三、解答题
11.计算：
(1)$(-x)^3 · (x^3)^2 · (-x)^4$；
(2)$(-a)^6 ÷ (-a)^3$。

11.解:(1)原式 = $-x^3 · x^6 · x^4 = -x^{13}$.
(2)原式 = $( -a )^{6-3} = ( -a )^3 = -a^3$.

【分析】
这两道题均考查幂的相关运算，解题时可按照“先处理符号，再运用幂的运算法则计算指数”的思路求解：
1. 先回忆相关法则：①负数的奇次幂为负，偶次幂为正；②幂的乘方：底数不变，指数相乘；③同底数幂相乘：底数不变，指数相加；④同底数幂相除：底数不变，指数相减。
2. 第(1)题：先分别化简每一项，统一底数为x，再用同底数幂的乘法法则计算指数，最后确定符号即可。
3. 第(2)题：两项底数均为(-a)，可直接用同底数幂的除法法则计算，最后化简符号即可。
【解析】
(1) 先分别化简各项：
$(-x)^3=-x^3$，$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$，$(-x)^4=x^4$
代入原式得：
原式$=-x^3 · x^6 · x^4 = -x^{3+6+4}=-x^{13}$
(2) 利用同底数幂的除法法则计算：
原式$=(-a)^{6-3}=(-a)^3=-a^3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-x^{13}}$；(2) $\boldsymbol{-a^3}$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查幂的运算法则的应用与符号判断，解题时要注意先确认底数是否统一，再计算指数，避免因混淆运算法则、弄错符号导致失分。
【难度系数】
0.8

12. 先化简，再求值：
(1) $x(x + 2y) - (x + 1)^2 + 2x$，其中 $x = \dfrac{1}{25}$，$y = 25$。
(2) $(3x + 1)(3x - 1) - (2x + 3)^2 - 5x(x - 2)$，其中 $x = 24$。

12.解:(1)$x(x + 2y) - (x + 1)^2 + 2x = x^2 + 2xy - x^2 - 2x -1 + 2x = 2xy - 1$. 当 $x = \frac{1}{25},y = 25$ 时, 原式 = 2 × $\frac{1}{25}×25 -1 =2 -1 =1$.
(2)$(3x + 1)(3x - 1) - (2x + 3)^2 - 5x(x - 2) =9x^2 -1 -(4x^2 +12x +9) -5x^2 +10x =9x^2 -1 -4x^2 -12x -9 -5x^2 +10x = -2x -10$. 当 $x =24$ 时, 原式 = -2 ×24 -10 = -58.

【分析】
这两道题属于整式化简求值类基础题，解题思路分为两步：第一步先化简原式，按照整式运算法则，依次运用单项式乘多项式法则、完全平方公式、平方差公式展开各项，再去括号、合并同类项，将原式化简为最简形式；第二步将给定的未知数取值代入化简后的式子计算结果，相比直接代入原式计算，能大幅降低运算量，减少出错概率。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}x(x + 2y) - (x + 1)^2 + 2x &= x^2 + 2xy - (x^2 + 2x + 1) + 2x \\&= x^2 + 2xy - x^2 - 2x -1 + 2x \\&= 2xy - 1\end{aligned}$
将$x = \frac{1}{25}$，$y = 25$代入化简后的式子：
原式$= 2 × \frac{1}{25} × 25 - 1 = 2 - 1 = 1$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}(3x + 1)(3x - 1) - (2x + 3)^2 - 5x(x - 2) &= 9x^2 - 1 - (4x^2 + 12x + 9) - (5x^2 - 10x) \\&= 9x^2 - 1 - 4x^2 - 12x - 9 - 5x^2 + 10x \\&= -2x - 10\end{aligned}$
将$x = 24$代入化简后的式子：
原式$= -2 × 24 - 10 = -48 - 10 = -58$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{-58}$
【知识点】
整式的乘除、乘法公式、化简求值
【点评】
本题重点考查整式运算的基础规则，解题时需熟练掌握平方差公式、完全平方公式的展开形式，去括号时要注意符号变化，合并同类项要准确，先化简再求值的思路能有效提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.8

13. 如图，点M是AB的中点，点P在MB上，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME。设AP=a，BP=b.
(1)用a,b表示图中阴影部分的面积.
(2)若$a+b=8$，$ab=9$，求图中阴影部分的面积.

13.解:(1)因为点 M 是 AB 的中点,AP = a,BP = b,所以 $BM = AM = \frac{1}{2}(a + b)$. 所以 $S_{△ DAM} = \frac{1}{2}AD · AM = \frac{1}{2}a × \frac{1}{2}(a + b) = \frac{1}{4}a(a + b)$,$S_{△ EBM} = \frac{1}{2}BE · BM = \frac{1}{2}b × \frac{1}{2}(a + b) = \frac{1}{4}b(a + b)$. 所以题图中阴影部分的面积 = $a^2 + b^2 - \frac{1}{4}a(a + b) - \frac{1}{4}b(a + b) = \frac{3a^2 -2ab +3b^2}{4}$.
(2)因为 $a + b =8$,所以 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 =64$. 因为 $ab =9$,所以 $a^2 + b^2 =64 -2ab =64 -18 =46$. 所以$\frac{3a^2 -2ab +3b^2}{4} = \frac{3 ×46 -2 ×9}{4} =30$. 故题图中阴影部分的面积是 30.

【分析】
(1) 求阴影部分面积采用割补法：阴影面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白三角形$△ DAM$、$△ EBM$的面积。首先根据M是AB中点求出AM、BM的长度，再分别计算两个正方形和两个空白三角形的面积，作差后化简代数式即可得到阴影面积的表达式。
(2) 已知$a+b$和$ab$的值，先利用完全平方公式求出$a^2+b^2$的值，再代入第(1)问得到的阴影面积表达式中计算即可得到结果。
【解析】
(1)
∵点M是AB的中点，$AP=a$，$BP=b$，
∴$AB=a+b$，$AM=BM=\frac{1}{2}(a+b)$。
正方形APCD的面积为$a^2$，其中$AD=a$，则：
$S_{△ DAM}=\frac{1}{2}·AD·AM=\frac{1}{2}a×\frac{1}{2}(a+b)=\frac{1}{4}a(a+b)$
正方形PBEF的面积为$b^2$，其中$BE=b$，则：
$S_{△ EBM}=\frac{1}{2}·BE·BM=\frac{1}{2}b×\frac{1}{2}(a+b)=\frac{1}{4}b(a+b)$
因此阴影部分面积为：
$S_{阴影}=a^2+b^2-\frac{1}{4}a(a+b)-\frac{1}{4}b(a+b)$
$=a^2+b^2-\frac{1}{4}(a^2+2ab+b^2)$
$=\frac{3a^2-2ab+3b^2}{4}$
(2)
∵$a+b=8$，
∴$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=64$
把$ab=9$代入得：$a^2+b^2=64-2×9=46$
将$a^2+b^2=46$、$ab=9$代入阴影面积表达式：
$S_{阴影}=\frac{3×46-2×9}{4}=\frac{138-18}{4}=30$
【答案】
(1) $\frac{3a^2-2ab+3b^2}{4}$；(2) $30$
【知识点】
割补法求面积，整式化简，完全平方公式
【点评】
本题结合几何面积计算考查整式的运算，解题核心是合理用割补法表示阴影面积，熟练掌握完全平方公式的变形，能够利用已知条件整体代入简化计算。
【难度系数】
0.6