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如图，$△ ABC$是三边都不相等的三角形，$DE=BC$，以$D$，$E$为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与$△ ABC$全等，这样的三角形最多可以作出多少个？依据是什么？
答案
这样的三角形最多可以作出4个(图略).
可依据“边边边”或“边角边”或“角边角”作图.
可依据“边边边”或“边角边”或“角边角”作图.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先明确已知条件是DE=BC，要作与△ABC全等的三角形，BC的对应边为DE，接下来需要分类讨论对应顶点的关系：① 点D对应点B、点E对应点C；② 点D对应点C、点E对应点B。每种对应关系下，第三个顶点都可以在DE的上下两侧各作出1个符合要求的三角形，总共就能得到最多的符合要求的三角形个数。作图时可结合全等三角形的判定定理，利用尺规作图的方法完成。
【解析】
我们分两类情况作图：
1. 当点D与点B对应、点E与点C对应时：
（1）在DE的上方，通过尺规作∠EDF=∠B，∠DEF=∠C，两个角的边交于点F，可得△DEF≌△ABC（ASA）；
（2）在DE的下方，同理作∠EDF'=∠B，∠DEF'=∠C，两个角的边交于点F'，可得△DEF'≌△ABC（ASA）。
2. 当点D与点C对应、点E与点B对应时：
（1）在DE的上方，作∠EDG=∠C，∠DEG=∠B，两个角的边交于点G，可得△DEG≌△CBA≌△ABC（ASA）；
（2）在DE的下方，同理作∠EDG'=∠C，∠DEG'=∠B，两个角的边交于点G'，可得△DEG'≌△CBA≌△ABC（ASA）。
以上4个三角形位置均不相同，此外也可通过SSS（以D、E为圆心，分别以AB、AC的长为半径画弧，两弧交点为第三个顶点）或SAS（作角相等后截取对应边相等）的方法完成作图。
【答案】
最多可以作出4个，依据是“边边边（SSS）”或“边角边（SAS）”或“角边角（ASA）”。
【知识点】
全等三角形判定；尺规作图
【点评】
本题主要考查全等三角形的作图，解题的关键是分类讨论对应顶点的不同匹配情况，同时要熟练掌握全等三角形的判定定理，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先明确已知条件是DE=BC，要作与△ABC全等的三角形，BC的对应边为DE，接下来需要分类讨论对应顶点的关系：① 点D对应点B、点E对应点C；② 点D对应点C、点E对应点B。每种对应关系下，第三个顶点都可以在DE的上下两侧各作出1个符合要求的三角形，总共就能得到最多的符合要求的三角形个数。作图时可结合全等三角形的判定定理，利用尺规作图的方法完成。
【解析】
我们分两类情况作图：
1. 当点D与点B对应、点E与点C对应时：
（1）在DE的上方，通过尺规作∠EDF=∠B，∠DEF=∠C，两个角的边交于点F，可得△DEF≌△ABC（ASA）；
（2）在DE的下方，同理作∠EDF'=∠B，∠DEF'=∠C，两个角的边交于点F'，可得△DEF'≌△ABC（ASA）。
2. 当点D与点C对应、点E与点B对应时：
（1）在DE的上方，作∠EDG=∠C，∠DEG=∠B，两个角的边交于点G，可得△DEG≌△CBA≌△ABC（ASA）；
（2）在DE的下方，同理作∠EDG'=∠C，∠DEG'=∠B，两个角的边交于点G'，可得△DEG'≌△CBA≌△ABC（ASA）。
以上4个三角形位置均不相同，此外也可通过SSS（以D、E为圆心，分别以AB、AC的长为半径画弧，两弧交点为第三个顶点）或SAS（作角相等后截取对应边相等）的方法完成作图。
【答案】
最多可以作出4个，依据是“边边边（SSS）”或“边角边（SAS）”或“角边角（ASA）”。
【知识点】
全等三角形判定；尺规作图
【点评】
本题主要考查全等三角形的作图，解题的关键是分类讨论对应顶点的不同匹配情况，同时要熟练掌握全等三角形的判定定理，避免漏解。
【难度系数】
0.6
1. 尺规作图所用的作图工具是指 （
A.刻度尺和圆规
B.不带刻度的直尺和圆规
C.刻度尺
D.圆规
B
）A.刻度尺和圆规
B.不带刻度的直尺和圆规
C.刻度尺
D.圆规
答案
1. B
解析
【分析】
这道题考查尺规作图的基本概念，解题时首先要回忆尺规作图对工具的明确要求：“尺”特指不带刻度的直尺，仅用来画直线、线段等；“规”指圆规，用来画圆或弧线。接下来逐一比对选项即可得出正确答案。
【解析】
根据尺规作图的定义，尺规作图所用的工具为不带刻度的直尺和圆规：
选项A中的刻度尺带有刻度，不符合尺规作图的工具要求，排除；
选项C仅提到刻度尺，既缺少圆规，且刻度尺带刻度不符合要求，排除；
选项D仅提到圆规，缺少直尺，不符合要求，排除；
只有选项B的描述符合要求。
【答案】
B
【知识点】
尺规作图的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对尺规作图工具要求的记忆，熟练掌握基础定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查尺规作图的基本概念，解题时首先要回忆尺规作图对工具的明确要求：“尺”特指不带刻度的直尺，仅用来画直线、线段等；“规”指圆规，用来画圆或弧线。接下来逐一比对选项即可得出正确答案。
【解析】
根据尺规作图的定义，尺规作图所用的工具为不带刻度的直尺和圆规：
选项A中的刻度尺带有刻度，不符合尺规作图的工具要求，排除；
选项C仅提到刻度尺，既缺少圆规，且刻度尺带刻度不符合要求，排除；
选项D仅提到圆规，缺少直尺，不符合要求，排除；
只有选项B的描述符合要求。
【答案】
B
【知识点】
尺规作图的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对尺规作图工具要求的记忆，熟练掌握基础定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 墨墨想在纸上作$∠ A_1O_1B_1$等于已知的$∠ AOB$,步骤有:①作射线$O_1M$;②以点$O$为圆心,任意长为半径作弧,交$OA$于点$C$,交$OB$于点$D$;③以点$A_1$为圆心,$CD$为半径作弧,与已作的弧交于点$B_1$,作射线$O_1B_1$;④以点$O_1$为圆心,$OC$为半径作弧,交$O_1M$于点$A_1$.在上述的步骤中,作$∠ A_1O_1B_1$的正确顺序应为 (
A.①④②③
B.②③④①
C.②①④③
D.①③④②
C
)A.①④②③
B.②③④①
C.②①④③
D.①③④②
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这道题，需先回忆尺规作一个角等于已知角的标准操作逻辑：首先要在已知角上截取等长的线段作为作图的参照，再画出新角的一条边，接着参照已知角的截取长度在新边上画弧，最后确定新角另一条边的位置，对应给出的4个步骤排序即可。
【解析】
尺规作∠A₁O₁B₁等于已知∠AOB的正确步骤如下：
1. 先处理已知角：②以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；
2. 画新角的起始边：①作射线O₁M；
3. 在新边上画第一条弧：④以点O₁为圆心，OC为半径作弧，交O₁M于点A₁；
4. 确定新角的另一条边：③以点A₁为圆心，CD为半径作弧，与已作的弧交于点B₁，作射线O₁B₁。
因此正确顺序为②①④③，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 作一个角等于已知角
2. 尺规作图步骤
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，核心考查对作一个角等于已知角的操作步骤的记忆与理解，熟练掌握标准作图流程即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先回忆尺规作一个角等于已知角的标准操作逻辑：首先要在已知角上截取等长的线段作为作图的参照，再画出新角的一条边，接着参照已知角的截取长度在新边上画弧，最后确定新角另一条边的位置，对应给出的4个步骤排序即可。
【解析】
尺规作∠A₁O₁B₁等于已知∠AOB的正确步骤如下：
1. 先处理已知角：②以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；
2. 画新角的起始边：①作射线O₁M；
3. 在新边上画第一条弧：④以点O₁为圆心，OC为半径作弧，交O₁M于点A₁；
4. 确定新角的另一条边：③以点A₁为圆心，CD为半径作弧，与已作的弧交于点B₁，作射线O₁B₁。
因此正确顺序为②①④③，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 作一个角等于已知角
2. 尺规作图步骤
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，核心考查对作一个角等于已知角的操作步骤的记忆与理解，熟练掌握标准作图流程即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠O' = ∠O 的依据是（
A.SAS
B.ASA
C.SSS
D.AAS
C
）A.SAS
B.ASA
C.SSS
D.AAS
答案
3. C
解析
【分析】
要判断∠O'=∠O的依据，首先回忆尺规作一个角等于已知角的操作过程，明确作图过程中得到的相等线段，再结合三角形全等的判定定理判断两个三角形全等的依据，最后由全等三角形对应角相等即可得到结论。
【解析】
根据尺规作一个角等于已知角的操作步骤可知：
$OC=O'C'$，$OD=O'D'$，$CD=C'D'$，
在$△ OCD$和$△ O'C'D'$中：
$\{\begin{array}{l}OC=O'C'\\OD=O'D'\\CD=C'D'\end{array} $
$\therefore △ OCD ≌ △ O'C'D' \mathrm{（SSS）}$，
根据全等三角形的对应角相等，可得$∠ O'=∠ O$，
因此判定依据是SSS，故选C。
【答案】
C
【知识点】
尺规作图；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题考查尺规作一个角等于已知角的原理，解题的关键是明确作图过程中得到的相等线段，结合全等三角形的判定定理分析即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.85
要判断∠O'=∠O的依据，首先回忆尺规作一个角等于已知角的操作过程，明确作图过程中得到的相等线段，再结合三角形全等的判定定理判断两个三角形全等的依据，最后由全等三角形对应角相等即可得到结论。
【解析】
根据尺规作一个角等于已知角的操作步骤可知：
$OC=O'C'$，$OD=O'D'$，$CD=C'D'$，
在$△ OCD$和$△ O'C'D'$中：
$\{\begin{array}{l}OC=O'C'\\OD=O'D'\\CD=C'D'\end{array} $
$\therefore △ OCD ≌ △ O'C'D' \mathrm{（SSS）}$，
根据全等三角形的对应角相等，可得$∠ O'=∠ O$，
因此判定依据是SSS，故选C。
【答案】
C
【知识点】
尺规作图；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题考查尺规作一个角等于已知角的原理，解题的关键是明确作图过程中得到的相等线段，结合全等三角形的判定定理分析即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.85
4.如图,已知$∠ AOB$与$∠ EO'F$,分别以点$O$和点$O'$为圆心,同样长为半径作弧,分别交$OA$,$OB$于点$A'$,$B'$,交$O'E$,$O'F$于点$E'$,$F'$.以点$B'$为圆心,$E'F'$为半径作弧,交弧$A'B'$于点$H$,作射线$OH$.下列结论不正确的是 (
A.$∠ EO'F=\dfrac{1}{2}∠ AOB$
B.$∠ AOB＞∠ EO'F$
C.$∠ HOB=∠ EO'F$
D.$∠ EO'F+∠ AOH=∠ AOB$
A
)A.$∠ EO'F=\dfrac{1}{2}∠ AOB$
B.$∠ AOB＞∠ EO'F$
C.$∠ HOB=∠ EO'F$
D.$∠ EO'F+∠ AOH=∠ AOB$
答案
4. A
解析
【分析】
本题考查尺规作角的原理，结合全等三角形的判定与性质判断角的关系。首先明确作图过程中的等长线段：第一步用相同半径作弧，可得$OA'=OB'=OH=O'E'=O'F'$；第二步以$B'$为圆心、$E'F'$为半径作弧，可得$B'H=E'F'$。利用SSS证明三角形全等得到对应角相等，再结合角的和差关系逐一判断选项即可。
【解析】
由作图过程可得：
① 以同样长为半径作弧，因此 $OA'=OB'=OH=O'E'=O'F'$；
② 以$B'$为圆心，$E'F'$为半径作弧，因此 $B'H=E'F'$。
在$△ OB'H$和$△ O'E'F'$中：
$\begin{cases}OB'=O'E' \\OH=O'F' \\B'H=E'F'\end{cases}$
$\therefore △ OB'H ≌ △ O'E'F'(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ HOB=∠ EO'F'$，故C选项结论正确，不符合题意。
又$\because ∠ AOB=∠ AOH+∠ HOB$，
代入$∠ HOB=∠ EO'F'$得：$∠ AOB=∠ AOH+∠ EO'F'$，故D选项结论正确，不符合题意。
由上式可推出$∠ AOB＞∠ EO'F'$，故B选项结论正确，不符合题意。
题中没有条件说明$OH$是$∠ AOB$的角平分线，因此无法推出$∠ EO'F'=\frac{1}{2}∠ AOB$，故A选项结论错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角；全等三角形的判定与性质；角的和差计算
【点评】
解题的核心是理解尺规作一个角等于已知角的操作逻辑，通过全等三角形得到等角关系，再结合角的和差分析即可，注意审题时明确题目要求选择不正确的结论，避免误选正确项。
【难度系数】
0.7
本题考查尺规作角的原理，结合全等三角形的判定与性质判断角的关系。首先明确作图过程中的等长线段：第一步用相同半径作弧，可得$OA'=OB'=OH=O'E'=O'F'$；第二步以$B'$为圆心、$E'F'$为半径作弧，可得$B'H=E'F'$。利用SSS证明三角形全等得到对应角相等，再结合角的和差关系逐一判断选项即可。
【解析】
由作图过程可得：
① 以同样长为半径作弧，因此 $OA'=OB'=OH=O'E'=O'F'$；
② 以$B'$为圆心，$E'F'$为半径作弧，因此 $B'H=E'F'$。
在$△ OB'H$和$△ O'E'F'$中：
$\begin{cases}OB'=O'E' \\OH=O'F' \\B'H=E'F'\end{cases}$
$\therefore △ OB'H ≌ △ O'E'F'(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ HOB=∠ EO'F'$，故C选项结论正确，不符合题意。
又$\because ∠ AOB=∠ AOH+∠ HOB$，
代入$∠ HOB=∠ EO'F'$得：$∠ AOB=∠ AOH+∠ EO'F'$，故D选项结论正确，不符合题意。
由上式可推出$∠ AOB＞∠ EO'F'$，故B选项结论正确，不符合题意。
题中没有条件说明$OH$是$∠ AOB$的角平分线，因此无法推出$∠ EO'F'=\frac{1}{2}∠ AOB$，故A选项结论错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角；全等三角形的判定与性质；角的和差计算
【点评】
解题的核心是理解尺规作一个角等于已知角的操作逻辑，通过全等三角形得到等角关系，再结合角的和差分析即可，注意审题时明确题目要求选择不正确的结论，避免误选正确项。
【难度系数】
0.7
