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18.综合与应用
【阅读材料】小桂和小林在学习了三角形之后，对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究.他们首先各自查找了相关问题的资料.小桂找到的资料如下.
《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积公式为
$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2 - (\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2})^2]}$，
小林找到的资料如下.
古希腊数学家海伦在他的《测地术》著作中记载：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记$p=\frac{a + b + c}{2}$，那么这个三角形的面积为
$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.
根据以上信息，回答以下问题.
【学以致用】(1)已知一个三角形的三边长分别为3，4，5.
①若利用小林提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出p和S的值；
②请利用小桂提供的资料求这个三角形的面积.
【拓展应用】(2)在$△ ABC$中，$AC=7$，$AB=6$，$BC=5$，点M是AB的中点，点N是AC边上的一个三等分点，连接MN，求$△ AMN$的面积.
【阅读材料】小桂和小林在学习了三角形之后，对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究.他们首先各自查找了相关问题的资料.小桂找到的资料如下.
《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积公式为
$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2 - (\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2})^2]}$，
小林找到的资料如下.
古希腊数学家海伦在他的《测地术》著作中记载：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记$p=\frac{a + b + c}{2}$，那么这个三角形的面积为
$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.
根据以上信息，回答以下问题.
【学以致用】(1)已知一个三角形的三边长分别为3，4，5.
①若利用小林提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出p和S的值；
②请利用小桂提供的资料求这个三角形的面积.
【拓展应用】(2)在$△ ABC$中，$AC=7$，$AB=6$，$BC=5$，点M是AB的中点，点N是AC边上的一个三等分点，连接MN，求$△ AMN$的面积.
答案
18. (1) ①$p=6,S=6$；
②$S=\sqrt{\dfrac{1}{4}[3^2×4^2-(\dfrac{3^2+4^2-5^2}{2})^2]}=6$；
(2)$△AMN$的面积为 $2\sqrt{6}$或$\sqrt{6}.$
②$S=\sqrt{\dfrac{1}{4}[3^2×4^2-(\dfrac{3^2+4^2-5^2}{2})^2]}=6$；
(2)$△AMN$的面积为 $2\sqrt{6}$或$\sqrt{6}.$
