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5. 中国在科学领域取得了很多举世瞩目的成就，世界上第一个小孔成像的实验就是由我国古代的墨子和他的学生完成的（得出了光沿直线传播的结论）。如图，若$∠ 1+ ∠ 2 = 40°$，则$∠ 3$的度数是（$\quad$）
A.$100°$
B.$120°$
C.$140°$
D.$160°$
A.$100°$
B.$120°$
C.$140°$
D.$160°$
答案
5.D
解析
【分析】
首先结合小孔成像光沿直线传播的特点，可知图中两条光线为相交直线，相交线形成的对顶角相等，因此∠1和∠2大小相等。已知两角之和为40°，可先求出单个角的度数，再根据邻补角的和为180°，即可计算出∠3的度数。
【解析】
解：由光沿直线传播可知，图中两条光线为相交直线，根据对顶角相等的性质可得：
$∠1 = ∠2$
已知$∠1 + ∠2 = 40°$，代入得：
$2∠1 = 40°$，解得$∠1 = 20°$
又因为$∠1$与$∠3$互为邻补角，即$∠1 + ∠3 = 180°$
所以$∠3 = 180° - ∠1 = 180° - 20° = 160°$
【答案】
D
【知识点】
对顶角相等，邻补角互补
【点评】
本题结合生活中的小孔成像场景考查相交线的角度计算，解题的核心是准确识别对顶角和邻补角，利用二者的性质逐步推导角度，整体较为基础，侧重考查学生结合场景识别几何图形的能力。
【难度系数】
0.8
首先结合小孔成像光沿直线传播的特点，可知图中两条光线为相交直线，相交线形成的对顶角相等，因此∠1和∠2大小相等。已知两角之和为40°，可先求出单个角的度数，再根据邻补角的和为180°，即可计算出∠3的度数。
【解析】
解：由光沿直线传播可知，图中两条光线为相交直线，根据对顶角相等的性质可得：
$∠1 = ∠2$
已知$∠1 + ∠2 = 40°$，代入得：
$2∠1 = 40°$，解得$∠1 = 20°$
又因为$∠1$与$∠3$互为邻补角，即$∠1 + ∠3 = 180°$
所以$∠3 = 180° - ∠1 = 180° - 20° = 160°$
【答案】
D
【知识点】
对顶角相等，邻补角互补
【点评】
本题结合生活中的小孔成像场景考查相交线的角度计算，解题的核心是准确识别对顶角和邻补角，利用二者的性质逐步推导角度，整体较为基础，侧重考查学生结合场景识别几何图形的能力。
【难度系数】
0.8
6. 如图1，要测量两堵墙所形成的$∠ AOB$的度数，但人不能进入围墙，如图2，嘉嘉反向延长$OA$至点$C$，反向延长$OB$至点$D$，可得$∠ AOB= ∠ COD$，则嘉嘉测量$∠ AOB$的依据是（
A.邻补角的定义
B.内错角相等
C.角平分线的定义
D.对顶角相等
D
）A.邻补角的定义
B.内错角相等
C.角平分线的定义
D.对顶角相等
答案
6.D
解析
【分析】
首先明确题目需求：无法直接测量∠AOB的度数，通过反向延长角的两边得到∠COD，要判断两个角相等的依据。解题时逐一辨析各选项对应的概念：①邻补角是两个角有一条公共边、另一边互为反向延长线，两角和为180°，不是两角相等的直接依据；②内错角是两条直线被第三条直线所截形成的位置角，本题不存在该场景；③角平分线是将一个角分成两个相等小角的射线，本题没有出现角平分线；④反向延长∠AOB的两边OA、OB得到OC、OD后，∠AOB和∠COD有公共顶点，且两边分别互为反向延长线，属于对顶角，对顶角的性质是相等，正好符合题中的等量关系。
【解析】
反向延长OA至C、OB至D后，∠AOB与∠COD有公共顶点O，且OA与OC互为反向延长线，OB与OD互为反向延长线，因此∠AOB与∠COD是对顶角。根据对顶角相等的性质，可得∠AOB=∠COD，因此该测量方法的依据是对顶角相等，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
对顶角相等；对顶角的定义
【点评】
本题结合实际测量场景考查角的相关概念的应用，解题关键是准确区分邻补角、对顶角、内错角、角平分线等概念的差异，能结合图形识别对顶角并运用其性质。
【难度系数】
0.8
首先明确题目需求：无法直接测量∠AOB的度数，通过反向延长角的两边得到∠COD，要判断两个角相等的依据。解题时逐一辨析各选项对应的概念：①邻补角是两个角有一条公共边、另一边互为反向延长线，两角和为180°，不是两角相等的直接依据；②内错角是两条直线被第三条直线所截形成的位置角，本题不存在该场景；③角平分线是将一个角分成两个相等小角的射线，本题没有出现角平分线；④反向延长∠AOB的两边OA、OB得到OC、OD后，∠AOB和∠COD有公共顶点，且两边分别互为反向延长线，属于对顶角，对顶角的性质是相等，正好符合题中的等量关系。
【解析】
反向延长OA至C、OB至D后，∠AOB与∠COD有公共顶点O，且OA与OC互为反向延长线，OB与OD互为反向延长线，因此∠AOB与∠COD是对顶角。根据对顶角相等的性质，可得∠AOB=∠COD，因此该测量方法的依据是对顶角相等，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
对顶角相等；对顶角的定义
【点评】
本题结合实际测量场景考查角的相关概念的应用，解题关键是准确区分邻补角、对顶角、内错角、角平分线等概念的差异，能结合图形识别对顶角并运用其性质。
【难度系数】
0.8
7. 如图，已知$OC⊥ AB$于点$O$，$∠ AOD:∠ COD=1:2$。
（1）若$OE$平分$∠ BOC$，求$∠ DOE$的度数；
（2）若$∠ AOE$的度数比$∠ COE$的度数的$3$倍多$30°$，试判断$OD$与$OE$的位置关系。
活动2
两条直线被第三条直线所截形成的角
（1）若$OE$平分$∠ BOC$，求$∠ DOE$的度数；
（2）若$∠ AOE$的度数比$∠ COE$的度数的$3$倍多$30°$，试判断$OD$与$OE$的位置关系。
活动2
两条直线被第三条直线所截形成的角
答案
7.（1）$∠ DOE=105°$
（2）$OD ⊥ OE$
（2）$OD ⊥ OE$
解析
【分析】
解题先从已知垂直条件入手，首先得到∠AOC、∠BOC均为90°：
（1）结合∠AOD和∠COD的比例关系，先求出两个角的度数；再利用角平分线的性质求出∠COE的度数，最后通过角的和差关系计算∠DOE即可。
（2）采用方程思想，设∠COE的度数为x，根据∠AOE的两种表示方法列方程求解出∠COE的度数，再计算∠DOE的度数，判断是否为90°即可得到OD和OE的位置关系。
【解析】
（1）
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°。
已知∠AOD:∠COD=1:2，且∠AOD+∠COD=∠AOC=90°，
设∠AOD=x，则∠COD=2x，可得x+2x=90°，解得x=30°，
∴∠COD=2×30°=60°。
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°+45°=105°。
（2）设∠COE=x°，由题意得∠AOE=3x°+30°，
又
∵∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+x°，
∴可列方程：90+x=3x+30，
解得x=30，即∠COE=30°，
由（1）可知∠COD=60°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°+30°=90°，
∴OD⊥OE。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠DOE=105°}$；（2）$\boldsymbol{OD ⊥ OE}$
【知识点】
垂直的定义，角平分线的性质，角的和差计算
【点评】
本题是角的运算的典型题型，结合了垂直、角平分线的性质，考查了比例关系和方程思想在角度计算中的应用，解题的核心是先根据已知条件推导各个小角的度数，再通过角度和差求解待求量或判断位置关系。
【难度系数】
0.7
解题先从已知垂直条件入手，首先得到∠AOC、∠BOC均为90°：
（1）结合∠AOD和∠COD的比例关系，先求出两个角的度数；再利用角平分线的性质求出∠COE的度数，最后通过角的和差关系计算∠DOE即可。
（2）采用方程思想，设∠COE的度数为x，根据∠AOE的两种表示方法列方程求解出∠COE的度数，再计算∠DOE的度数，判断是否为90°即可得到OD和OE的位置关系。
【解析】
（1）
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°。
已知∠AOD:∠COD=1:2，且∠AOD+∠COD=∠AOC=90°，
设∠AOD=x，则∠COD=2x，可得x+2x=90°，解得x=30°，
∴∠COD=2×30°=60°。
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°+45°=105°。
（2）设∠COE=x°，由题意得∠AOE=3x°+30°，
又
∵∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+x°，
∴可列方程：90+x=3x+30，
解得x=30，即∠COE=30°，
由（1）可知∠COD=60°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°+30°=90°，
∴OD⊥OE。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠DOE=105°}$；（2）$\boldsymbol{OD ⊥ OE}$
【知识点】
垂直的定义，角平分线的性质，角的和差计算
【点评】
本题是角的运算的典型题型，结合了垂直、角平分线的性质，考查了比例关系和方程思想在角度计算中的应用，解题的核心是先根据已知条件推导各个小角的度数，再通过角度和差求解待求量或判断位置关系。
【难度系数】
0.7
1. 下列各图中，$∠1$和$∠2$是同位角的是（
A.
A
）A.
答案
1.A
解析
【分析】
要判断∠1和∠2是否为同位角，首先回忆同位角的定义：两条直线被第三条直线（截线）所截，若两个角在截线的同旁，且同时在两条被截直线的同一侧，就是同位角，外形类似“F”型。解题时先逐个分析选项，先找两个角是否有公共的截线，再看是否满足“截线同旁、被截线同侧”的要求，不符合的直接排除，最终选出正确选项。
【解析】
首先明确同位角的判定条件：
1. 两个角由三条线相交形成，有公共的截线；
2. 两个角在截线的同一侧；
3. 两个角分别在两条被截直线的同一方向。
对各选项逐一判断：
选项A：∠1和∠2由两条斜线被水平直线所截形成，公共截线是水平直线，两个角都在截线的上方，且都在两条被截斜线的外侧，满足同位角的所有条件；
选项B：∠1和∠2在截线的两侧，不满足“截线同旁”的要求，不是同位角；
选项C：∠1和∠2分别在两条不同的竖线与水平直线的交点处，位置不在两条被截直线的同一方向，不是同位角；
选项D：∠1和∠2在截线的两侧，不符合同位角的位置要求，不是同位角。
综上，只有A选项的∠1和∠2是同位角。
【答案】
A
【知识点】
1. 同位角的定义
2. 三线八角识别
【点评】
本题是基础概念考查题，重点是掌握同位角的位置特征，也可通过“F”型的外形特征快速判断，熟练掌握这类角的识别是后续学习平行线性质与判定的基础。
【难度系数】
0.8
要判断∠1和∠2是否为同位角，首先回忆同位角的定义：两条直线被第三条直线（截线）所截，若两个角在截线的同旁，且同时在两条被截直线的同一侧，就是同位角，外形类似“F”型。解题时先逐个分析选项，先找两个角是否有公共的截线，再看是否满足“截线同旁、被截线同侧”的要求，不符合的直接排除，最终选出正确选项。
【解析】
首先明确同位角的判定条件：
1. 两个角由三条线相交形成，有公共的截线；
2. 两个角在截线的同一侧；
3. 两个角分别在两条被截直线的同一方向。
对各选项逐一判断：
选项A：∠1和∠2由两条斜线被水平直线所截形成，公共截线是水平直线，两个角都在截线的上方，且都在两条被截斜线的外侧，满足同位角的所有条件；
选项B：∠1和∠2在截线的两侧，不满足“截线同旁”的要求，不是同位角；
选项C：∠1和∠2分别在两条不同的竖线与水平直线的交点处，位置不在两条被截直线的同一方向，不是同位角；
选项D：∠1和∠2在截线的两侧，不符合同位角的位置要求，不是同位角。
综上，只有A选项的∠1和∠2是同位角。
【答案】
A
【知识点】
1. 同位角的定义
2. 三线八角识别
【点评】
本题是基础概念考查题，重点是掌握同位角的位置特征，也可通过“F”型的外形特征快速判断，熟练掌握这类角的识别是后续学习平行线性质与判定的基础。
【难度系数】
0.8
