12. 解关于 $ x $ 的方程：
(1) $ 7^{3x - 2} · 3^{3x - 2} = 21^{2x + 4} $；
(2) $ 9^{x + 1} - 3^{2x} = 72 $；
(3) $ 2^{x + 2} + 2^{x + 1} = 24 $。

$x=6$；$x=1$；$x=2$

(1) 根据积的乘方逆运算：$7^{3x-2}·3^{3x-2}=(7×3)^{3x-2}=21^{3x-2}$，原方程化为$21^{3x-2}=21^{2x+4}$。因为底数21＞0且≠1，所以指数相等，即$3x-2=2x+4$，解得$x=6$。
(2) 因为$9=3^2$，所以$9^{x+1}=(3^2)^{x+1}=3^{2(x+1)}=3^{2x+2}=9×3^{2x}$，原方程化为$9×3^{2x}-3^{2x}=72$，合并同类项得$8×3^{2x}=72$，两边同除以8得$3^{2x}=9=3^2$，所以指数相等：$2x=2$，解得$x=1$。
(3) 根据同底数幂乘法法则：$2^{x+2}=2^x·2^2=4×2^x$，$2^{x+1}=2^x·2^1=2×2^x$，原方程化为$4×2^x +2×2^x=24$，合并同类项得$6×2^x=24$，两边同除以6得$2^x=4=2^2$，所以指数相等：$x=2$。

13. 已知 $ n $ 是正整数，且 $ x^{3n}=2 $，求 $ (3x^{3n})^2 + (-2x^{2n})^3 $ 的值.

4

先化简所求式子，再代入已知条件计算：
1. 计算$(3x^{3n})^2$：根据积的乘方运算法则$(ab)^m=a^m b^m$，得$3^2 · (x^{3n})^2 =9(x^{3n})^2$。已知$x^{3n}=2$，代入得$9×2^2=9×4=36$。
2. 计算$(-2x^{2n})^3$：根据积的乘方运算法则，得$(-2)^3 · (x^{2n})^3 = -8 · x^{6n}$。由幂的乘方性质，$x^{6n}=(x^{3n})^2$，代入$x^{3n}=2$，得$-8×2^2=-8×4=-32$。
3. 求和：$36 + (-32)=4$。

14. 阅读材料：
求$1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{2023}$的值.
解:设$S=1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{2022}+2^{2023}$ ①.
等式两边同时乘2,得
$2S=2+2^2+2^3+2^4+2^5+\dots+2^{2023}+2^{2024}$ ②.
②$-$①,得$2S-S=2^{2024}-1$,
即$S=2^{2024}-1$,
即$1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{2023}=2^{2024}-1$.
请你仿照此方法计算:
(1) $1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{10}$；
(2) $1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n$(其中$n$为正整数).

(1) $ 2^{11} - 1 $；
(2) $ \frac{3^{n+1} - 1}{2} $

(1) 设$ S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{10} $ ①，
等式两边同时乘2，得$ 2S = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{10} + 2^{11} $ ②，
② - ①，得$ 2S - S = 2^{11} - 1 $，即$ S = 2^{11} - 1 $。
(2) 设$ S = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^n $ ①，
等式两边同时乘3，得$ 3S = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^n + 3^{n+1} $ ②，
② - ①，得$ 3S - S = 3^{n+1} - 1 $，即$ 2S = 3^{n+1} - 1 $，所以$ S = \frac{3^{n+1} - 1}{2} $。