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1. 如图2-6-1，点P是矩形ABCD的边AD上一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(
A.$\dfrac{12}{5}$
B.$\dfrac{6}{5}$
C.$\dfrac{24}{5}$
D.不确定
A
).A.$\dfrac{12}{5}$
B.$\dfrac{6}{5}$
C.$\dfrac{24}{5}$
D.不确定
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先结合矩形的性质分析：点P是动点，直接分别求P到两条对角线的距离难度较大，因此选择面积法转化求解。第一步先用勾股定理计算矩形对角线的长度；第二步利用矩形对角线的性质可知△AOD的面积是矩形面积的四分之一；第三步连接OP，将△AOD拆分为△AOP和△DOP，两个小三角形的面积之和等于△AOD的面积，据此建立等式即可求出两个距离的和。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4
∴矩形面积$S_{ABCD}=AB×BC=3×4=12$，由勾股定理得对角线$AC=BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵矩形对角线互相平分且相等，
∴$AO=OD=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$，且$S_{△ AOD}=\frac{1}{4}S_{ABCD}=\frac{1}{4}×12=3$
连接OP，设点P到AC的距离为PE，到BD的距离为PF
则$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}×AO×PE$，$S_{△ DOP}=\frac{1}{2}×OD×PF$
∵$S_{△ AOP}+S_{△ DOP}=S_{△ AOD}$
∴$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×PE + \frac{1}{2}×\frac{5}{2}×PF = 3$
提取公因式得：$\frac{5}{4}(PE+PF)=3$
解得$PE+PF=\frac{12}{5}$
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、面积法计算
【点评】
本题是动点线段和的典型题型，无需分别求解两条线段的长度，通过面积法将未知线段和与已知图形面积关联，是简化几何计算的常用技巧。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合矩形的性质分析：点P是动点，直接分别求P到两条对角线的距离难度较大，因此选择面积法转化求解。第一步先用勾股定理计算矩形对角线的长度；第二步利用矩形对角线的性质可知△AOD的面积是矩形面积的四分之一；第三步连接OP，将△AOD拆分为△AOP和△DOP，两个小三角形的面积之和等于△AOD的面积，据此建立等式即可求出两个距离的和。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4
∴矩形面积$S_{ABCD}=AB×BC=3×4=12$，由勾股定理得对角线$AC=BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵矩形对角线互相平分且相等，
∴$AO=OD=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$，且$S_{△ AOD}=\frac{1}{4}S_{ABCD}=\frac{1}{4}×12=3$
连接OP，设点P到AC的距离为PE，到BD的距离为PF
则$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}×AO×PE$，$S_{△ DOP}=\frac{1}{2}×OD×PF$
∵$S_{△ AOP}+S_{△ DOP}=S_{△ AOD}$
∴$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×PE + \frac{1}{2}×\frac{5}{2}×PF = 3$
提取公因式得：$\frac{5}{4}(PE+PF)=3$
解得$PE+PF=\frac{12}{5}$
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、面积法计算
【点评】
本题是动点线段和的典型题型，无需分别求解两条线段的长度，通过面积法将未知线段和与已知图形面积关联，是简化几何计算的常用技巧。
【难度系数】
0.7
2. 如图2-6-2，将一张矩形纸对折两次，然后沿着图中的虚线剪一剪，则从矩形纸上剪下的部分打开后的形状一定为（
A.三角形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
B
）。A.三角形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先要明确对折操作的本质是轴对称变换，折叠后重合的边长度相等。首先分析对折两次后裁剪得到的图形的边的特征：对折两次后纸张分为四层，沿虚线剪下的部分展开后，得到的四边形的四条边均是裁剪时虚线截得的线段，四条边长度相等；再结合特殊四边形的判定规则，四条边相等的四边形为菱形，即可推出答案。
【解析】
矩形纸对折两次的过程属于两次轴对称变换，折叠后重合的部分完全相等，因此沿虚线剪下的图形展开后，得到的四边形四条边长度完全相等。根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形，可知该打开后的形状为菱形。故选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质；菱形的判定
【点评】
本题是结合动手操作的几何基础题，解题核心是理解折叠的轴对称特性，准确判断裁剪后图形的边的特征，结合特殊四边形的判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确对折操作的本质是轴对称变换，折叠后重合的边长度相等。首先分析对折两次后裁剪得到的图形的边的特征：对折两次后纸张分为四层，沿虚线剪下的部分展开后，得到的四边形的四条边均是裁剪时虚线截得的线段，四条边长度相等；再结合特殊四边形的判定规则，四条边相等的四边形为菱形，即可推出答案。
【解析】
矩形纸对折两次的过程属于两次轴对称变换，折叠后重合的部分完全相等，因此沿虚线剪下的图形展开后，得到的四边形四条边长度完全相等。根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形，可知该打开后的形状为菱形。故选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质；菱形的判定
【点评】
本题是结合动手操作的几何基础题，解题核心是理解折叠的轴对称特性，准确判断裁剪后图形的边的特征，结合特殊四边形的判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3. $□ ABCD$的对角线相交于点$O$，分别添加下列条件中的一个：①$AC ⊥ BD$；②$AB=BC$；③$AC$平分$∠ BAD$；④$AO=DO$. 其中能使$□ ABCD$是菱形的添加方法有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
).A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3.C
解析
【分析】
要判断添加哪个条件可使平行四边形ABCD成为菱形，首先明确平行四边形基础上菱形的判定依据：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。我们只需逐一验证每个给出的条件是否能推出上述两个判定结论即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，结合菱形判定条件逐个分析：
1. 条件①：$AC⊥BD$。根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可直接判定$□ ABCD$是菱形，故①符合要求；
2. 条件②：$AB=BC$。平行四边形对边相等，现有一组邻边相等，则四条边都相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定$□ ABCD$是菱形，故②符合要求；
3. 条件③：$AC$平分$∠BAD$。则$∠BAC=∠DAC$，又因为平行四边形中$AD// BC$，内错角相等得$∠DAC=∠BCA$，等量代换得$∠BAC=∠BCA$，等角对等边得$AB=BC$，即一组邻边相等，可判定$□ ABCD$是菱形，故③符合要求；
4. 条件④：$AO=DO$。平行四边形对角线互相平分，因此$AO=\frac{1}{2}AC$，$DO=\frac{1}{2}BD$，由$AO=DO$可得$AC=BD$，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，故④不符合要求。
综上，符合要求的条件有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题核心考查平行四边形框架下的菱形判定规则，解题时需紧扣菱形的判定定理，结合平行四边形的性质逐一分析条件，注意区分菱形与矩形的判定差异，避免混淆对角线相等、对角线垂直分别对应的特殊平行四边形类型。
【难度系数】
0.7
要判断添加哪个条件可使平行四边形ABCD成为菱形，首先明确平行四边形基础上菱形的判定依据：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。我们只需逐一验证每个给出的条件是否能推出上述两个判定结论即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，结合菱形判定条件逐个分析：
1. 条件①：$AC⊥BD$。根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可直接判定$□ ABCD$是菱形，故①符合要求；
2. 条件②：$AB=BC$。平行四边形对边相等，现有一组邻边相等，则四条边都相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定$□ ABCD$是菱形，故②符合要求；
3. 条件③：$AC$平分$∠BAD$。则$∠BAC=∠DAC$，又因为平行四边形中$AD// BC$，内错角相等得$∠DAC=∠BCA$，等量代换得$∠BAC=∠BCA$，等角对等边得$AB=BC$，即一组邻边相等，可判定$□ ABCD$是菱形，故③符合要求；
4. 条件④：$AO=DO$。平行四边形对角线互相平分，因此$AO=\frac{1}{2}AC$，$DO=\frac{1}{2}BD$，由$AO=DO$可得$AC=BD$，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，故④不符合要求。
综上，符合要求的条件有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题核心考查平行四边形框架下的菱形判定规则，解题时需紧扣菱形的判定定理，结合平行四边形的性质逐一分析条件，注意区分菱形与矩形的判定差异，避免混淆对角线相等、对角线垂直分别对应的特殊平行四边形类型。
【难度系数】
0.7
4. 在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，根据下列条件能判定这个四边形是正方形的是(
A.$OA=OB=OC=OD$，$AC⊥BD$
B.$AB// CD$，$AC=BD$
C.$AD// BC$，$∠A=∠C$
D.$OA=OC$，$OB=OD$，$AB=BC$
A
).A.$OA=OB=OC=OD$，$AC⊥BD$
B.$AB// CD$，$AC=BD$
C.$AD// BC$，$∠A=∠C$
D.$OA=OC$，$OB=OD$，$AB=BC$
答案
4.A
解析
【分析】
要判定四边形是正方形，需明确正方形是同时具备矩形和菱形特征的特殊四边形，解题时可先根据每个选项给出的条件，判断对应能得到的四边形类型，再验证是否同时满足矩形、菱形的判定要求，逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由$OA=OB=OC=OD$可得，对角线$AC$、$BD$互相平分且相等，首先可判定该四边形是矩形；又给出$AC⊥BD$，对角线互相垂直的矩形是正方形，因此该选项符合要求。
选项B：$AB// CD$，$AC=BD$，等腰梯形也满足“一组对边平行、对角线相等”的条件，无法判定是正方形，该选项错误。
选项C：由$AD// BC$可得$∠ A+∠ B=180°$，结合$∠ A=∠ C$可推出$∠ C+∠ B=180°$，即$AB// CD$，两组对边分别平行可判定是平行四边形，但平行四边形不一定是正方形，该选项错误。
选项D：$OA=OC$，$OB=OD$说明对角线互相平分，可判定是平行四边形，再结合$AB=BC$只能推出邻边相等的平行四边形是菱形，无法判定是正方形，该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定；矩形的判定；菱形的判定
【点评】
本题主要考查各类特殊四边形的判定规则，解题关键是区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定差异，牢记正方形需同时满足矩形和菱形的判定条件，避免混淆不同图形的性质。
【难度系数】
0.7
要判定四边形是正方形，需明确正方形是同时具备矩形和菱形特征的特殊四边形，解题时可先根据每个选项给出的条件，判断对应能得到的四边形类型，再验证是否同时满足矩形、菱形的判定要求，逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由$OA=OB=OC=OD$可得，对角线$AC$、$BD$互相平分且相等，首先可判定该四边形是矩形；又给出$AC⊥BD$，对角线互相垂直的矩形是正方形，因此该选项符合要求。
选项B：$AB// CD$，$AC=BD$，等腰梯形也满足“一组对边平行、对角线相等”的条件，无法判定是正方形，该选项错误。
选项C：由$AD// BC$可得$∠ A+∠ B=180°$，结合$∠ A=∠ C$可推出$∠ C+∠ B=180°$，即$AB// CD$，两组对边分别平行可判定是平行四边形，但平行四边形不一定是正方形，该选项错误。
选项D：$OA=OC$，$OB=OD$说明对角线互相平分，可判定是平行四边形，再结合$AB=BC$只能推出邻边相等的平行四边形是菱形，无法判定是正方形，该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定；矩形的判定；菱形的判定
【点评】
本题主要考查各类特殊四边形的判定规则，解题关键是区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定差异，牢记正方形需同时满足矩形和菱形的判定条件，避免混淆不同图形的性质。
【难度系数】
0.7
5. 矩形的两条对角线的夹角为$60°$，且矩形的宽为2，则它的对角线的长为
4
.答案
5.4
解析
【分析】
解题时先回忆矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线被交点分成的四条线段长度都相等；已知两条对角线的夹角为60°，则夹角所在的、由两条半对角线和矩形宽组成的三角形是等腰三角形，且有一个内角为60°，符合等边三角形的判定条件，因此该三角形为等边三角形，边长等于矩形的宽，也等于对角线长度的一半，由此即可求出对角线的总长。
【解析】
解：
∵四边形是矩形，
∴矩形的对角线相等且互相平分，
∴两条对角线的一半长度相等，
又
∵两条对角线的夹角为60°，
∴夹角所在的、由两条半对角线和矩形宽构成的三角形是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∵矩形的宽为2，即等边三角形的边长为2，
∴对角线的一半长为2，
∴对角线的总长为2×2=4。
【答案】
4
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是几何基础题，将矩形的性质和等边三角形的判定结合考查，解题的关键是根据矩形对角线的特点推出等边三角形，进而建立边长和对角线长度的关系，是矩形性质应用的常见题型。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线被交点分成的四条线段长度都相等；已知两条对角线的夹角为60°，则夹角所在的、由两条半对角线和矩形宽组成的三角形是等腰三角形，且有一个内角为60°，符合等边三角形的判定条件，因此该三角形为等边三角形，边长等于矩形的宽，也等于对角线长度的一半，由此即可求出对角线的总长。
【解析】
解：
∵四边形是矩形，
∴矩形的对角线相等且互相平分，
∴两条对角线的一半长度相等，
又
∵两条对角线的夹角为60°，
∴夹角所在的、由两条半对角线和矩形宽构成的三角形是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∵矩形的宽为2，即等边三角形的边长为2，
∴对角线的一半长为2，
∴对角线的总长为2×2=4。
【答案】
4
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是几何基础题，将矩形的性质和等边三角形的判定结合考查，解题的关键是根据矩形对角线的特点推出等边三角形，进而建立边长和对角线长度的关系，是矩形性质应用的常见题型。
【难度系数】
0.8
6. 菱形的两条对角线的长分别是6和8，则它的周长是
20
，面积是24
。答案
6.20；24
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆菱形的核心性质：①菱形的四条边长度相等；②菱形的对角线互相垂直且平分；③菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半。解题时先根据对角线互相垂直平分的性质，求出两条对角线一半的长度，再用勾股定理算出菱形的边长，进而求出周长；面积直接套用对角线乘积的一半的公式计算即可。
【解析】
解：已知菱形的两条对角线长分别为6和8。
1. 计算菱形的边长
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，两条对角线的一半长度分别为：$6÷2=3$，$8÷2=4$。
由于对角线互相垂直，因此菱形的边长与两条对角线的一半构成直角三角形，由勾股定理可得菱形的边长为：$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
2. 计算周长
因为菱形四条边长度相等，所以周长为：$4×5=20$。
3. 计算面积
根据菱形面积公式（对角线乘积的一半），可得面积为：$\frac{1}{2}×6×8=24$。
【答案】
20；24
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，主要考查菱形相关性质的直接运用，只要熟练掌握菱形对角线的特征和面积计算公式，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要回忆菱形的核心性质：①菱形的四条边长度相等；②菱形的对角线互相垂直且平分；③菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半。解题时先根据对角线互相垂直平分的性质，求出两条对角线一半的长度，再用勾股定理算出菱形的边长，进而求出周长；面积直接套用对角线乘积的一半的公式计算即可。
【解析】
解：已知菱形的两条对角线长分别为6和8。
1. 计算菱形的边长
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，两条对角线的一半长度分别为：$6÷2=3$，$8÷2=4$。
由于对角线互相垂直，因此菱形的边长与两条对角线的一半构成直角三角形，由勾股定理可得菱形的边长为：$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
2. 计算周长
因为菱形四条边长度相等，所以周长为：$4×5=20$。
3. 计算面积
根据菱形面积公式（对角线乘积的一半），可得面积为：$\frac{1}{2}×6×8=24$。
【答案】
20；24
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，主要考查菱形相关性质的直接运用，只要熟练掌握菱形对角线的特征和面积计算公式，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
7. 如图2-6-3，四边形ABCD是菱形，其中A，B两点的坐标分别为(0，3)，(4，0)，则点D的坐标为
图2-6-3
图2-6-4
(0, -2)
。图2-6-3
图2-6-4
答案
7.(0, -2)
解析
【分析】
解题需结合菱形的性质与勾股定理推导点坐标，思路如下：首先根据A、B两点的坐标，利用勾股定理求出菱形边长AB的长度；再根据菱形四条边相等的性质，得到邻边AD的长度等于AB；最后结合点D在y轴上、位于A点下方的位置特征，计算得出D点的坐标。
【解析】
解：已知A(0,3)，B(4,0)，则OA=3，OB=4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD = AB = 5$，
由图可知点D在y轴上，且在点A的下方，
∴D点的横坐标与A点相同为0，纵坐标为$3 - 5 = -2$，
即点D的坐标为$(0,-2)$。
【答案】
$(0,-2)$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，点的坐标特征
【点评】
本题是几何性质与平面直角坐标系结合的基础题，解题关键是先求出菱形的边长，再结合坐标轴上点的坐标特征计算未知点坐标，整体解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
解题需结合菱形的性质与勾股定理推导点坐标，思路如下：首先根据A、B两点的坐标，利用勾股定理求出菱形边长AB的长度；再根据菱形四条边相等的性质，得到邻边AD的长度等于AB；最后结合点D在y轴上、位于A点下方的位置特征，计算得出D点的坐标。
【解析】
解：已知A(0,3)，B(4,0)，则OA=3，OB=4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD = AB = 5$，
由图可知点D在y轴上，且在点A的下方，
∴D点的横坐标与A点相同为0，纵坐标为$3 - 5 = -2$，
即点D的坐标为$(0,-2)$。
【答案】
$(0,-2)$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，点的坐标特征
【点评】
本题是几何性质与平面直角坐标系结合的基础题，解题关键是先求出菱形的边长，再结合坐标轴上点的坐标特征计算未知点坐标，整体解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
8. 如图2-6-4，在矩形ABCD中，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，且∠BDF = 15°，则∠DOC =
60°
，∠DFB = 135°
。答案
8.60°；135°
解析
【分析】
解题时先从矩形的基本性质入手：矩形的四个内角都是直角，对角线相等且互相平分，可得OD=OC，∠ADC=∠BCD=90°；再结合角平分线的定义求出∠FDC=45°，结合已知∠BDF=15°，就能算出∠BDC的度数，进而判断△ODC的形状求出∠DOC；求∠DFB时，先在Rt△DFC中求出∠DFC的度数，再利用邻补角的关系计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC = ∠BCD = 90°，矩形对角线相等且互相平分，即OD = OC。
∵DF平分∠ADC，
∴$∠ FDC=\frac{1}{2}∠ ADC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
已知∠BDF = 15°，
∴∠BDC = ∠BDF + ∠FDC = 15° + 45° = 60°。
又
∵OD = OC，∠BDC=60°，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠DOC = 60°。
在△DFC中，∠FDC=45°，∠BCD=90°，
∴∠DFC = 180° - 90° - 45° = 45°，
∵∠DFB与∠DFC互为邻补角，
∴∠DFB = 180° - ∠DFC = 180° - 45° = 135°。
【答案】
$60°$；$135°$
【知识点】
矩形的性质；角平分线的定义；等边三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握矩形、角平分线、等边三角形的相关性质，通过角的和差关系逐步推导所求角度，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从矩形的基本性质入手：矩形的四个内角都是直角，对角线相等且互相平分，可得OD=OC，∠ADC=∠BCD=90°；再结合角平分线的定义求出∠FDC=45°，结合已知∠BDF=15°，就能算出∠BDC的度数，进而判断△ODC的形状求出∠DOC；求∠DFB时，先在Rt△DFC中求出∠DFC的度数，再利用邻补角的关系计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC = ∠BCD = 90°，矩形对角线相等且互相平分，即OD = OC。
∵DF平分∠ADC，
∴$∠ FDC=\frac{1}{2}∠ ADC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
已知∠BDF = 15°，
∴∠BDC = ∠BDF + ∠FDC = 15° + 45° = 60°。
又
∵OD = OC，∠BDC=60°，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠DOC = 60°。
在△DFC中，∠FDC=45°，∠BCD=90°，
∴∠DFC = 180° - 90° - 45° = 45°，
∵∠DFB与∠DFC互为邻补角，
∴∠DFB = 180° - ∠DFC = 180° - 45° = 135°。
【答案】
$60°$；$135°$
【知识点】
矩形的性质；角平分线的定义；等边三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握矩形、角平分线、等边三角形的相关性质，通过角的和差关系逐步推导所求角度，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图2-6-5，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP=
22.5°
。答案
9.22.5°
解析
【分析】
解题时先从正方形的性质入手，首先正方形的对角线平分一组内角，可得出∠PBC、∠ACB的度数；再结合BP=BC的条件，可知△BPC是等腰三角形，利用三角形内角和定理求出∠BCP的度数；最后通过∠BCP与∠ACB的差即可计算出∠ACP的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=∠BCD=90°，对角线BD平分∠ABC，对角线AC平分∠BCD
∴∠PBC=∠ACB=45°
又
∵BP=BC
∴△BPC为等腰三角形，顶角∠PBC=45°
∴∠BCP=(180°-∠PBC)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°
∴∠ACP=∠BCP - ∠ACB=67.5°-45°=22.5°
【答案】
22.5°
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是将正方形的角度性质和等腰三角形的角度计算结合，通过角度的和差关系推导结果，掌握特殊几何图形的基本性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先从正方形的性质入手，首先正方形的对角线平分一组内角，可得出∠PBC、∠ACB的度数；再结合BP=BC的条件，可知△BPC是等腰三角形，利用三角形内角和定理求出∠BCP的度数；最后通过∠BCP与∠ACB的差即可计算出∠ACP的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=∠BCD=90°，对角线BD平分∠ABC，对角线AC平分∠BCD
∴∠PBC=∠ACB=45°
又
∵BP=BC
∴△BPC为等腰三角形，顶角∠PBC=45°
∴∠BCP=(180°-∠PBC)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°
∴∠ACP=∠BCP - ∠ACB=67.5°-45°=22.5°
【答案】
22.5°
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是将正方形的角度性质和等腰三角形的角度计算结合，通过角度的和差关系推导结果，掌握特殊几何图形的基本性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
