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例2 已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数。
答案
设这个角为$x^{\circ}$。
根据题意，得$180 - x = 4(90 - x)$。
解这个方程：
$\begin{aligned}180 - x &= 360 - 4x\\4x - x &= 360 - 180\\3x &= 180\\x &= 60\end{aligned}$
因此，这个角为$60^{\circ}$。
根据题意，得$180 - x = 4(90 - x)$。
解这个方程：
$\begin{aligned}180 - x &= 360 - 4x\\4x - x &= 360 - 180\\3x &= 180\\x &= 60\end{aligned}$
因此，这个角为$60^{\circ}$。
解析
【分析】首先设这个角的度数为$x°$，根据余角和补角的定义，这个角的余角为$(90 - x)°$，补角为$(180 - x)°$；题目中给出补角是余角的4倍，据此建立一元一次方程，解方程即可求出这个角的度数。
【解析】设这个角为$x°$。根据题意，得：
$180 - x = 4(90 - x)$
解这个方程：
$\begin{aligned}180 - x &= 360 - 4x\\4x - x &= 360 - 180\\3x &= 180\\x &= 60\end{aligned}$
【答案】$60°$
【知识点】余角与补角、一元一次方程的应用
【点评】本题属于基础题型，考查余角、补角的概念及一元一次方程的应用，解题核心是根据题意准确列出方程，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】设这个角为$x°$。根据题意，得：
$180 - x = 4(90 - x)$
解这个方程：
$\begin{aligned}180 - x &= 360 - 4x\\4x - x &= 360 - 180\\3x &= 180\\x &= 60\end{aligned}$
【答案】$60°$
【知识点】余角与补角、一元一次方程的应用
【点评】本题属于基础题型，考查余角、补角的概念及一元一次方程的应用，解题核心是根据题意准确列出方程，难度较低。
【难度系数】0.8
【变式训练2】如图，直线AB，CD交于点O，∠AOE = 90°。若∠AOC：∠COE = 4：5，则∠AOD =(
A.120°
B.130°
C.140°
D.150°
C
)A.120°
B.130°
C.140°
D.150°
答案
变式训练 2 C
解析
解：设∠AOC = 4x，∠COE = 5x。
∵∠AOE = 90°，∠AOE = ∠AOC + ∠COE，
∴4x + 5x = 90°，解得x = 10°。
∴∠AOC = 4x = 40°。
∵直线AB，CD交于点O，
∴∠AOD = 180° - ∠AOC = 180° - 40° = 140°。
答案：C
∵∠AOE = 90°，∠AOE = ∠AOC + ∠COE，
∴4x + 5x = 90°，解得x = 10°。
∴∠AOC = 4x = 40°。
∵直线AB，CD交于点O，
∴∠AOD = 180° - ∠AOC = 180° - 40° = 140°。
答案：C
1. 若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系为(
A.互余
B.互补
C.相等
D.以上都不对
C
)A.互余
B.互补
C.相等
D.以上都不对
答案
1. C
解析
∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，
则∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，
所以∠1=180°-∠2，∠3=180°-∠2，
因此∠1=∠3。
C
则∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，
所以∠1=180°-∠2，∠3=180°-∠2，
因此∠1=∠3。
C
2. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠α与∠β一定互余的是(
D
)答案
2. D
解析
解：A. 无法确定∠α与∠β的关系，不互余。
B. 无法确定∠α与∠β的关系，不互余。
C. 无法确定∠α与∠β的关系，不互余。
D. ∠α + ∠β = 90°，互余。
结论：D
B. 无法确定∠α与∠β的关系，不互余。
C. 无法确定∠α与∠β的关系，不互余。
D. ∠α + ∠β = 90°，互余。
结论：D
3. 如图，已知直线AC和直线BD相交于点O。若∠1 + ∠2 = 70°，则∠BOC =(
A.100°
B.115°
C.135°
D.145°
D
)A.100°
B.115°
C.135°
D.145°
答案
3. D
解析
解：
∵直线AC和直线BD相交于点O，
∴∠1=∠2（对顶角相等）。
∵∠1+∠2=70°，
∴∠1=∠2=35°。
∵∠1+∠BOC=180°（邻补角互补），
∴∠BOC=180°-∠1=180°-35°=145°。
D
∵直线AC和直线BD相交于点O，
∴∠1=∠2（对顶角相等）。
∵∠1+∠2=70°，
∴∠1=∠2=35°。
∵∠1+∠BOC=180°（邻补角互补），
∴∠BOC=180°-∠1=180°-35°=145°。
D
4. 若∠A = 36°16′，∠A与∠B互补，则∠B的度数为
143°44′
。答案
4. 143°44′
解析
因为∠A与∠B互补，所以∠A + ∠B = 180°。∠A = 36°16′，则∠B = 180° - 36°16′ = 143°44′。
5. 如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD。若∠DOE的余角为75°，则∠AOC的度数为
30°
。答案
5. 30°
解析
解：
∵∠DOE的余角为75°，
∴∠DOE=90°-75°=15°。
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠DOE=2×15°=30°。
∵直线AB，CD交于点O，
∴∠AOC=∠BOD=30°。
故∠AOC的度数为30°。
∵∠DOE的余角为75°，
∴∠DOE=90°-75°=15°。
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠DOE=2×15°=30°。
∵直线AB，CD交于点O，
∴∠AOC=∠BOD=30°。
故∠AOC的度数为30°。
6. 如图，直线AB，CD交于点O，∠AOE = 90°。若∠BOD：∠EOD = 1：2，则∠AOC的度数为
30°
。答案
6. 30°
解析
解：设∠BOD = x，则∠EOD = 2x。
∵∠AOE = 90°，
∴∠EOB = 180° - ∠AOE = 90°。
∵∠EOB = ∠EOD + ∠BOD，
∴x + 2x = 90°，解得x = 30°。
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC = ∠BOD = 30°。
30°
∵∠AOE = 90°，
∴∠EOB = 180° - ∠AOE = 90°。
∵∠EOB = ∠EOD + ∠BOD，
∴x + 2x = 90°，解得x = 30°。
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC = ∠BOD = 30°。
30°
7. 如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠AOC，OF平分∠BOE。若∠AOD：∠COE = 4：1，求∠DOF的度数。
答案
7. 135°
解析
解：设∠COE = $ x $，则∠AOD = $ 4x $。
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOC = $ 2∠COE = 2x $。
∵∠AOD + ∠AOC = 180°，
∴$ 4x + 2x = 180° $，解得$ x = 30° $。
∴∠COE = 30°，∠AOC = 60°，∠AOD = 120°。
∠BOE = 180° - ∠AOE = 180° - 30° = 150°。
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOF = $ \frac{1}{2}∠BOE = 75° $。
∵∠AOD = ∠BOC = 120°，
∴∠COF = ∠BOC - ∠BOF = 120° - 75° = 45°。
∠DOF = 180° - ∠COF = 180° - 45° = 135°。
答：∠DOF的度数为135°。
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOC = $ 2∠COE = 2x $。
∵∠AOD + ∠AOC = 180°，
∴$ 4x + 2x = 180° $，解得$ x = 30° $。
∴∠COE = 30°，∠AOC = 60°，∠AOD = 120°。
∠BOE = 180° - ∠AOE = 180° - 30° = 150°。
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOF = $ \frac{1}{2}∠BOE = 75° $。
∵∠AOD = ∠BOC = 120°，
∴∠COF = ∠BOC - ∠BOF = 120° - 75° = 45°。
∠DOF = 180° - ∠COF = 180° - 45° = 135°。
答：∠DOF的度数为135°。
