1. 如图,等腰三角形$ABC$的底边$BC=10\ \mathrm{cm}$,$D$是腰$AB$上一点,且$CD=8\ \mathrm{cm}$,$BD=6\ \mathrm{cm}$.
(1)求证:$△ BDC$是直角三角形;
(2)求$AC$的长.

(1) 证明:$\because BD^{2}+DC^{2}=6^{2}+8^{2}=100,BC^{2}=10^{2}=100$,
$\therefore BD^{2}+DC^{2}=BC^{2}$,
$\therefore △ BDC$是直角三角形,且$∠ BDC=90°$.
(2) 解:$\because ∠ BDC=90°,\therefore ∠ ADC=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,由勾股定理,
得$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$,设$AD=x\ \mathrm{cm}$,
$\because CD=8\ \mathrm{cm},BD=6\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AB=AC=AD+BD=(x+6)\mathrm{cm}$,
$\therefore x^{2}+8^{2}=(x+6)^{2}$,解得$x=\frac{7}{3}$,$\therefore AC=\frac{7}{3}+6=\frac{25}{3}(\mathrm{cm})$.
即$AC$的长为$\frac{25}{3}\ \mathrm{cm}$.

2. 如图,将长方形纸片 $ABCD$ 折叠,点 $D$ 落在 $BC$ 边上的点 $F$ 处,已知 $AB=CD=8\ \mathrm{cm},BC=AD=$$10\ \mathrm{cm}$,求 $EC$ 的长.

解:根据题意,得$BC=AD=AF=10\ \mathrm{cm},DE=EF$.
$\because$在$△ ABF$中,$∠ ABF=90°,AB=8\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BF^{2}=AF^{2}-AB^{2}$,
$\therefore BF=6\ \mathrm{cm},\therefore FC=10-6=4(\mathrm{cm})$.
设$EC=x\ \mathrm{cm}$,则$EF=DE=(8-x)\mathrm{cm}$.
在$△ ECF$中,$\because ∠ C=90°,\therefore EC^{2}+FC^{2}=EF^{2}$,
即$x^{2}+4^{2}=(8-x)^{2}$,解得$x=3$,$\therefore EC=3\ \mathrm{cm}$.

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$D$为$AB$的中点,点$E,F$分别在$AC,BC$上,且$DE⊥ DF$.
求证:$AE^2+BF^2=EF^2$.

证明:过点$A$作$AM// BC$,交$FD$的延长线于点$M$,连接$EM$,如答图.
$\because AM// BC,\therefore ∠ MAE=180°-∠ ACB=90°,∠ MAD=∠ B$.
$\because D$为$AB$的中点,$\therefore AD=BD$,又$∠ ADM=∠ BDF$,
$\therefore △ ADM≌ △ BDF,\therefore AM=BF,MD=DF$.
又$DE⊥ DF,\therefore EF=EM$,
$\therefore AE^{2}+BF^{2}=AE^{2}+AM^{2}=EM^{2}=EF^{2}$.