12. 在平面直角坐标系中，有一点$P(2a-3, 3a+3)$。
(1)若点$P$在$x$轴上，求点$P$的坐标；
(2)若点$P$在第二象限，且到两坐标轴的距离之和为7，求点$P$的坐标。

解：
(1) ∵点P在x轴上，
∴点P的纵坐标为0，即$3a+3=0$，
解得$a=-1$。
将$a=-1$代入横坐标$2a-3$，得$2×(-1)-3=-5$，
∴点P的坐标为$(-5, 0)$。
(2) ∵点P在第二象限，
∴点P的横坐标小于0，纵坐标大于0，
点P到y轴的距离为$|2a-3|=3-2a$，到x轴的距离为$|3a+3|=3a+3$。
由题意列方程：$(3-2a)+(3a+3)=7$，
化简得$a+6=7$，
解得$a=1$。
将$a=1$代入点P的坐标，得$2a-3=2×1-3=-1$，$3a+3=3×1+3=6$，
∴点P的坐标为$(-1, 6)$。

13. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，点 $ A(a, b) $，$ B(c, d) $，若 $ c - a = d - b ≠ 0 $，则称点 $ A $ 与 $ B $ 互为“等差点”。例如，点 $ A(-1, 3) $，点 $ B(2, 6) $，因为 $ 2 - (-1) = 6 - 3 ≠ 0 $，所以点 $ A $ 与 $ B $ 互为“等差点”。
(1)已知点 $ A(4, -2) $，写出点 $ A $ 在第一象限的“等差点”的坐标：______；（写出一个即可）
(2)已知点 $ A(5, 3) $ 的“等差点”$ B $ 在坐标轴上，求点 $ B $ 的坐标；
(3)已知点 $ A(-\sqrt{3}, 2m) $ 与点 $ B(2\sqrt{3}, -n) $ 互为“等差点”，且 $ m $，$ n $ 互为相反数，求点 $ B $ 的坐标。

解：
(1) 设所求点坐标为$(c,d)$，根据定义得$c-4=d-(-2)$，即$c=d+6$。
取$d=1$，得$c=7$，该点在第一象限，符合要求。
故答案为：$\boldsymbol{(7,1)}$（答案不唯一）。
(2) 设点$B$坐标为$(c,d)$，由“等差点”定义得：
$c-5=d-3≠0$
分两种情况讨论：
① 当点$B$在$x$轴上时，$d=0$，代入得：
$c-5=0-3$，解得$c=3$，
此时$c-5=-2≠0$，符合条件，即$B(3,0)$；
② 当点$B$在$y$轴上时，$c=0$，代入得：
$0-5=d-3$，解得$d=-2$，
此时$c-5=-5≠0$，符合条件，即$B(0,-2)$。
综上，点$B$的坐标为$(3,0)$或$(0,-2)$。
(3) 由点$A$与点$B$互为“等差点”，得：
$2\sqrt{3}-(-\sqrt{3})=-n-2m$
化简得：$3\sqrt{3}=-n-2m$
因为$m$，$n$互为相反数，所以$n=-m$，代入上式：
$3\sqrt{3}=-(-m)-2m$
整理得：$3\sqrt{3}=-m$，解得$m=-3\sqrt{3}$，
则$n=-m=3\sqrt{3}$，所以$-n=-3\sqrt{3}$。
因此点$B$的坐标为$(2\sqrt{3},-3\sqrt{3})$。

14. 如图，小明和小华参加寻宝游戏，“宝物”藏在点C处. 小明在点A处收到提示：“宝物”在当前位置的北偏东58°(即∠EAC =58°)；小华在点B处收到提示：“宝物”在当前位置的北偏东26°(即∠FBC =26°). 已知小华在小明的正东方向400 m处，求小华与“藏宝地”之间的距离BC的长.

解：由题意得，AE//BF，AE⊥AD，
∴ ∠EAB=∠ABF=90°，
∵ ∠EAC=58°，
∴ ∠CAB = 90° - ∠EAC = 90° - 58° = 32°，
∵ ∠FBC=26°，
∴ ∠CBD = 90° - ∠FBC = 90° - 26° = 64°，
∵ ∠CBD是△ABC的外角，
∴ ∠CBD = ∠CAB + ∠ACB，
∴ ∠ACB = ∠CBD - ∠CAB = 64° - 32° = 32°，
∴ ∠ACB = ∠CAB，
∴ BC = AB，
∵ AB = 400 m，
∴ BC = 400 m。
答：小华与“藏宝地”之间的距离BC的长为400 m。

15. 如图，在矩形ABCD中，点A的坐标为(5，1)，点C的坐标为(1，7)，点D的坐标为(1，1)，点B在第一象限，点Q是AB的中点，点P以每秒2个单位长度的速度沿着D—C—B—A的路线移动，设点P的移动时间为t s.
(1)点B的坐标为，点Q的坐标为；
(2)当t=4时，求点P的坐标；
(3)当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求t的值；
(4)连接DQ，PQ，在点P移动过程中，当$S_{△ DPQ}=4$时，直接写出t的值.

解：
(1) 由矩形性质可知，点B的横坐标与点A相同，纵坐标与点C相同，因此B的坐标为$(5,7)$。
由中点坐标公式，点Q是AB中点，得Q的坐标为$(5,\dfrac{1+7}{2})$，即$(5,4)$。
(2) 当$t=4$时，点P移动的总路程为$2×4=8$。
由$D(1,1)$，$C(1,7)$得$DC=7-1=6$，点P走完DC用时$6÷2=3$秒，剩余路程为$8-6=2$。
点P从C出发沿CB向右移动2个单位，CB平行于x轴，纵坐标保持7不变，横坐标为$1+2=3$。
因此点P的坐标为$(3,7)$。
(3) 点P到x轴的距离为4，即点P的纵坐标为4，分两种情况：
① 当点P在DC上时，点P横坐标为1，$DP=4-1=3$，因此$t=\dfrac{3}{2}$；
② 当点P在AB上时，点P横坐标为5，点P从D到C到B的总路程为$6+4=10$，从B向下移动的距离为$7-4=3$，总路程为$10+3=13$，因此$t=\dfrac{13}{2}$。
综上，$t$的值为$\dfrac{3}{2}$或$\dfrac{13}{2}$。
(4) $t$的值为$1$，$\dfrac{11}{2}$，$\dfrac{15}{2}$。