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18. 如图①，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O按顺时针方向以每秒4°的速度转动，同时射线OB绕点O按逆时针方向以每秒6°的速度转动，直线MN保持不动，如图②，设转动时间为t s(0≤t≤60).
(1)当t=3时，求∠AOB的度数；
(2)在转动过程中，当∠AOB第二次达到80°时，求t的值；
(3)在转动过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由.
(1)当t=3时，求∠AOB的度数；
(2)在转动过程中，当∠AOB第二次达到80°时，求t的值；
(3)在转动过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由.
答案
18. (1) $∠ AOB = 150°$.
(2)26
(3)当$0≤ t≤ 18$时，$180 -4t -6t =90$,
解得$t=9$，当$18≤ t≤ 60$时，
$4t +6t =180 +90$ 或 $4t +6t =180 +270$,
解得$t=27$ 或 $t=45$.
(2)26
(3)当$0≤ t≤ 18$时，$180 -4t -6t =90$,
解得$t=9$，当$18≤ t≤ 60$时，
$4t +6t =180 +90$ 或 $4t +6t =180 +270$,
解得$t=27$ 或 $t=45$.
解析
【分析】
这是动态角度计算问题，解题思路如下：首先明确初始状态∠AOB为平角180°，射线OA顺时针转速4°/s，OB逆时针转速6°/s，二者相对转动的速度和为10°/s。(1)小问先计算t=3s时两条射线各自转动的角度，用初始平角减去二者转过的角度和即可得到∠AOB的度数；(2)小问∠AOB第二次达到80°，说明两条射线相遇后继续转动，累计转过的总角度比平角多80°，用总转过角度除以速度和即可求t；(3)小问射线垂直即夹角为90°，需结合转动阶段分类讨论：相遇前夹角90°、相遇后第一次夹角90°、继续转动后反向夹角90°，分别列方程求解后验证t在0≤t≤60范围内即可。
【解析】
(1) 初始时点A、O、B在同一直线MN上，$∠ AOB=180°$。
当$t=3$时，OA顺时针转过的角度为$4° × 3=12°$，OB逆时针转过的角度为$6° × 3=18°$。
此时$∠ AOB = 180° - 12° - 18° = 150°$。
(2) 当$∠ AOB$第二次达到$80°$时，两条射线已经相遇过一次，累计转过的总角度为$180° + 80° = 260°$。
两条射线每秒共转过$4° + 6° = 10°$，因此列方程：
$(4+6)t = 180 + 80$
$10t = 260$
解得$t=26$。
(3) 存在这样的$t$，分情况讨论：
① 当$0 \le t \le 18$（两条射线未相遇），夹角为$90°$时：
$180 - 4t - 6t = 90$
$10t = 90$
解得$t=9$，符合取值范围；
② 当$18 ＜ t \le 60$（两条射线已相遇），第一次夹角为$90°$时，二者累计转过的角度比平角多$90°$：
$4t + 6t = 180 + 90$
$10t = 270$
解得$t=27$，符合取值范围；
③ 当$18 ＜ t \le 60$，第二次反向夹角为$90°$时，二者累计转过的角度比平角多$270°$：
$4t + 6t = 180 + 270$
$10t = 450$
解得$t=45$，符合取值范围。
综上，$t$的值为9、27或45。
【答案】
(1) $∠ AOB=150°$；(2) $t=26$；(3) 存在，$t$的值为9、27或45
【知识点】
动态角计算、一元一次方程应用、分类讨论思想
【点评】
本题是动态角度问题的典型题型，解题关键是抓住射线转动的速度和方向，结合运动过程中角度的变化规律分类讨论，求解后要注意验证解是否符合给定的时间范围，避免出现增解或漏解的情况。
【难度系数】
0.6
这是动态角度计算问题，解题思路如下：首先明确初始状态∠AOB为平角180°，射线OA顺时针转速4°/s，OB逆时针转速6°/s，二者相对转动的速度和为10°/s。(1)小问先计算t=3s时两条射线各自转动的角度，用初始平角减去二者转过的角度和即可得到∠AOB的度数；(2)小问∠AOB第二次达到80°，说明两条射线相遇后继续转动，累计转过的总角度比平角多80°，用总转过角度除以速度和即可求t；(3)小问射线垂直即夹角为90°，需结合转动阶段分类讨论：相遇前夹角90°、相遇后第一次夹角90°、继续转动后反向夹角90°，分别列方程求解后验证t在0≤t≤60范围内即可。
【解析】
(1) 初始时点A、O、B在同一直线MN上，$∠ AOB=180°$。
当$t=3$时，OA顺时针转过的角度为$4° × 3=12°$，OB逆时针转过的角度为$6° × 3=18°$。
此时$∠ AOB = 180° - 12° - 18° = 150°$。
(2) 当$∠ AOB$第二次达到$80°$时，两条射线已经相遇过一次，累计转过的总角度为$180° + 80° = 260°$。
两条射线每秒共转过$4° + 6° = 10°$，因此列方程：
$(4+6)t = 180 + 80$
$10t = 260$
解得$t=26$。
(3) 存在这样的$t$，分情况讨论：
① 当$0 \le t \le 18$（两条射线未相遇），夹角为$90°$时：
$180 - 4t - 6t = 90$
$10t = 90$
解得$t=9$，符合取值范围；
② 当$18 ＜ t \le 60$（两条射线已相遇），第一次夹角为$90°$时，二者累计转过的角度比平角多$90°$：
$4t + 6t = 180 + 90$
$10t = 270$
解得$t=27$，符合取值范围；
③ 当$18 ＜ t \le 60$，第二次反向夹角为$90°$时，二者累计转过的角度比平角多$270°$：
$4t + 6t = 180 + 270$
$10t = 450$
解得$t=45$，符合取值范围。
综上，$t$的值为9、27或45。
【答案】
(1) $∠ AOB=150°$；(2) $t=26$；(3) 存在，$t$的值为9、27或45
【知识点】
动态角计算、一元一次方程应用、分类讨论思想
【点评】
本题是动态角度问题的典型题型，解题关键是抓住射线转动的速度和方向，结合运动过程中角度的变化规律分类讨论，求解后要注意验证解是否符合给定的时间范围，避免出现增解或漏解的情况。
【难度系数】
0.6
