托盘放好1斤重的砝码，在左边托盘中不断加糕点，也使天平平衡；最后，把两次称得的糕点放在一起，按照2斤收钱即可.”
聪明的同学，你觉得老板真的是童叟无欺吗？顾客的办法公平吗？
主题六
答案
解：设天平左臂长为$ l_1 $，右臂长为$ l_2 $，且$ l_1 ≠ l_2 $，根据杠杆平衡条件（平衡时，物体质量×对应力臂相等）分析：
一、分析店主的办法
设糕点实际质量为$ m $。
1. 第一次：糕点放右盘，左盘砝码质量为$ m_1 $，平衡时：$ m · l_2 = m_1 · l_1 $，得$ m_1 = m · \frac{l_2}{l_1} $；
2. 第二次：糕点放左盘，右盘砝码质量为$ m_2 $，平衡时：$ m · l_1 = m_2 · l_2 $，得$ m_2 = m · \frac{l_1}{l_2} $；
店主计算的“糕点质量”为：
$\frac{m_1 + m_2}{2} = \frac{1}{2}(m · \frac{l_2}{l_1} + m · \frac{l_1}{l_2}) = m · \frac{l_1^2 + l_2^2}{2l_1l_2}$
因为$ l_1 ≠ l_2 $，所以$(l_1 - l_2)^2 ＞ 0$，即$ l_1^2 + l_2^2 ＞ 2l_1l_2 $，故$\frac{l_1^2 + l_2^2}{2l_1l_2} ＞ 1$，因此$\frac{m_1 + m_2}{2} ＞ m$，店主多收顾客钱，老板不是童叟无欺。
二、分析顾客的办法
顾客要2斤糕点，两次称量：
1. 第一次：左盘放1斤砝码，右盘加糕点，平衡时：$1 · l_1 = m_1^{\mathrm{糕}} · l_2$，得$m_1^{\mathrm{糕}} = \frac{l_1}{l_2}$；
2. 第二次：右盘放1斤砝码，左盘加糕点，平衡时：$m_2^{\mathrm{糕}} · l_1 = 1 · l_2$，得$m_2^{\mathrm{糕}} = \frac{l_2}{l_1}$；
两次糕点总质量为：
$m_1^{\mathrm{糕}} + m_2^{\mathrm{糕}} = \frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_1}$
因为$ l_1 ≠ l_2 $，所以$\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_1} ＞ 2$，即顾客得到的糕点超过2斤，顾客的办法不公平。
答：老板不是童叟无欺；顾客的办法不公平。
一、分析店主的办法
设糕点实际质量为$ m $。
1. 第一次：糕点放右盘，左盘砝码质量为$ m_1 $，平衡时：$ m · l_2 = m_1 · l_1 $，得$ m_1 = m · \frac{l_2}{l_1} $；
2. 第二次：糕点放左盘，右盘砝码质量为$ m_2 $，平衡时：$ m · l_1 = m_2 · l_2 $，得$ m_2 = m · \frac{l_1}{l_2} $；
店主计算的“糕点质量”为：
$\frac{m_1 + m_2}{2} = \frac{1}{2}(m · \frac{l_2}{l_1} + m · \frac{l_1}{l_2}) = m · \frac{l_1^2 + l_2^2}{2l_1l_2}$
因为$ l_1 ≠ l_2 $，所以$(l_1 - l_2)^2 ＞ 0$，即$ l_1^2 + l_2^2 ＞ 2l_1l_2 $，故$\frac{l_1^2 + l_2^2}{2l_1l_2} ＞ 1$，因此$\frac{m_1 + m_2}{2} ＞ m$，店主多收顾客钱，老板不是童叟无欺。
二、分析顾客的办法
顾客要2斤糕点，两次称量：
1. 第一次：左盘放1斤砝码，右盘加糕点，平衡时：$1 · l_1 = m_1^{\mathrm{糕}} · l_2$，得$m_1^{\mathrm{糕}} = \frac{l_1}{l_2}$；
2. 第二次：右盘放1斤砝码，左盘加糕点，平衡时：$m_2^{\mathrm{糕}} · l_1 = 1 · l_2$，得$m_2^{\mathrm{糕}} = \frac{l_2}{l_1}$；
两次糕点总质量为：
$m_1^{\mathrm{糕}} + m_2^{\mathrm{糕}} = \frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_1}$
因为$ l_1 ≠ l_2 $，所以$\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_1} ＞ 2$，即顾客得到的糕点超过2斤，顾客的办法不公平。
答：老板不是童叟无欺；顾客的办法不公平。
