【例 1】观察下列各数：$3.14$，$0.131331333$，$1.23456789101112···$，$\frac{π}{3}$，$3.\dot{1}415\dot{9}$，$\sqrt{1\frac{7}{9}}$，$\sqrt[3]{5}$，$\sqrt[3]{-64}$，$0$。其中无理数有。
思路分析：$3.14$，$0.131331333$是有限小数；$3.\dot{1}415\dot{9}$是无限循环小数：$\sqrt{1\frac{7}{9}}=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}$是分数；$\sqrt[3]{-64}=-4$，$0$是整数，它们都是有理数；$1.23456789101112···$，$\frac{π}{3}$是无限不循环小数，因此它们是无理数，$\sqrt[3]{5}$很明显是无理数。
答案：$1.23456789101112···$，$\frac{π}{3}$，$\sqrt[3]{5}$
点拨：判断一个数是不是无理数，应根据定义抓住本质特征：无限不循环小数。注意$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{π}{3}$这样的数并不是有理数中的分数。

解：
$3.14$是有限小数，属于有理数；
$0.131331333$是有限小数，属于有理数；
$1.23456789101112···$是无限不循环小数，属于无理数；
$\frac{π}{3}$是无限不循环小数，属于无理数；
$3.\dot{1}415\dot{9}$是无限循环小数，属于有理数；
$\sqrt{1\frac{7}{9}}=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}$，是分数，属于有理数；
$\sqrt[3]{5}$是无限不循环小数，属于无理数；
$\sqrt[3]{-64}=-4$，是整数，属于有理数；
$0$是整数，属于有理数。
综上，无理数有：$1.23456789101112···$，$\frac{π}{3}$，$\sqrt[3]{5}$。

【例 2】求下列各式的值：
(1)$\sqrt[3]{-8}+\sqrt{(-8)^2}$；
(2)$\sqrt{0.0001}×\sqrt[3]{-1000000}-\sqrt[3]{1-\frac{19}{27}}$。
解：(1)原式$=-2 + 8 = 6$。
(2)原式$=0.01×(-100)-\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=-1-\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$。
点拨：被开方数中有加减法运算的，要先将其结果运算出来，再将这个结果开方。运算中要注意符号问题。

解：
(1)原式$=\sqrt[3]{-8}+\sqrt{(-8)^2}$
$=-2+\sqrt{64}$
$=-2+8$
$=6$
(2)原式$=\sqrt{0.0001}×\sqrt[3]{-1000000}-\sqrt[3]{1-\frac{19}{27}}$
$=0.01×(-100)-\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$
$=-1-\frac{2}{3}$
$=-\frac{5}{3}$

【例 3】已知实数$a$，$b$，$c$在数轴上的对应点如图 8 - 1 所示，化简：$\sqrt{a^2}-|a - c|+|b + c|-\sqrt{(b - a)^2}$。

图 8 - 1
思路分析：由图可知$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，$|a| ＞ |b| ＞ |c|$。因为有理数运算法则在实数范围内也适用，所以$a - c ＜ 0$，$b + c ＜ 0$，$b - a ＞ 0$，将原式化简即可。
解：由图可知$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，且$|a| ＞ |b| ＞ |c|$，则$a - c ＜ 0$，$b + c ＜ 0$，$b - a ＞ 0$。所以原式$=(-a)+(a - c)-(b + c)-(b - a)=-a + a - c - b - c - b + a = a - 2b - 2c$。
点拨：因为实数与数轴上的点是一一对应的，所以可根据点在数轴上的位置来确定实数的大小关系，其中还应注意$\sqrt{a^2}=|a|$的运用。

解：由数轴可知$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，且$|a| ＞ |b| ＞ |c|$，
则$a - c ＜ 0$，$b + c ＜ 0$，$b - a ＞ 0$。
原式$=|a| - |a - c| + |b + c| - |b - a|$
$= -a - [-(a - c)] + [-(b + c)] - (b - a)$
$= -a + a - c - b - c - b + a$
$= a - 2b - 2c$

【例 4】已知$x - 2$的平方根是$\pm2$，$2x + y + 7$的立方根是$3$，求$x^2 + y^2$的平方根。
思路分析：数$x$的平方根是$a$，则$x = a^2$，数$y$的立方根是$b$，则$y = b^3$。
解：因为$x - 2$的平方根是$\pm2$，所以$x - 2 = 4$。解得$x = 6$。
因为$2x + y + 7$的立方根是$3$，所以$2x + y + 7 = 27$。
又因为$x = 6$，所以$y = 8$。
所以$x^2 + y^2 = 6^2 + 8^2 = 100$。
所以$x^2 + y^2$的平方根是$\pm\sqrt{100}=\pm10$。
点拨：正确理解平方根、立方根的定义及意义是解决本题的关键。
综合复习

解：
因为$x - 2$的平方根是$\pm2$，所以$x - 2 = (\pm2)^2 = 4$，解得$x = 6$。
因为$2x + y + 7$的立方根是$3$，所以$2x + y + 7 = 3^3 = 27$。
将$x = 6$代入$2x + y + 7 = 27$，得$2×6 + y + 7 = 27$，解得$y = 8$。
则$x^2 + y^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$。
所以$x^2 + y^2$的平方根是$\pm\sqrt{100} = \pm10$。