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7. 如图，摆一摆，找规律。
(1)请画出第⑥个图形；
(2)摆第7个图形需要用
(3)摆第n个图形需要用
(1)请画出第⑥个图形；
(2)摆第7个图形需要用
15
根小棒；(3)摆第n个图形需要用
2n+1
根小棒。答案
7.(1)解:第⑥个图形如答图所示.
(2)15
(3)(2n+1)
解析
【分析】
先从已知图形入手，数出每个图形的小棒数量，观察小棒数和图形序号的关系：第1个图形3根、第2个5根、第3个7根、第4个9根，可发现每增加1个三角形，小棒数就增加2根，且图形序号等于图中三角形的个数，据此推导通用规律，画图时按拼接规律画出6个相连的三角形即可。
【解析】
首先统计已知图形的小棒数量：
第①个图形（1个三角形）：小棒数=3=2×1+1；
第②个图形（2个三角形）：小棒数=5=2×2+1；
第③个图形（3个三角形）：小棒数=7=2×3+1；
第④个图形（4个三角形）：小棒数=9=2×4+1；
根据规律求解：
(1) 第n个图形包含n个三角形，相邻三角形共用1条边，因此第⑥个图形为6个按此规律拼接的三角形，如答图所示；
(2) 求第7个图形的小棒数，代入规律得：2×7+1=15；
(3) 归纳可得，第n个图形的小棒数为2n+1根。
【答案】
(1)解:第⑥个图形如答图所示.
(2)15
(3)(2n+1)
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是抓住图形变化时小棒数量的增量规律，进而推导通用表达式，能够锻炼观察和归纳推理的能力。
【难度系数】
0.7
先从已知图形入手，数出每个图形的小棒数量，观察小棒数和图形序号的关系：第1个图形3根、第2个5根、第3个7根、第4个9根，可发现每增加1个三角形，小棒数就增加2根，且图形序号等于图中三角形的个数，据此推导通用规律，画图时按拼接规律画出6个相连的三角形即可。
【解析】
首先统计已知图形的小棒数量：
第①个图形（1个三角形）：小棒数=3=2×1+1；
第②个图形（2个三角形）：小棒数=5=2×2+1；
第③个图形（3个三角形）：小棒数=7=2×3+1；
第④个图形（4个三角形）：小棒数=9=2×4+1；
根据规律求解：
(1) 第n个图形包含n个三角形，相邻三角形共用1条边，因此第⑥个图形为6个按此规律拼接的三角形，如答图所示；
(2) 求第7个图形的小棒数，代入规律得：2×7+1=15；
(3) 归纳可得，第n个图形的小棒数为2n+1根。
【答案】
(1)解:第⑥个图形如答图所示.
(2)15
(3)(2n+1)
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是抓住图形变化时小棒数量的增量规律，进而推导通用表达式，能够锻炼观察和归纳推理的能力。
【难度系数】
0.7
8.如图,观察月历,2024年的国庆节是星期
2024年8月
二
.2024年8月
答案
8.二
解析
【分析】要推算2024年国庆节（10月1日）是星期几，首先观察给出的8月历，先确定8月最后一天（8月31日）的星期数；再明确9月的总天数，计算从8月31日到10月1日的总间隔天数；最后结合一周7天的周期规律，用总天数除以7得到余数，从8月31日的星期数往后数对应余数的天数，即可得出结果。
【解析】
1. 观察8月的月历可知，8月31日对应“六”这一列，即8月31日是星期六。
2. 9月是小月，全月共有30天，因此从8月31日到10月1日，一共经过的天数为$30+1=31$天。
3. 每周有7天，是固定的周期：$31÷7=4$（周）$\dots\dots3$（天），即31天包含4个完整的星期，还多3天。
4. 从星期六往后数3天：第1天是星期日，第2天是星期一，第3天是星期二，因此10月1日是星期二。
【答案】二
【知识点】日历周期规律，有余数除法应用
【点评】本题结合生活中的月历场景考查周期问题的应用，解题的核心是找准已知星期的起始日期，正确计算间隔天数，再结合7天为一周的周期推算即可，题型贴近生活，实用性较强。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 观察8月的月历可知，8月31日对应“六”这一列，即8月31日是星期六。
2. 9月是小月，全月共有30天，因此从8月31日到10月1日，一共经过的天数为$30+1=31$天。
3. 每周有7天，是固定的周期：$31÷7=4$（周）$\dots\dots3$（天），即31天包含4个完整的星期，还多3天。
4. 从星期六往后数3天：第1天是星期日，第2天是星期一，第3天是星期二，因此10月1日是星期二。
【答案】二
【知识点】日历周期规律，有余数除法应用
【点评】本题结合生活中的月历场景考查周期问题的应用，解题的核心是找准已知星期的起始日期，正确计算间隔天数，再结合7天为一周的周期推算即可，题型贴近生活，实用性较强。
【难度系数】0.7
9.将一些数排列成下表形式：
试探索：
(1)第10行第2列的数是多少？
(2)数81所在的行和列分别是多少？
(3)数100所在的行和列分别是多少？
试探索：
(1)第10行第2列的数是多少？
(2)数81所在的行和列分别是多少？
(3)数100所在的行和列分别是多少？
答案
9.解:(1)由题意,得第10行第2列的数是4×10=40.
(2)通过观察分析可知第2列、第4列中的数均为偶数,第3列中的数能被5整除,第1列中的数为行数的平方,故81在第9行第1列.
(3)因为100=10²,所以数100在第10行第1列;
因为100=4×25,所以数100在第25行第2列;
因为100=5×20,所以数100在第20行第3列;
因为100=50×2=(46+4)×2,所以数100在第46行第4列.
综上所述,数100在第10行第1列,第25行第2列,第20行第3列,第46行第4列.
(2)通过观察分析可知第2列、第4列中的数均为偶数,第3列中的数能被5整除,第1列中的数为行数的平方,故81在第9行第1列.
(3)因为100=10²,所以数100在第10行第1列;
因为100=4×25,所以数100在第25行第2列;
因为100=5×20,所以数100在第20行第3列;
因为100=50×2=(46+4)×2,所以数100在第46行第4列.
综上所述,数100在第10行第1列,第25行第2列,第20行第3列,第46行第4列.
解析
【分析】
解决本题首先需要观察归纳每一列数的规律：第1列的数是对应行数的平方，即第n行第1列的数为$n^2$；第2列的数是对应行数的4倍，即第n行第2列的数为$4n$；第3列的数是对应行数的5倍，即第n行第3列的数为$5n$；第4列的数从10开始逐行加2，即第n行第4列的数为$2n+8$。再根据规律逐一解决三个问题：
(1) 求第10行第2列的数，直接代入第2列的规律计算即可；
(2) 分析81的特征，排除不符合的列，再匹配对应规律求出行数；
(3) 分别将100代入四个列的规律公式，求出正整数解n，即可得到对应的行和列。
【解析】
(1) 由第2列的规律：第n行第2列的数为$4n$，当$n=10$时，$4×10=40$，因此第10行第2列的数是40。
(2) 观察各列数的特征：第2列、第4列的数均为偶数，第3列的数是5的倍数，81是奇数且不是5的倍数，因此81只能在第1列；第1列规律为$n^2$，令$n^2=81$，得$n=9$（行数为正整数，舍去负解），因此81在第9行第1列。
(3) 分别代入四个列的规律求解：
① 第1列：令$n^2=100$，得$n=10$，即100在第10行第1列；
② 第2列：令$4n=100$，得$n=25$，即100在第25行第2列；
③ 第3列：令$5n=100$，得$n=20$，即100在第20行第3列；
④ 第4列：令$2n+8=100$，解得$n=46$，即100在第46行第4列。
综上，数100所在的行和列分别为第10行第1列、第25行第2列、第20行第3列、第46行第4列。
【答案】
(1) 40；
(2) 第9行第1列；
(3) 第10行第1列，第25行第2列，第20行第3列，第46行第4列。
【知识点】
数字规律探究，代数式求值，分类讨论
【点评】
本题需要学生通过观察归纳出数列的变化规律，再结合数的特征分类讨论求解，能够有效锻炼学生的观察归纳能力和逻辑推理能力，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先需要观察归纳每一列数的规律：第1列的数是对应行数的平方，即第n行第1列的数为$n^2$；第2列的数是对应行数的4倍，即第n行第2列的数为$4n$；第3列的数是对应行数的5倍，即第n行第3列的数为$5n$；第4列的数从10开始逐行加2，即第n行第4列的数为$2n+8$。再根据规律逐一解决三个问题：
(1) 求第10行第2列的数，直接代入第2列的规律计算即可；
(2) 分析81的特征，排除不符合的列，再匹配对应规律求出行数；
(3) 分别将100代入四个列的规律公式，求出正整数解n，即可得到对应的行和列。
【解析】
(1) 由第2列的规律：第n行第2列的数为$4n$，当$n=10$时，$4×10=40$，因此第10行第2列的数是40。
(2) 观察各列数的特征：第2列、第4列的数均为偶数，第3列的数是5的倍数，81是奇数且不是5的倍数，因此81只能在第1列；第1列规律为$n^2$，令$n^2=81$，得$n=9$（行数为正整数，舍去负解），因此81在第9行第1列。
(3) 分别代入四个列的规律求解：
① 第1列：令$n^2=100$，得$n=10$，即100在第10行第1列；
② 第2列：令$4n=100$，得$n=25$，即100在第25行第2列；
③ 第3列：令$5n=100$，得$n=20$，即100在第20行第3列；
④ 第4列：令$2n+8=100$，解得$n=46$，即100在第46行第4列。
综上，数100所在的行和列分别为第10行第1列、第25行第2列、第20行第3列、第46行第4列。
【答案】
(1) 40；
(2) 第9行第1列；
(3) 第10行第1列，第25行第2列，第20行第3列，第46行第4列。
【知识点】
数字规律探究，代数式求值，分类讨论
【点评】
本题需要学生通过观察归纳出数列的变化规律，再结合数的特征分类讨论求解，能够有效锻炼学生的观察归纳能力和逻辑推理能力，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
10.某餐厅中，一张桌子可坐6人，有如图所示的两种摆放方式.
(1)当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？
(2)一天中午，餐厅要接待98位顾客同时就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？
(1)当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？
(2)一天中午，餐厅要接待98位顾客同时就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？
答案
10.解:(1)第一种摆放方式,只有一张桌子时能坐6人,后面每多一张桌子能多坐4人,即有n张桌子时能坐6+4(n-1)=(4n+2)人.
第二种摆放方式,只有一张桌子时能坐6人,后面每多一张桌子能多坐2人,即有n张桌子时能坐6+2(n-1)=(2n+4)人.
(2)用第一种方式来摆放餐桌.理由如下:
第一种:当n=25时,4×25+2=102(人),102＞98;
第二种:当n=25时,2×25+4=54(人),54＜98.
所以选用第一种方式摆放餐桌.
第二种摆放方式,只有一张桌子时能坐6人,后面每多一张桌子能多坐2人,即有n张桌子时能坐6+2(n-1)=(2n+4)人.
(2)用第一种方式来摆放餐桌.理由如下:
第一种:当n=25时,4×25+2=102(人),102＞98;
第二种:当n=25时,2×25+4=54(人),54＜98.
所以选用第一种方式摆放餐桌.
解析
【分析】
这是一道结合生活场景的图形规律探究题，解题思路如下：
1. 解决第(1)问时，先分别统计两种摆放方式下1张、2张、3张桌子对应的可坐人数，观察人数随桌子数量增加的变化规律：第一种摆放每多1张桌子多坐4人，第二种摆放每多1张桌子多坐2人，再结合1张桌的基础人数，推导n张桌子时的可坐人数表达式。
2. 解决第(2)问时，将n=25分别代入第(1)问得到的两个表达式，计算出25张桌时两种方式各自的容纳人数，再和98比较，选择能容纳下98人的摆放方式即可。
【解析】
(1) 第一种摆放方式：
1张桌子可坐6人，每增加1张桌子，可多坐4人，因此n张桌子时，可坐人数为：
$6 + 4(n-1) = 4n + 2$（人）
第二种摆放方式：
1张桌子可坐6人，每增加1张桌子，可多坐2人，因此n张桌子时，可坐人数为：
$6 + 2(n-1) = 2n + 4$（人）
(2) 选择第一种摆放方式，理由如下：
当有25张桌子时，
第一种摆放方式可容纳人数：$4×25 + 2 = 102$（人），因为$102＞98$，可以容纳98位顾客；
第二种摆放方式可容纳人数：$2×25 + 4 = 54$（人），因为$54＜98$，无法容纳98位顾客。
因此选择第一种摆放方式。
【答案】
(1) 第一种摆放方式能坐$(4n+2)$人，第二种摆放方式能坐$(2n+4)$人；
(2) 选择第一种方式摆放餐桌，因为25张桌用第一种方式可容纳102人，能满足接待98位顾客的需求，第二种方式仅能容纳54人，无法满足需求。
【知识点】
图形规律探究、代数式求值、方案选择
【点评】
本题结合餐饮摆桌的实际场景，考查学生对图形变化规律的归纳能力和代数式的实际应用能力，解题核心是准确梳理人数随桌子数量变化的增量规律，再通过计算对比选出最优方案，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
这是一道结合生活场景的图形规律探究题，解题思路如下：
1. 解决第(1)问时，先分别统计两种摆放方式下1张、2张、3张桌子对应的可坐人数，观察人数随桌子数量增加的变化规律：第一种摆放每多1张桌子多坐4人，第二种摆放每多1张桌子多坐2人，再结合1张桌的基础人数，推导n张桌子时的可坐人数表达式。
2. 解决第(2)问时，将n=25分别代入第(1)问得到的两个表达式，计算出25张桌时两种方式各自的容纳人数，再和98比较，选择能容纳下98人的摆放方式即可。
【解析】
(1) 第一种摆放方式：
1张桌子可坐6人，每增加1张桌子，可多坐4人，因此n张桌子时，可坐人数为：
$6 + 4(n-1) = 4n + 2$（人）
第二种摆放方式：
1张桌子可坐6人，每增加1张桌子，可多坐2人，因此n张桌子时，可坐人数为：
$6 + 2(n-1) = 2n + 4$（人）
(2) 选择第一种摆放方式，理由如下：
当有25张桌子时，
第一种摆放方式可容纳人数：$4×25 + 2 = 102$（人），因为$102＞98$，可以容纳98位顾客；
第二种摆放方式可容纳人数：$2×25 + 4 = 54$（人），因为$54＜98$，无法容纳98位顾客。
因此选择第一种摆放方式。
【答案】
(1) 第一种摆放方式能坐$(4n+2)$人，第二种摆放方式能坐$(2n+4)$人；
(2) 选择第一种方式摆放餐桌，因为25张桌用第一种方式可容纳102人，能满足接待98位顾客的需求，第二种方式仅能容纳54人，无法满足需求。
【知识点】
图形规律探究、代数式求值、方案选择
【点评】
本题结合餐饮摆桌的实际场景，考查学生对图形变化规律的归纳能力和代数式的实际应用能力，解题核心是准确梳理人数随桌子数量变化的增量规律，再通过计算对比选出最优方案，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
