13. 如图,在$△ ABC$中,点 D 在 AB 上,过点 D 作$DE// BC$,交 AC 于点 E,DP 平分$∠ ADE$,交$∠ ACB$的平分线于点 P,CP 与 DE 相交于点 G,$∠ ACF$的平分线 CQ 与 DP 相交于点 Q.
(1) 若$∠ A=50°,∠ B=60°$,则$∠ DPC=$ $\_\_\_\_\_\_°,∠ Q=\_\_\_\_\_\_°.$
(2) 若$∠ A=50°$,当$∠ B$的度数发生变化时,$∠ DPC,∠ Q$的度数是否发生变化?请说明理由.
(3) 若$△ PCQ$中存在一个内角等于另一个内角的 3 倍,请直接写出所有符合条件的$∠ A$的度数.

（1）65，25；
（2）度数不变，理由见解析；
（3）$45°$，$60°$，$120°$，$135°$

（1）在$△ ABC$中，$∠ A=50°$，$∠ B=60°$，由三角形内角和得$∠ ACB=180°-50°-60°=70°$。
$\because DE// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ B=60°$，$∠ ACF=180°-∠ ACB=110°$。
$\because DP$平分$∠ ADE$，$CP$平分$∠ ACB$，$CQ$平分$∠ ACF$，
$\therefore ∠ PDE=\frac{1}{2}∠ ADE=30°$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB=35°$，$∠ QCF=\frac{1}{2}∠ ACF=55°$，
$\therefore ∠ PCQ=∠ PCB+∠ QCF=35°+55°=90°$，
$\therefore ∠ DPC=∠ PDE+∠ PCB=30°+35°=65°$，
在$△ PCQ$中，$∠ Q=180°-∠ PCQ-∠ DPC=180°-90°-65°=25°$。
（2）$∠ DPC$和$∠ Q$的度数不变，理由如下：
$\because DE// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ B$，$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B$，
$\because DP$平分$∠ ADE$，$CP$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ PDE=\frac{1}{2}∠ ADE=\frac{1}{2}∠ B$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ A-∠ B)$，
$\therefore ∠ DPC=∠ PDE+∠ PCB=\frac{1}{2}∠ B+\frac{1}{2}(180°-∠ A-∠ B)=\frac{1}{2}(180°-∠ A)$，
$\because ∠ A=50°$，$\therefore ∠ DPC=\frac{1}{2}(180°-50°)=65°$（固定）；
又$\because ∠ QCF=\frac{1}{2}∠ ACF=\frac{1}{2}(180°-∠ ACB)=\frac{1}{2}(∠ A+∠ B)$，
$\therefore ∠ PCQ=∠ PCB+∠ QCF=\frac{1}{2}∠ ACB+\frac{1}{2}(∠ A+∠ B)=90°$，
$\therefore ∠ Q=180°-∠ PCQ-∠ DPC=\frac{1}{2}∠ A=25°$（固定），故度数不变。
（3）设$∠ A=x°$，则$△ PCQ$中，$∠ PCQ=90°$，$∠ Q=\frac{1}{2}x$，$∠ CPQ=\frac{1}{2}(180°-x)$，
分情况：①$90°=3×\frac{1}{2}x$，得$x=60°$；②$90°=3×\frac{1}{2}(180°-x)$，得$x=120°$；③$\frac{1}{2}x=3×\frac{1}{2}(180°-x)$，得$x=135°$；④$\frac{1}{2}(180°-x)=3×\frac{1}{2}x$，得$x=45°$，均符合条件。

14. 如图,在四边形 ABCD 中,BE 和 DF 分别平分四边形的外角∠MBC 和∠NDC,BE 与 DF 相交于点 G,若∠BAD=α,∠BCD=β.
(1) 如图 1,若α+β=168°,求∠MBC+∠NDC 的度数;
(2) 如图 1,若∠BGD=35°,试猜想α,β所满足的数量关系式,并说明理由;
(3) 如图 2,若α=β,判断 BE,DF 的位置关系,并说明理由.

（1）168°；（2）β - α = 70°；（3）BE与DF平行。

（1）根据四边形内角和为360°，得∠ABC + ∠ADC = 360° - (∠BAD + ∠BCD) = 360° - (α + β)。
因为∠MBC是∠ABC的邻补角，∠NDC是∠ADC的邻补角，所以∠MBC = 180° - ∠ABC，∠NDC = 180° - ∠ADC，
故∠MBC + ∠NDC = (180° - ∠ABC) + (180° - ∠ADC) = 360° - (∠ABC + ∠ADC) = 360° - [360° - (α + β)] = α + β。
已知α + β = 168°，因此∠MBC + ∠NDC = 168°。
（2）猜想：β - α = 70°。理由：连接BD，在△ABD中，∠ABD + ∠ADB = 180° - α；在△BCD中，∠CBD + ∠CDB = 180° - β，
所以∠ABC + ∠ADC = (∠ABD + ∠CBD) + (∠ADB + ∠CDB) = (180° - α) + (180° - β) = 360° - α - β。
由（1）知∠MBC + ∠NDC = α + β，因为BE平分∠MBC，DF平分∠NDC，所以∠EBG = 1/2∠MBC，∠FDG = 1/2∠NDC，
故∠EBG + ∠FDG = 1/2(∠MBC + ∠NDC) = 1/2(α + β)。
在△BGD中，结合角平分线性质推导得∠BGD = (β - α)/2，代入∠BGD = 35°，得35° = (β - α)/2，即β - α = 70°。
（3）BE//DF。理由：由（1）知∠MBC + ∠NDC = α + β，因为α = β，所以∠MBC + ∠NDC = 2α。
又BE平分∠MBC，DF平分∠NDC，所以∠MBE = 1/2∠MBC，∠NDF = 1/2∠NDC，故∠MBE + ∠NDF = 1/2(∠MBC + ∠NDC) = α。
延长BE交DN于点H，则∠BHD = ∠MBE（同位角相等），而∠NDF = α，所以∠BHD = ∠NDF，根据“同位角相等，两直线平行”，可得BE//DF。