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11. 如图2-5-3，A，B两点被池塘（阴影部分）隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC，BC的中点M，N。若测得MN=20 m，则A，B两点间的距离是
40
m，理由是三角形的中位线等于第三边的一半
。答案
11. 40；三角形的中位线等于第三边的一半
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：M、N分别是AC、BC的中点，结合三角形中位线的定义，可判断MN是△ABC的中位线。再回忆三角形中位线的性质：中位线的长度等于第三边的一半，因此已知MN的长度，将MN的长度乘2即可求出A、B两点的距离。
【解析】
解：
∵ M是AC的中点，N是BC的中点
∴ MN是△ABC的中位线
根据三角形中位线的性质可得：$\boldsymbol{MN=\frac{1}{2}AB}$
已知$MN=20\ \mathrm{m}$
∴ $AB=2MN=2×20=40\ \mathrm{m}$
对应的依据为三角形的中位线等于第三边的一半。
【答案】
40；三角形的中位线等于第三边的一半
【知识点】
三角形中位线定义；三角形中位线性质
【点评】
本题是基础应用题，解题核心是结合中点条件识别出三角形中位线，再运用中位线的性质计算即可，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理已知条件：M、N分别是AC、BC的中点，结合三角形中位线的定义，可判断MN是△ABC的中位线。再回忆三角形中位线的性质：中位线的长度等于第三边的一半，因此已知MN的长度，将MN的长度乘2即可求出A、B两点的距离。
【解析】
解：
∵ M是AC的中点，N是BC的中点
∴ MN是△ABC的中位线
根据三角形中位线的性质可得：$\boldsymbol{MN=\frac{1}{2}AB}$
已知$MN=20\ \mathrm{m}$
∴ $AB=2MN=2×20=40\ \mathrm{m}$
对应的依据为三角形的中位线等于第三边的一半。
【答案】
40；三角形的中位线等于第三边的一半
【知识点】
三角形中位线定义；三角形中位线性质
【点评】
本题是基础应用题，解题核心是结合中点条件识别出三角形中位线，再运用中位线的性质计算即可，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.9
12. 如图2-5-4，在$□ ABCD$中，$∠ ABC = 60°$，点E，F分别在CD和BC的延长线上，$AE // BD$，$EF ⊥ BC$，$EF = \sqrt{3}$，求AB的长。
答案
12. 1
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据平行四边形ABCD的性质，得到AB与CD平行且相等，结合AE//BD的条件，可判定四边形ABDE是平行四边形，从而得到AB=DE，进一步推出CE=2AB；再由平行线的同位角相等得到∠ECF=∠ABC=60°，在Rt△EFC中，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，结合已知EF的长度求出CE的长，最后即可算出AB的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，∠ECF=∠ABC=60°。
∵AE//BD，AB//DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
∴CD=DE，即CE=CD+DE=2AB。
∵EF⊥BC，
∴∠F=90°，
在Rt△EFC中，∠CEF=90°-60°=30°，
∴CE=2CF。
设CF=x，则CE=2x，由勾股定理得：
$CF^2 + EF^2 = CE^2$，
代入$EF=\sqrt{3}$，得：
$x^2 + (\sqrt{3})^2 = (2x)^2$，
$x^2 + 3 = 4x^2$，
解得$x=1$（边长为正数，舍去负根），
∴CE=2x=2，
又
∵CE=2AB，
∴AB=1。
【答案】
1
【知识点】
平行四边形的判定与性质；直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是先通过平行四边形的判定和性质得到AB与CE的数量关系，再结合直角三角形的边长计算求解，能有效考查学生对平行四边形和直角三角形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据平行四边形ABCD的性质，得到AB与CD平行且相等，结合AE//BD的条件，可判定四边形ABDE是平行四边形，从而得到AB=DE，进一步推出CE=2AB；再由平行线的同位角相等得到∠ECF=∠ABC=60°，在Rt△EFC中，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，结合已知EF的长度求出CE的长，最后即可算出AB的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，∠ECF=∠ABC=60°。
∵AE//BD，AB//DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
∴CD=DE，即CE=CD+DE=2AB。
∵EF⊥BC，
∴∠F=90°，
在Rt△EFC中，∠CEF=90°-60°=30°，
∴CE=2CF。
设CF=x，则CE=2x，由勾股定理得：
$CF^2 + EF^2 = CE^2$，
代入$EF=\sqrt{3}$，得：
$x^2 + (\sqrt{3})^2 = (2x)^2$，
$x^2 + 3 = 4x^2$，
解得$x=1$（边长为正数，舍去负根），
∴CE=2x=2，
又
∵CE=2AB，
∴AB=1。
【答案】
1
【知识点】
平行四边形的判定与性质；直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是先通过平行四边形的判定和性质得到AB与CE的数量关系，再结合直角三角形的边长计算求解，能有效考查学生对平行四边形和直角三角形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图2-5-5，在$□ ABCD$中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD延长线上的一点，且$CD=DE$，连接AE.
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)OD与AE的数量关系是
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)OD与AE的数量关系是
$OD=\frac{1}{2}AE$
.答案
13. (1)略 (2)$OD=\frac{1}{2}AE$
解析
【分析】
(1)要证明四边形ABDE是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导：首先结合平行四边形ABCD的性质得到AB与CD的平行、相等关系，再结合已知CD=DE，推导AB与DE的平行和相等关系，即可得证。
(2)探究OD与AE的数量关系，先利用平行四边形ABCD对角线互相平分的性质得到OD是BD的一半，再结合(1)中已证的平行四边形ABDE的对边相等性质，得到BD与AE相等，等量代换即可得出OD和AE的数量关系。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
又
∵CD=DE，
∴AB=DE。
∵E在CD的延长线上，
∴AB//DE。
∴AB平行且等于DE，
∴四边形ABDE是平行四边形。
(2)解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴O是BD的中点，即$OD=\frac{1}{2}BD$。
由(1)知四边形ABDE是平行四边形，
∴BD=AE。
∴$OD=\frac{1}{2}AE$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$OD=\frac{1}{2}AE$
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的基础综合题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的相关定理，准确找到边的平行、相等关系进行推导。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形ABDE是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导：首先结合平行四边形ABCD的性质得到AB与CD的平行、相等关系，再结合已知CD=DE，推导AB与DE的平行和相等关系，即可得证。
(2)探究OD与AE的数量关系，先利用平行四边形ABCD对角线互相平分的性质得到OD是BD的一半，再结合(1)中已证的平行四边形ABDE的对边相等性质，得到BD与AE相等，等量代换即可得出OD和AE的数量关系。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
又
∵CD=DE，
∴AB=DE。
∵E在CD的延长线上，
∴AB//DE。
∴AB平行且等于DE，
∴四边形ABDE是平行四边形。
(2)解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴O是BD的中点，即$OD=\frac{1}{2}BD$。
由(1)知四边形ABDE是平行四边形，
∴BD=AE。
∴$OD=\frac{1}{2}AE$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$OD=\frac{1}{2}AE$
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的基础综合题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的相关定理，准确找到边的平行、相等关系进行推导。
【难度系数】
0.7
14. 如图2-5-6，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，求四边形ABCD的面积. 
图2-5-6
图2-5-6答案
14. 24
解析
【分析】
解题时先从已知的直角三角形△CBE出发，利用勾股定理求出CE的长度，结合AC的长度可得到AE=CE，再结合已知BE=ED，可判定四边形ABCD是平行四边形；最后利用平行四边形的面积与三角形面积的关系计算总面积即可。
【解析】
解：在Rt△CBE中，∠CBD=90°，BE=3，BC=4，
由勾股定理得：$CE=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵AC=10，
∴AE=AC-CE=10-5=5，即AE=CE，
又
∵BE=ED=3，
∴四边形ABCD的对角线互相平分，故四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=BE+ED=3+3=6，
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×BD×BC=\frac{1}{2}×6×4=12$，
∵平行四边形对角线将其分为两个面积相等的三角形，
∴$S_{四边形ABCD}=2S_{△ BCD}=2×12=24$。
【答案】
24
【知识点】
勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是先通过勾股定理推导得出四边形对角线互相平分，进而判定四边形为平行四边形，再结合直角三角形面积公式求解总面积，对逻辑推理能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的直角三角形△CBE出发，利用勾股定理求出CE的长度，结合AC的长度可得到AE=CE，再结合已知BE=ED，可判定四边形ABCD是平行四边形；最后利用平行四边形的面积与三角形面积的关系计算总面积即可。
【解析】
解：在Rt△CBE中，∠CBD=90°，BE=3，BC=4，
由勾股定理得：$CE=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵AC=10，
∴AE=AC-CE=10-5=5，即AE=CE，
又
∵BE=ED=3，
∴四边形ABCD的对角线互相平分，故四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=BE+ED=3+3=6，
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×BD×BC=\frac{1}{2}×6×4=12$，
∵平行四边形对角线将其分为两个面积相等的三角形，
∴$S_{四边形ABCD}=2S_{△ BCD}=2×12=24$。
【答案】
24
【知识点】
勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是先通过勾股定理推导得出四边形对角线互相平分，进而判定四边形为平行四边形，再结合直角三角形面积公式求解总面积，对逻辑推理能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.7
15. 如图2-5-7，在$△ AFC$中，$∠ FAC = 45°$，$FE ⊥ AC$于点$E$，在$EF$上取一点$B$，连接$AB$，$BC$，使$AB=FC$，过点$A$作$AD ⊥ AF$，且$AD=BC$，连接$CD$。求证：四边形$ABCD$是平行四边形。
答案
证明：
∵ $FE ⊥ AC$，
∴ $∠ FEA = ∠ FEC = 90°$，
∵ $∠ FAC = 45°$，
∴ $△ AEF$ 是等腰直角三角形，
∴ $AE = EF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ FCE$中，
$\begin{cases}AB = FC \\AE = FE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ FCE$（HL），
∴ $BE = CE$，
∴ $△ BEC$ 是等腰直角三角形，
∴ $∠ BCE = 45°$。
∵ $AD ⊥ AF$，
∴ $∠ FAD = 90°$，
又∵ $∠ FAC = 45°$，
∴ $∠ CAD = ∠ FAD - ∠ FAC = 90° - 45° = 45°$，
∴ $∠ BCE = ∠ CAD$，
∴ $BC // AD$。
又∵ $AD = BC$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵ $FE ⊥ AC$，
∴ $∠ FEA = ∠ FEC = 90°$，
∵ $∠ FAC = 45°$，
∴ $△ AEF$ 是等腰直角三角形，
∴ $AE = EF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ FCE$中，
$\begin{cases}AB = FC \\AE = FE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ FCE$（HL），
∴ $BE = CE$，
∴ $△ BEC$ 是等腰直角三角形，
∴ $∠ BCE = 45°$。
∵ $AD ⊥ AF$，
∴ $∠ FAD = 90°$，
又∵ $∠ FAC = 45°$，
∴ $∠ CAD = ∠ FAD - ∠ FAC = 90° - 45° = 45°$，
∴ $∠ BCE = ∠ CAD$，
∴ $BC // AD$。
又∵ $AD = BC$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
解析
【分析】
要证明四边形ABCD是平行四边形，已知条件给出AD=BC，根据平行四边形的判定定理，只需证明BC//AD即可。要证两直线平行可通过证明内错角相等推导，即证∠BCE=∠CAD：首先由FE⊥AC、∠FAC=45°可判定△AEF是等腰直角三角形，得到AE=EF，结合已知AB=FC，利用HL定理可证明Rt△ABE≌Rt△FCE，推出BE=CE，即可得到∠BCE=45°；再由AD⊥AF得出∠FAD=90°，结合∠FAC=45°计算可得∠CAD=45°，即可证得∠BCE=∠CAD，进而得到BC//AD，最终结合AD=BC即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $FE ⊥ AC$，
∴ $∠ FEA = ∠ FEC = 90°$，
∵ $∠ FAC = 45°$，
∴ $△ AEF$ 是等腰直角三角形，
∴ $AE = EF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ FCE$中，
$\begin{cases}AB = FC \\AE = FE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ FCE$（HL），
∴ $BE = CE$，
∴ $△ BEC$ 是等腰直角三角形，
∴ $∠ BCE = 45°$。
∵ $AD ⊥ AF$，
∴ $∠ FAD = 90°$，
又
∵ $∠ FAC = 45°$，
∴ $∠ CAD = ∠ FAD - ∠ FAC = 90° - 45° = 45°$，
∴ $∠ BCE = ∠ CAD$，
∴ $BC // AD$。
又
∵ $AD = BC$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形ABCD是平行四边形
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的核心是结合已知条件推导角的等量关系，进而得到对边的平行关系，再结合已知的对边相等条件完成平行四边形的判定，解题时要注意观察图形中角的位置和数量关系，合理选择全等三角形的判定定理。
【难度系数】
0.7
要证明四边形ABCD是平行四边形，已知条件给出AD=BC，根据平行四边形的判定定理，只需证明BC//AD即可。要证两直线平行可通过证明内错角相等推导，即证∠BCE=∠CAD：首先由FE⊥AC、∠FAC=45°可判定△AEF是等腰直角三角形，得到AE=EF，结合已知AB=FC，利用HL定理可证明Rt△ABE≌Rt△FCE，推出BE=CE，即可得到∠BCE=45°；再由AD⊥AF得出∠FAD=90°，结合∠FAC=45°计算可得∠CAD=45°，即可证得∠BCE=∠CAD，进而得到BC//AD，最终结合AD=BC即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $FE ⊥ AC$，
∴ $∠ FEA = ∠ FEC = 90°$，
∵ $∠ FAC = 45°$，
∴ $△ AEF$ 是等腰直角三角形，
∴ $AE = EF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ FCE$中，
$\begin{cases}AB = FC \\AE = FE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ FCE$（HL），
∴ $BE = CE$，
∴ $△ BEC$ 是等腰直角三角形，
∴ $∠ BCE = 45°$。
∵ $AD ⊥ AF$，
∴ $∠ FAD = 90°$，
又
∵ $∠ FAC = 45°$，
∴ $∠ CAD = ∠ FAD - ∠ FAC = 90° - 45° = 45°$，
∴ $∠ BCE = ∠ CAD$，
∴ $BC // AD$。
又
∵ $AD = BC$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形ABCD是平行四边形
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的核心是结合已知条件推导角的等量关系，进而得到对边的平行关系，再结合已知的对边相等条件完成平行四边形的判定，解题时要注意观察图形中角的位置和数量关系，合理选择全等三角形的判定定理。
【难度系数】
0.7
