4. 先化简，再求值：
(1) $(3 + 4x)^2 + (3 - 4x)(3 + 4x)$，其中 $x = -\frac{1}{4}$；
(2) $(2x - 1)^2 - (3x + 1)(3x - 1) + 4x(x - 1)$，其中 $x^2 + 8x - 3 = 0$。

4. (1) 原式 = 9 + 24x + 16x² + 9 - 16x² = 18 + 24x. 当 x = - $\frac{1}{4}$ 时，原式 = 18 + 24×(- $\frac{1}{4}$) = 12. (2) 原式 = 4x² - 4x + 1 - 9x² + 1 + 4x² - 4x = -x² - 8x + 2.
∵ x² + 8x - 3 = 0，
∴ x² + 8x = 3，
∴ 原式 = -(x² + 8x) + 2 = -3 + 2 = -1.

5. (1) 已知 $x + y = 5$，$xy = -6$。
① 求 $x^2 + y^2$ 的值；
② 求 $(x - y)^2$ 的值。
(2) 已知 $x^2 + y^2 = 34$，$x + y = 2$，求 $xy$ 和 $x - y$ 的值。
(3) 已知 $x + 2y = 3$，$xy = 1$。求 $x^2 - xy + 4y^2$ 的值。
(4) 若 $x$ 满足 $(30 - x)(x - 10) = 160$，求 $(30 - x)^2 + (x - 10)^2$ 的值。

5. (1) ①
∵ x + y = 5，xy = -6，
∴ (x + y)² = 25.
∴ x² + y² + 2xy = 25，
∴ x² + y² = 25 - 2×(-6) = 37. ② 由 ①，得 x² + y² = 37，
∴ (x - y)² = x² + y² - 2xy = 37 - 2×(-6) = 49. (2)
∵ x² + y² = 34，x + y = 2，x² + y² = (x + y)² - 2xy，
∴ 34 = 2² - 2xy，
∴ xy = -15，
∴ (x - y)² = x² - 2xy + y² = 34 - 2×(-15) = 64，
∴ x - y = ±8. (3)
∵ x + 2y = 3，xy = 1，
∴ x² - xy + 4y² = (x + 2y)² - 5xy = 3² - 5×1 = 4. (4) 设 30 - x = a，x - 10 = b，则 ab = 160，a + b = 20，
∴ a² + b² = (a + b)² - 2ab = 20² - 2×160 = 80，即 (30 - x)² + (x - 10)² = 80.

6. (1) 填空：$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - \_\_\_\_\_\_ = (x - \frac{1}{x})^2 + $。
(2) 若 $a + \frac{1}{a} = 5$，则 $a^2 + \frac{1}{a^2} = $。
(3) 若 $a^2 - 3a + 1 = 0$，求 $a^2 + \frac{1}{a^2}$ 的值。

6. (1) 2 2 (2) 23 (3) 由题意，得 a ≠ 0，将 a² - 3a + 1 = 0 的两边同时除以 a，得 a - 3 + $\frac{1}{a}$ = 0，
∴ a + $\frac{1}{a}$ = 3，
∴ a² + $\frac{1}{a²}$ = (a + $\frac{1}{a}$)² - 2 = 7.