1. 下列运算中正确的是 （）

A.$(a^{2})^{3}=a^{5}$
B.$a^{2}· a^{3}=a^{5}$
C.$(-2a)^{3}=-2a^{3}$
D.$a^{5}+a^{5}=2a^{10}$

B

根据幂的运算法则逐一判断：A选项，幂的乘方，指数相乘，$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠a^5$，错误；B选项，同底数幂相乘，指数相加，$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5$，正确；C选项，积的乘方，$(-2a)^3=(-2)^3a^3=-8a^3≠-2a^3$，错误；D选项，合并同类项，$a^5+a^5=2a^5≠2a^{10}$，错误。

2. 已知 $ 3^m = 9^n $，则 $ m,n $ 满足的关系是
（）

A.$ m=2n $
B.$ m=3n $
C.$ 2m=n $
D.$ 3m=n $

A

根据幂的乘方法则，$9^n=(3^2)^n=3^{2n}$，已知$3^m=9^n$，则$3^m=3^{2n}$，因为底数相同的幂相等时，指数相等，所以$m=2n$。

3. 若$2· 2^{m}· 2^{3m+1}=2^{10}$，则$m$的值为
（）

A.1
B.2
C.3
D.4

B

根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。左边式子的指数和为1 + m + (3m +1) = 4m +2，等式两边底数相同，故指数相等，得方程4m +2 =10，解得m=2。

4. 计算：$-x^2 · x = \_\_\_\_\_\_$；
$(-a^3)^2 + (2a^2)^3 = \_\_\_\_\_\_$。

$-x^3$；$9a^6$

1. 计算$-x^2·x$：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$x^2·x=x^{2+1}=x^3$，因此$-x^2·x=-x^3$；2. 计算$(-a^3)^2 + (2a^2)^3$：根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$、积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，先算乘方：$(-a^3)^2=(-1)^2·(a^3)^2=a^6$，$(2a^2)^3=2^3·(a^2)^3=8a^6$，再合并同类项：$a^6 +8a^6=9a^6$。

5. $x^3 = -a^{12}b^6$,则$x=\underline{\hspace{5cm}}$.

$-a^4b^2$

根据立方根的定义，若$x^3 = N$，则$x$是$N$的立方根。先将等式右边变形：$-a^{12}b^6 = - (a^4)^3 · (b^2)^3 = - (a^4b^2)^3$，因此$x$是$-a^4b^2$。

6. 已知 $ x + 3y - 3 = 0 $，则 $ 2^x · 8^y = \_\_\_\_\_\_ $.

8

先将$8^y$变形，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，得$8^y=(2^3)^y=2^{3y}$；再根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，则$2^x·8^y=2^x·2^{3y}=2^{x+3y}$。由已知$x+3y-3=0$，可得$x+3y=3$，代入得$2^3=8$。

7. 若$ 2^{n} + 2^{n} + 2^{n} + 2^{n} = 64 $，则$ n = \_\_\_\_\_\_ $。

4

首先，对等式左边的同类项进行合并：$2^n + 2^n + 2^n + 2^n = 4×2^n$。因为$4 = 2^2$，所以等式可转化为$2^2×2^n = 64$。根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$2^{n+2} = 64$。又因为$64 = 2^6$，所以$n + 2 = 6$，解得$n = 4$。

8. 计算：$(-\dfrac{2}{3})^{2025} × (-\dfrac{3}{2})^{2026} =$ .

$-\dfrac{3}{2}$

将指数2026拆分为2025+1，原式变形为$(-\frac{2}{3})^{2025}×(-\frac{3}{2})^{2025}×(-\frac{3}{2})$；根据积的乘方逆运算，可得$[(-\frac{2}{3})×(-\frac{3}{2})]^{2025}×(-\frac{3}{2})$；计算得$1^{2025}×(-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{2}$。

9. 计算:
(1) $(-a^{2})^{3} · (-a^{5})^{4}$；
(2) $-a · a^{5} - (a^{2})^{3} - (-2a^{3})^{2}$；
(3) $0.125^{9} × (-8)^{10} + (\dfrac{2}{5})^{11} × (2\dfrac{1}{2})^{12}$。

(1) $-a^{26}$；(2) $-6a^6$；(3) $\frac{21}{2}$

(1) 根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，计算得：$(-a^2)^3=-a^{2×3}=-a^6$，$(-a^5)^4=a^{5×4}=a^{20}$；再根据同底数幂乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$，得：$-a^6·a^{20}=-a^{6+20}=-a^{26}$。
(2) 分别计算各项：根据同底数幂乘法，$-a·a^5=-a^{1+5}=-a^6$；根据幂的乘方，$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$；根据积的乘方，$(-2a^3)^2=(-2)^2·(a^3)^2=4a^6$；合并同类项：$-a^6 -a^6 -4a^6=(-1-1-4)a^6=-6a^6$。
(3) 利用积的乘方逆运算：$(ab)^n=a^nb^n$，变形计算：$0.125^9×(-8)^{10}=(\frac{1}{8})^9×(-8)^9×(-8)=[(\frac{1}{8})×(-8)]^9×(-8)=(-1)^9×(-8)=8$；$(\frac{2}{5})^{11}×(2\frac{1}{2})^{12}=(\frac{2}{5})^{11}×(\frac{5}{2})^{11}×\frac{5}{2}=[(\frac{2}{5})×(\frac{5}{2})]^{11}×\frac{5}{2}=1^{11}×\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$；相加得：$8+\frac{5}{2}=\frac{21}{2}$。

10.（1）已知$3^{m}=7,3^{n}=2$，求$3^{2+m+n}$的值；
（2）已知$4×2^{2x}×2^{3x}=2^{17}$，求$x$的值.

（1）126；（2）3

（1）根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^{m+n}=a^m · a^n$，可得$3^{2+m+n}=3^2 · 3^m · 3^n$。将$3^m=7$，$3^n=2$，$3^2=9$代入，计算得$9×7×2=126$。（2）先把左边的$4$转化为$2^2$，再根据同底数幂的乘法法则，左边可化为$2^2 · 2^{2x} · 2^{3x}=2^{2+2x+3x}=2^{2+5x}$。因为等式两边底数相同，所以指数相等，即$2+5x=17$，解方程得$5x=15$，$x=3$。

11. 若$a=2^{55},b=3^{44},c=4^{33}$，试比较$a,b,c$的大小.

$b＞c＞a$

要比较$a=2^{55},b=3^{44},c=4^{33}$的大小，可利用幂的乘方的逆运算，将三个数转化为指数相同的幂，再比较底数大小。
步骤如下：
1. 对$a$变形：$a=2^{55}=(2^5)^{11}=32^{11}$；
2. 对$b$变形：$b=3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$；
3. 对$c$变形：$c=4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$；
因为指数相同（均为11），且$81＞64＞32$，所以$81^{11}＞64^{11}＞32^{11}$，即$b＞c＞a$。