1.如图1，利用图形面积关系推导a，b之间关系为。

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

【分析】
解决这类用图形面积推导代数关系的问题，核心思路是“同一图形用两种不同方法计算面积，所得结果相等”。首先观察原始图形：为边长为a的大正方形中挖去一个边长为b的小正方形，第一步可以先直接计算剩余不规则图形的面积，即大正方形面积减小正方形面积；第二步将剩余不规则图形剪拼成规则的长方形，再用长方形面积公式计算面积；最后根据剪拼前后面积不变，联立两个面积表达式即可得到a、b的关系。
【解析】
1. 计算原始剩余图形的面积：
边长为a的大正方形面积为$a^2$，挖去的边长为b的小正方形面积为$b^2$，因此剩余部分的面积$S_1 = a^2 - b^2$。
2. 计算剪拼后长方形的面积：
将剩余部分裁剪拼接为长方形，可得该长方形的长为$(a+b)$，宽为$(a-b)$，根据长方形面积公式，剪拼后图形的面积$S_2 = 长×宽 = (a+b)(a-b)$。
3. 联立面积等式：
因为剪拼前后图形的面积不变，即$S_1 = S_2$，因此可得$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$。
【答案】
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
【知识点】
平方差公式；面积法；数形结合思想
【点评】
本题通过几何图形的面积关系验证代数公式，将抽象的整式乘法和直观的几何图形结合，能够帮助大家理解平方差公式的推导逻辑，熟悉公式的结构特征。
【难度系数】
0.8

2.(2026·洪山)从图2到图3的变化过程中可以发现的公式是.

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

【分析】
本题是借助几何图形面积推导代数公式的题型，解题核心遵循等面积法思路：首先明确图2是边长为a的大正方形中挖去边长为b的小正方形，阴影面积可直接用两个正方形的面积差表示；其次图3是将图2的阴影部分拼接得到的长方形，先确定长方形的长和宽，再用长方形面积公式表示其面积；最后根据剪拼过程中阴影面积不变的规律，令两个面积表达式相等即可得到对应公式。
【解析】
设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b：
1. 计算图2的阴影面积：
图2阴影面积为大正方形面积减去小正方形面积，即 $S_1=a^2-b^2$。
2. 计算图3的长方形面积：
图3是由图2阴影部分拼接得到的长方形，测量可得长为$a+b$，宽为$a-b$，因此面积 $S_2=(a+b)(a-b)$。
3. 由于图形剪拼前后阴影部分的总面积不变，即$S_1=S_2$，因此可得公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
【答案】
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
【知识点】
平方差公式，等面积法，面积计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形的剪拼直观呈现平方差公式的几何意义，能帮助学生更深刻地理解公式的来源，解题关键是抓住剪拼前后面积不变的特点。
【难度系数】
0.8

3.已知$x^2 - y^2 = 8, x^2 - z^2 =5$,则$(x+y)(y+z)(z+x)(x-y)(z-x)(y-z)$的值为（）

A.80
B.40
C.120
D.20

C

【分析】
解题时首先观察已知条件和待求式的结构特征，看到平方差的形式优先联想平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。第一步先对待求式进行分组，把能凑成平方差公式的因式两两组合；第二步根据已知的两个平方差等式，求出第三个未知的平方差$y^2-z^2$的值；最后代入分组后的式子计算，计算时注意处理好负号即可得到结果。
【解析】
首先利用平方差公式对待求式分组变形：
$\begin{aligned}&(x+y)(y+z)(z+x)(x-y)(z-x)(y-z)\\=&[(x+y)(x-y)] × [(z+x)(z-x)] × [(y+z)(y-z)]\\=&(x^2-y^2) × (z^2-x^2) × (y^2-z^2)\end{aligned}$
已知$x^2 - y^2 =8$，$x^2 - z^2=5$，可得：
1. $z^2 - x^2 = -(x^2 - z^2) = -5$
2. 用第二个已知式减第一个已知式求$y^2-z^2$：
$ (x^2 - z^2) - (x^2 - y^2) =5 -8$，化简得$y^2 - z^2 = -3$
将三个值代入变形后的式子计算：
原式$=8 × (-5) × (-3) = 8 × 15 = 120$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整式运算
【点评】
本题核心是考查平方差公式的灵活运用，解题的关键是合理分组因式，结合已知条件推导未知的平方差项，计算过程中要注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7

4.计算：
(1)$(-x-y)(y-x)$；
(2)$(2x+1)(-2x+1)$；
(3)$(x+1)(x-1)-x^2$；
(4)$(x-5)(x+5)-(x-1)(-x-1)$；
(5)$(m+1)(m-1)(m^2+1)$；
(6)$(a+b)(a-b)+b(a+2b)-ab$。

(1)原式=$-(x+y)(y-x)=-(y^2 - x^2)=x^2 - y^2$；
(2)原式=$(1+2x)(1-2x)=1-4x^2$；
(3)原式=$(x^2 - 1)-x^2=-1$；
(4)原式=$(x^2 - 25)-(-1+x)(-1-x)=x^2 - 25-(1-x^2)=2x^2 - 26$；
(5)原式=$(m^2 - 1)(m^2 + 1)=m^4 - 1$；
(6)原式=$a^2 - b^2 + ab + 2b^2 - ab=a^2 + b^2$。

【分析】
这组计算题均围绕平方差公式的应用展开，解题思路如下：首先回忆平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，核心是找到两个相乘的多项式里相同的项（对应公式里的$a$）和互为相反数的项（对应公式里的$b$），先套用平方差公式计算乘法部分，再根据后续运算要求去括号、合并同类项，最终得到最简结果。具体处理时：若两个相乘的多项式项的顺序不一致，先调整顺序凑出“和×差”的形式；有多层乘法的，依次多次套用平方差公式；有加减混合的，套用公式后注意去括号的符号规则，再合并同类项即可。
【解析】
(1) 原式=$-(x+y)(y-x)=-(y^2 - x^2)=x^2 - y^2$
(2) 原式=$(1+2x)(1-2x)=1-4x^2$
(3) 原式=$(x^2 - 1)-x^2=-1$
(4) 原式=$(x^2 - 25)-(-1+x)(-1-x)=x^2 - 25-(1-x^2)=2x^2 - 26$
(5) 原式=$(m^2 - 1)(m^2 + 1)=m^4 - 1$
(6) 原式=$a^2 - b^2 + ab + 2b^2 - ab=a^2 + b^2$
【答案】
(1)$x^2-y^2$；(2)$1-4x^2$；(3)$-1$；(4)$2x^2-26$；(5)$m^4-1$；(6)$a^2+b^2$
【知识点】
平方差公式、整式混合运算、合并同类项
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题的关键是准确识别乘法式子里的相同项和相反项，套用公式时注意符号规则，去括号时不要漏乘或弄错符号，熟练掌握公式可以大幅提升整式化简的运算效率和准确率。
【难度系数】
0.75

5.先化简,再求值:$(x+2y)(x-2y)-(2x-y)(-2x-y)$,其中$x=8,y=-8$.

原式=$x^2 - 4y^2 - [(-y)^2 - (2x)^2]=5x^2 - 5y^2$，
当$x=8,y=-8$时，原式=0。

【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题思路清晰可按三步推进：首先观察算式结构，两个乘积项都符合“两数和乘两数差”的特征，可直接用平方差公式展开；其次对展开后的式子去括号、合并同类项，得到最简整式；最后将x、y的取值代入最简式计算结果即可。需要注意处理第二个乘积项时，要找准相同项为$-y$，相反项为$2x$和$-2x$，避免符号计算错误。
【解析】
解：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$逐步计算：
1. 计算第一个乘积项：$(x+2y)(x-2y)=x^2-(2y)^2=x^2-4y^2$
2. 变形计算第二个乘积项：$(2x-y)(-2x-y)=(-y+2x)(-y-2x)=(-y)^2-(2x)^2=y^2-4x^2$
3. 代入原式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=x^2-4y^2 - (y^2-4x^2)\\&=x^2-4y^2 - y^2 +4x^2\\&=5x^2-5y^2\end{aligned}$
4. 代入$x=8$，$y=-8$求值：
$x^2=8^2=64$，$y^2=(-8)^2=64$，则$原式=5×64 -5×64=0$
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式化简求值
3. 合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题型，核心考查平方差公式的灵活运用，解题关键是准确识别平方差公式中的相同项和相反项，去括号时注意符号变化，代入求值时可利用平方的性质简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8

6.求证:对任意正整数$n,(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)$的值都是10的倍数.

证明:原式=$(3n)^2 - 1^2 - (9 - n^2)=10n^2 - 10=10(n^2 - 1)$，
∴原式是10的倍数。

【分析】
要证明原式的值是10的倍数，核心是将原式化简为10乘整数的形式。首先观察原式的两个乘积项，均符合“两数和与两数差相乘”的平方差公式结构，因此先利用平方差公式分别展开两个乘积，再通过去括号、合并同类项化简整式，最后提取公因式10，结合n为正整数的条件即可完成证明。
【解析】
证明：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，对原式各项展开：
$(3n+1)(3n-1)=(3n)^2 - 1^2$，
$(3-n)(3+n)=3^2 - n^2=9 - n^2$，
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(3n)^2 - 1^2 - (9 - n^2)\\&=9n^2 - 1 - 9 + n^2\\&=10n^2 - 10\\&=10(n^2 - 1)\end{aligned}$
因为n是正整数，所以$n^2 - 1$为整数，因此$10(n^2 - 1)$是10的倍数，即对任意正整数n，原式的值都是10的倍数。
【答案】
证明:原式=$(3n)^2 - 1^2 - (9 - n^2)=10n^2 - 10=10(n^2 - 1)$，
∴原式是10的倍数。
【知识点】
平方差公式，整式化简，公因式提取
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用与整式化简能力，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，正确展开并化简整式即可判断整除性，属于整式乘法模块的基础常规题型。
【难度系数】
0.8

7.(教材P118T8变式)$(x-1)(x+1)=$,$(x-1)(x^2+x+1)=$,
$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=$.
你发现的规律是.
运用上述规律计算:$2^9+2^8+2^7+\dots+2+1$.

$x^2 - 1$ $x^3 - 1$ $x^4 - 1$
$(x-1)(x^n+x^{n-1}+\dots+1)=x^{n+1}-1$
解:$2^9+2^8+2^7+\dots+2+1=(2-1)(2^9+2^8+\dots+2+1)=2^{10}-1$。

【分析】
前三个填空可直接运用多项式乘多项式的运算法则，将两个多项式的各项分别相乘后合并同类项即可得到结果；接下来观察三个算式的结构和结果：左边都是$(x-1)$与按$x$降幂排列、各项系数为1、最高次为$n$次且含常数项1的多项式相乘，右边的结果均为$x$的（最高次+1）次方减1，据此可总结出通用规律；最后计算$2$的幂次求和式时，发现该求和式符合规律中第二个因式的结构，因此给原式乘$(2-1)$（其值为1，不改变原式大小），即可套用总结的规律快速算出结果。
【解析】
1. 计算前三个整式乘积：
(1) $(x-1)(x+1) = x^2 +x -x -1 = x^2 -1$
(2) $(x-1)(x^2+x+1) = x^3 +x^2 +x -x^2 -x -1 = x^3 -1$
(3) $(x-1)(x^3+x^2+x+1) = x^4 +x^3 +x^2 +x -x^3 -x^2 -x -1 = x^4 -1$
2. 归纳规律：观察上述算式可得，对于任意正整数$n$，有：
$(x-1)(x^n +x^{n-1} + \dots +x +1) = x^{n+1} -1$
3. 计算$2^9+2^8+2^7+\dots+2+1$：
令规律中$x=2$，$n=9$，给原式乘以$(2-1)$（值为1，不改变原式大小），可得：
$2^9+2^8+2^7+\dots+2+1 = (2-1)(2^9+2^8+\dots+2+1) = 2^{10} -1$
【答案】
$x^2 - 1$；$x^3 - 1$；$x^4 - 1$；$(x-1)(x^n+x^{n-1}+\dots+1)=x^{n+1}-1$（$n$为正整数）；$2^{10}-1$
【知识点】
多项式乘多项式；整式规律探究；代数式化简
【点评】
本题从基础整式运算出发，引导学生通过特殊示例归纳出一般性规律，再运用规律解决较复杂的计算问题，侧重考查学生的运算能力、归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7