8. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AB=5\ \mathrm{cm},AC=3\ \mathrm{cm}$,动点$P$从点$B$出发,沿射线$BC$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动. 设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$,当$t=$时,$△ ABP$为直角三角形.

8.2或$\dfrac{25}{8}$

9. 在$△ ABC$中，$AB=15$，$AC=13$，高$AD=12$，则$BC$的长为.

9.14或4

10. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $∠ BAD=∠ DCB=90°$,$E,F$ 分别是 $BD,AC$ 的中点, $∠ ADC=120°$,$EF=1$, 则 $AF=$.

10.$\sqrt{3}$

11. 如图,$AD$是$△ ABC$的中线,$DE ⊥ AC$于点$E$,$DF$是$△ ABD$的中线,且$CE=2$,$DE=4$,$AE=8$. 求$DF$的长.

11.解:$\because DE ⊥ AC$于点 E,$\therefore ∠ AED=∠ CED=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理,得$AD^2=AE^2+DE^2=$
$8^2+4^2=80$. 同理$CD^2=20$,$\therefore AD^2+CD^2=100$.
$\because AC=AE+CE=8+2=10$,
$\therefore AC^2=100$,$\therefore AD^2+CD^2=AC^2$,$\therefore △ ADC$是直角三
角形,$∠ ADC=90°$,$\therefore AD ⊥ BC$.
又$\because AD$是$△ ABC$的中线,$\therefore AD$垂直平分$BC$,$\therefore AB=$
$AC=10$. 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$\because ∠ ADB=90°$,$F$ 是边 $AB$ 的
中点,$\therefore DF=\dfrac{1}{2}AB=5$.

12. 在$△ ABC$中,$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$,若$∠ C=90°$,如图①,根据勾股定理,则$a^2+b^2=c^2$.若$△ ABC$不是直角三角形,如图②和图③,请你类比勾股定理,试猜想$a^2+b^2$与$c^2$的关系,并证明你的结论.

12.解:若$△ ABC$是锐角三角形,则有$a^2+b^2＞c^2$;若$△ ABC$
是钝角三角形,$∠ C$为钝角,则有$a^2+b^2＜c^2$.
证明:当$△ ABC$是锐角三角形时,如答图①,过点 $A$ 作
$AD ⊥ BC$,垂足为 $D$,设$CD=x$,则$BD=a-x$. 由勾股
定理,得$b^2-x^2=AD^2=c^2-(a-x)^2$,即$b^2-x^2=c^2-a^2+$
$2ax-x^2$,$\therefore a^2+b^2=c^2+2ax$.$\because a＞0$,$x＞0$,$\therefore 2ax＞0$,
$\therefore a^2+b^2＞c^2$. 当$△ ABC$是钝角三角形时,如答图②,过点
$B$ 作$BD ⊥ AC$,交 $AC$ 的延长线于点 $D$. 设$CD=x$,则
$BD^2=a^2-x^2$. 由勾股定理,得$(b+x)^2+a^2-x^2=c^2$,即
$a^2+b^2+2bx=c^2$.$\because b＞0$,$x＞0$,$\therefore 2bx＞0$,$\therefore a^2+b^2＜c^2$.