登录
19. 如图, 直线 AB 和 CD 相交于点 O, ∠COE 是直角, OF 平分 ∠AOE, ∠COF = 34°.求 ∠AOC 和 ∠BOE 的度数.
答案
19. $\because ∠ COE=90°,∠ COF=34°,\therefore ∠ EOF=∠ COE-∠ COF=56°.\because OF$ 是 $∠ AOE$ 的平分线,$\therefore ∠ AOE=2∠ EOF=112°.\therefore ∠ AOC=∠ AOE-∠ COE=112°-90°=22°,∠ BOE=180°-∠ AOE=180°-112°=68°$.
20. 如图,在网格纸中,每个小正方形的边长均为1个单位长度.有一个$△ ABC$,它的三个顶点均与小正方形的顶点重合.
(1) 将$△ ABC$先向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度得到$△ A_1B_1C_1$,请在网格纸中画出$△ A_1B_1C_1$.
(2) 求$△ A_1B_1C_1$的面积.
(1) 将$△ ABC$先向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度得到$△ A_1B_1C_1$,请在网格纸中画出$△ A_1B_1C_1$.
(2) 求$△ A_1B_1C_1$的面积.
答案
20. (1) 如图,$△ A_1B_1C_1$ 即为所求.
(2) $S_{△ A_1B_1C_1}=2×4-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×2×2=8-1-2-2=3$.
21. 如图，$AB// CD$，$∠ CDE=120°$，$GF$交$∠ DEB$的平分线$EF$于点$F$，交$AB$于点$G$，$∠ AGF=130°$.求$∠ F$的度数.
答案
21. $\because AB// CD,∠ CDE=120°,\therefore ∠ BED=∠ CDE=120°.\because EF$ 平分 $∠ BED$,$\therefore ∠ BEF=\frac{1}{2}∠ BED=60°.\therefore ∠ GEF=120°.\because ∠ AGF=130°,\therefore ∠ F=∠ AGF-∠ GEF=10°$.
22. 已知点 A 在射线 CE 上，$∠ C = ∠ ADB$.
（1）如图 1，若 $AC // DB$，求证：$DA // BC$.
（2）如图 2，若 $∠ BAC = ∠ BAD$，$DB ⊥ BC$，请探究 $∠ DAE$ 与 $∠ C$ 的数量关系. 写出你的探究结论，并加以证明.
（3）如图 3，在（2）的条件下，过点 D 作 $DF // CB$ 交射线 CE 于点 F，当 $∠ DFE = 8∠ DAE$ 时，求 $∠ BAD$ 的度数.
（第 22 题）
（1）如图 1，若 $AC // DB$，求证：$DA // BC$.
（2）如图 2，若 $∠ BAC = ∠ BAD$，$DB ⊥ BC$，请探究 $∠ DAE$ 与 $∠ C$ 的数量关系. 写出你的探究结论，并加以证明.
（3）如图 3，在（2）的条件下，过点 D 作 $DF // CB$ 交射线 CE 于点 F，当 $∠ DFE = 8∠ DAE$ 时，求 $∠ BAD$ 的度数.
（第 22 题）
答案
22. (1) $\because AC// DB,\therefore ∠ DAE=∠ D$.又$\because ∠ C=∠ D,\therefore ∠ DAE=∠ C.\therefore DA// BC$.
(2) $∠ DAE+2∠ C=90°$ 证明:设 $CE$ 与 $BD$ 的交点为 $G$.$\because ∠ CGB$ 是 $△ ADG$ 的外角,$\therefore ∠ CGB=∠ D+∠ DAE.\because DB⊥ BC,\therefore ∠ CBD=90°.\therefore$ 在 $△ BCG$ 中,$∠ CGB+∠ C=90°$.$\therefore ∠ D+∠ DAE+∠ C=90°$.又$\because ∠ D=∠ C,\therefore 2∠ C+∠ DAE=90°$.
(3) 设 $∠ DAE=α$,则 $∠ DFE=8α$.$\because ∠ DFE+∠ AFD=180°,\therefore ∠ AFD=180°-8α$.$\because DF// CB,\therefore ∠ C=∠ AFD=180°-8α$.又$\because 2∠ C+∠ DAE=90°,\therefore 2(180°-8α)+α=90°$.$\therefore α=18°$.$\therefore ∠ C=180°-8α=36°=∠ ADB$.又$\because ∠ BAC=∠ BAD,\therefore ∠ ABC=∠ ABD=\frac{1}{2}∠ CBD=45°$.$\therefore$ 在 $△ ABD$ 中,$∠ BAD=180°-45°-36°=99°$.
(2) $∠ DAE+2∠ C=90°$ 证明:设 $CE$ 与 $BD$ 的交点为 $G$.$\because ∠ CGB$ 是 $△ ADG$ 的外角,$\therefore ∠ CGB=∠ D+∠ DAE.\because DB⊥ BC,\therefore ∠ CBD=90°.\therefore$ 在 $△ BCG$ 中,$∠ CGB+∠ C=90°$.$\therefore ∠ D+∠ DAE+∠ C=90°$.又$\because ∠ D=∠ C,\therefore 2∠ C+∠ DAE=90°$.
(3) 设 $∠ DAE=α$,则 $∠ DFE=8α$.$\because ∠ DFE+∠ AFD=180°,\therefore ∠ AFD=180°-8α$.$\because DF// CB,\therefore ∠ C=∠ AFD=180°-8α$.又$\because 2∠ C+∠ DAE=90°,\therefore 2(180°-8α)+α=90°$.$\therefore α=18°$.$\therefore ∠ C=180°-8α=36°=∠ ADB$.又$\because ∠ BAC=∠ BAD,\therefore ∠ ABC=∠ ABD=\frac{1}{2}∠ CBD=45°$.$\therefore$ 在 $△ ABD$ 中,$∠ BAD=180°-45°-36°=99°$.
