【例1】计算$2x(4x^2 + 1)$正确的结果是()

A.$6x^3 + 2x$
B.$8x^3 + 1$
C.$8x^3 + 2x$
D.$8x^{22} + 2x$

C

【分析】
这是一道单项式乘多项式的整式运算题，解题思路如下：首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所有乘积相加。运算时要注意两点：一是不能漏乘多项式的任意一项（本题中多项式的常数项1也要和2x相乘）；二是计算单项式乘单项式时，系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘时底数不变、指数相加，避免运算错误。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
原式 = $2x · 4x^2 + 2x · 1$
计算第一项：$2 × 4 = 8$，$x · x^2 = x^{1+2} = x^3$，因此$2x · 4x^2 = 8x^3$
计算第二项：$2x · 1 = 2x$
将两项求和得：$8x^3 + 2x$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式，同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则，易错点是漏乘多项式的常数项，或是同底数幂相乘时错误地将指数相乘，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.7

练习1.计算$a(1+a)-a(1-a)$的结果为()

A.$2a$
B.$2a^2$
C.$0$
D.$-2a+2a$

B

【分析】
本题考查整式的混合运算，解题思路如下：第一步根据单项式乘多项式的运算法则，分别计算两个乘法项，将括号展开；第二步按照去括号规则处理括号前的减号，注意符号变化；第三步合并同类项，化简得到最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
解：根据单项式乘多项式法则先展开括号：
$a(1+a) = a·1 + a· a = a + a^2$
$a(1-a) = a·1 - a· a = a - a^2$
将上述结果代入原式运算：
$\begin{aligned}a(1+a)-a(1-a)&=(a + a^2) - (a - a^2)\\&=a + a^2 - a + a^2\\&=(a - a) + (a^2 + a^2)\\&=2a^2\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查运算法则的掌握，解题时需格外注意去括号时的符号变化，避免因粗心导致运算错误。
【难度系数】
0.8

练习2.通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是()

A.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
B.$2a(a+b)=2a^2+2ab$
C.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
D.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

B

【分析】
解决这类几何图形表示代数恒等式的问题，核心思路是用两种不同的方法计算同一个图形的面积，两个结果相等即可得到对应的恒等式。第一步先确定大图形的形状，计算它的总面积；第二步计算所有小图形的面积之和；最后联立两个面积表达式，对比选项选出正确答案即可。
【解析】
1. 计算大长方形的总面积：
观察图形可得，大长方形的长为$a+a=2a$，宽为$a+b$，根据长方形面积公式$面积=长×宽$，可得大长方形面积为：
$S=2a(a+b)$
2. 计算四个小图形的面积和：
四个小图形的面积分别为$a^2$、$ab$、$a^2$、$ab$，因此总面积为：
$S=a^2 + ab + a^2 + ab = 2a^2 + 2ab$
3. 联立两个面积表达式，可得恒等式：
$2a(a+b)=2a^2+2ab$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；几何面积验证恒等式
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，通过“整体法”计算大图形面积和“分割法”计算各小部分面积和两种方式推导恒等式，是整式乘法章节的典型基础题型，熟练掌握两种面积计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8

(1)$(-3x+1)(-2x)=$;(2)$(x^2 - 2y)(xy^2)=$.

(1)$6x^2-2x$ (2)$x^3 y^2 - 2xy^3$

【分析】
这两道题均考查单项式乘多项式的运算，解题核心是运用单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的积相加。解题时需注意两点：一是相乘时的符号判断，同号得正、异号得负；二是同底数幂相乘时，底数不变，指数相加。
第(1)题：用单项式-2x分别乘多项式(-3x+1)的两项-3x和1，分别计算乘积后相加即可；第(2)题：用单项式xy²分别乘多项式(x²-2y)的两项x²和-2y，分别计算乘积后相加即可。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}(-3x+1)(-2x)&=(-3x)×(-2x) + 1×(-2x)\\&=6x^2 - 2x\end{aligned}$
(2) 根据单项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}(x^2 - 2y)(xy^2)&=x^2· xy^2 + (-2y)· xy^2\\&=x^{2+1}y^2 - 2x y^{1+2}\\&=x^3y^2 - 2xy^3\end{aligned}$
【答案】
(1)$6x^2-2x$；(2)$x^3 y^2 - 2xy^3$
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，核心考查对单项式乘多项式运算法则的掌握程度，解题时需注意不要漏乘多项式的项，同时要准确判断运算符号、正确计算同底数幂的指数，避免低级错误。
【难度系数】
0.85

练习4.(1)a(b−c)−b(c+a)=;

(1)$-ac-bc$

【分析】
本题是整式化简类题目，解题思路如下：首先观察式子是两个单项式乘多项式的差，第一步先依据单项式乘多项式的法则分别计算两个乘积项；第二步去括号时注意第二个乘积前是负号，括号内的每一项都要变号；最后合并同类项即可得到最简结果，计算时要注意不要漏乘多项式的每一项。
【解析】
根据单项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}原式&=a· b - a· c - (b· c + b· a)\\&=ab - ac - bc - ab\\&=(ab-ab) - ac - bc\\&=-ac - bc\end{aligned}$
【答案】
$-ac-bc$
【知识点】
单项式乘多项式、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则，解题时要格外注意去括号的符号变化，避免出现漏乘、符号写错的低级错误。
【难度系数】
0.85

(2)$-2ab·(a^{2}b+3ab^{2}-1)=$.

(2)$-2a^3 b^2 - 6a^2 b^3 + 2ab$

【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路是依据单项式乘多项式的运算法则，用单项式$-2ab$分别乘以多项式$a^2b+3ab^2-1$的每一项，再把所有乘积相加，计算时要注意每一项的符号，不要漏乘常数项$-1$。
【解析】
根据单项式乘多项式法则$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，计算如下：
$\begin{aligned}-2ab·(a^{2}b+3ab^{2}-1)&=-2ab·a^2b + (-2ab)·3ab^2 + (-2ab)·(-1)\\&=-2a^{1+2}b^{1+1} -6a^{1+1}b^{1+2} + 2ab\\&=-2a^3b^2 -6a^2b^3 +2ab\end{aligned}$
【答案】
$-2a^3 b^2 - 6a^2 b^3 + 2ab$
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是掌握单项式乘多项式的运算规则，运算时需注意两点：一是不要漏乘多项式中的常数项，二是要准确判断每一项乘积的符号，避免因符号处理失误出错。
【难度系数】
0.8

练习5.(教材P105例2改编)计算：
(1)$3a(2a - 1)$；
(2)$-x(3x^2 - 2x - 2)$；
(3)$(x^2 - 2y)(x^2y)^2$；
(4)$-2xy(x^2 - 3y^2) - 3xy(2x^2 - 2y^2)$。

解:(1)原式$=6a^2-3a$；
(2)原式$=-3x^3+2x^2+2x$；
(3)原式$=(x^2-2y)(x^4 y^2)$
$=x^6 y^2-2x^4 y^3$；
(4)原式$=-2x^3 y+6xy^3-6x^3 y+6xy^3$
$=-8x^3 y+12xy^3$。

【分析】
这组题目考查整式乘法相关运算，解题思路如下：①首先明确核心法则：单项式乘多项式，需用单项式去乘多项式的每一项，再把所有乘积相加，运算过程中要注意每一项的符号，同底数幂相乘遵循“底数不变，指数相加”的规则；②运算顺序：若式子中有乘方，先算乘方运算，再算乘法，最后合并同类项化简结果；③遇到多组单项式乘多项式相加减的题型，先分别计算每一组乘法，再合并同类项即可。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则，用$3a$分别乘多项式$2a-1$的每一项：
原式$=3a· 2a + 3a· (-1) = 6a^2 - 3a$
(2) 用$-x$分别乘多项式$3x^2-2x-2$的每一项，注意负号运算规则：
原式$=(-x)· 3x^2 + (-x)· (-2x) + (-x)· (-2) = -3x^3 + 2x^2 + 2x$
(3) 先计算乘方运算$(x^2y)^2$，再做单项式乘多项式运算：
先算$(x^2y)^2 = (x^2)^2· y^2 = x^4y^2$
再用$x^2$、$-2y$分别乘$x^4y^2$：原式$=x^2· x^4y^2 + (-2y)· x^4y^2 = x^6y^2 - 2x^4y^3$
(4) 先分别计算两组单项式乘多项式，再合并同类项：
计算$-2xy(x^2-3y^2) = -2xy· x^2 + (-2xy)· (-3y^2) = -2x^3y + 6xy^3$
计算$-3xy(2x^2-2y^2) = -3xy· 2x^2 + (-3xy)· (-2y^2) = -6x^3y + 6xy^3$
合并同类项：原式$= (-2x^3y -6x^3y) + (6xy^3 + 6xy^3) = -8x^3y + 12xy^3$
【答案】
(1) $6a^2-3a$；(2) $-3x^3+2x^2+2x$；(3) $x^6 y^2-2x^4 y^3$；(4) $-8x^3 y+12xy^3$
【知识点】
单项式乘多项式，积的乘方，合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，重点考查对单项式乘多项式运算法则的掌握，解题时要注意运算顺序，尤其要注意负号参与运算时的符号变化，避免出现漏乘项、符号错误或者同类项合并错误的问题，熟练掌握该类运算可为后续复杂整式运算打好基础。
【难度系数】
0.8

【例2】先化简，再求值：$3a(a^2 - 2a + 1) - 2a^2(a - 3)$，其中$a=2$。

解:原式$=3a^3-6a^2+3a-2a^3+6a^2$
$=a^3+3a$
当$a=2$时,原式$=8+6=14$。

【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路清晰分为三步：第一步，根据单项式乘多项式的分配律去掉两个括号，运算时要注意系数相乘的结果以及符号处理，尤其是第二个括号前是负号，乘完后各项符号要确认正确；第二步，找出去括号后式子中的同类项，按照合并同类项的法则合并，得到最简整式；第三步，将$a=2$代入最简整式中计算得到最终结果，先化简再代入能大幅降低计算量，减少出错概率。
【解析】
首先利用单项式乘多项式法则去括号：
原式$=3a· a^2 + 3a· (-2a) + 3a·1 - 2a^2· a - 2a^2· (-3)$
$=3a^3 - 6a^2 + 3a - 2a^3 + 6a^2$
接下来合并同类项：
$3a^3 - 2a^3 = a^3$，$-6a^2 + 6a^2 = 0$，剩余项为$3a$，因此化简结果为$a^3 + 3a$
将$a=2$代入最简式计算：
原式$=2^3 + 3×2 = 8 + 6 = 14$
【答案】
14
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础常规题，重点考查单项式乘多项式的运算规则和合并同类项的能力，解题时需注意去括号时的符号问题，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8

练习.先化简,再求值:$x(x-1)+x(x^2+2)-(2x)^2(x+1)$,其中$x=-1.$

解:原式$=x^2-x+x^3+2x-4x^3-4x^2$
$=-3x^3-3x^2+x$
当$x=-1$时,原式$=3-3-1=-1$。

【分析】
这是一道整式化简求值题，解题可分三步思考：第一步先展开各项，先运用单项式乘多项式法则计算前两个乘法项，再先算积的乘方得到$(2x)^2$的结果，再计算它与$(x+1)$的乘积，注意括号前是负号，去括号时括号内各项都要变号；第二步合并同类项，将所含字母相同、且相同字母的次数也相同的项合并，得到最简整式；第三步将$x=-1$代入最简整式计算结果，先化简再代入能简化计算、降低出错概率。
【解析】
解：根据单项式乘多项式、积的乘方法则展开各项：
原式$=x^2 - x + x^3 + 2x - 4x^2(x + 1)$
$=x^2 - x + x^3 + 2x - 4x^3 - 4x^2$
合并同类项：
$=(x^3 - 4x^3) + (x^2 - 4x^2) + (-x + 2x)$
$=-3x^3 - 3x^2 + x$
将$x=-1$代入化简后的式子计算：
原式$=-3×(-1)^3 - 3×(-1)^2 + (-1)$
$=-3×(-1) - 3×1 - 1$
$=3 - 3 - 1$
$=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查单项式乘多项式的运算法则与合并同类项的方法，解题时要注意去括号的符号变化、负数乘方的符号处理，养成先化简再求值的习惯能有效减少计算错误。
【难度系数】
0.8