1. [与T7互为孪生题]有理数$a$，$b$，$c$在数轴上的位置如图所示，则下列关系正确的是 （）


A.$b＞c＞a$
B.$b＞a＞c$
C.$c＞b＞a$
D.$a＞b＞c$

1.D

【分析】
要解决这道题，首先回忆数轴比较有理数大小的核心规则：数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大。我们只需要先确定a、b、c三个数在数轴上的左右顺序，越靠右的数数值越大，按从大到小排序后对应选项即可。
【解析】
根据数轴的性质：数轴上右边的数总大于左边的数。观察数轴可得，三个点从左到右的排列顺序为c、b、a，因此对应的数的大小关系为：$a＞b＞c$，所以选择D选项。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用、有理数大小比较
【点评】
本题是有理数大小比较的基础题型，重点考查对数轴比较数大小规则的理解和运用，掌握“数轴上右大左小”的规律即可快速得出答案，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9

2. [2024·合肥高新区期中]在数轴上标出下列各数：$+3$，$0$，$-(-4)$，$+(-1)$，$-2.5$，$|-2|$，并把它们用“$＜$”连接起来。

2. 图略.$-2.5＜+(-1)＜0＜|-2|＜+3＜-(-4)$

【分析】
解题时首先先处理题目中带符号、绝对值的非最简有理数：先根据去括号法则、绝对值的性质将所有数化简为最简形式；再结合数轴的性质“数轴上表示的数，右边的数始终大于左边的数”，将化简后的数对应标注到数轴上，最后按照数轴上点从左到右的顺序，用“＜”连接各原数即可。
【解析】
第一步：先化简各数：
根据去括号法则：$-(-4)=4$，$+(-1)=-1$；
根据绝对值的性质：$|-2|=2$；
待排序的数化简后为：$3$，$0$，$4$，$-1$，$-2.5$，$2$。
第二步：将各数标注在数轴上（图略），根据数轴上左边的数小于右边的数，从小到大排列为：
$-2.5 ＜ -1 ＜ 0 ＜ 2 ＜ 3 ＜ 4$
将原数代回，得到最终排序：
$-2.5 ＜ +(-1) ＜ 0 ＜ |-2| ＜ +3 ＜ -(-4)$
【答案】
图略，$-2.5＜+(-1)＜0＜|-2|＜+3＜-(-4)$
【知识点】
有理数化简，数轴的应用，有理数大小比较
【点评】
本题是有理数大小比较的基础题型，核心是先正确化简带括号、绝对值的数，再借助数轴排序可以直观降低出错率，是有理数章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.8

3. [2024·宿州埇桥区二模]下列四个数中，最大的数是（）

A.－3
B.0
C.1
D.－2

3.C

【分析】
要比较四个有理数的大小，可先回忆有理数大小比较的基本规则：正数大于0，0大于所有负数，正数大于一切负数，两个负数比较时绝对值大的数更小。首先对四个选项的数分类：A选项-3、D选项-2属于负数，B选项是0，C选项1属于正数。根据规则，正数一定大于0和所有负数，因此无需额外比较负数的大小，即可判断正数1是最大的数。
【解析】
根据有理数大小比较法则：
①正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；
②两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
对四个数排序可得：$\boldsymbol{-3 ＜ -2 ＜ 0 ＜ 1}$，因此四个数中最大的数是1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数的大小比较
【点评】
本题考查有理数大小比较的基础应用，属于常规基础题，熟练掌握有理数大小比较的相关法则就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9

4. 在横线上填“＞”“＜”或“=”.
(1)$-3$ $4$;
(2)$0$ $-2$;
(3)$0.01$ $-1$;
(4)$0$ $\dfrac{1}{3}$.

4.(1)＜ (2)＞ (3)＞ (4)＜

【分析】
解决这类有理数大小比较的题目，核心是牢记有理数大小比较的基本法则：1.正数都大于0，负数都小于0；2.正数大于所有负数。解题时先判断每个数属于正数、负数还是0，再对应法则就能快速得出大小关系。
【解析】
(1) 因为-3是负数，4是正数，根据“正数大于一切负数”，可得-3＜4；
(2) 因为-2是负数，根据“0大于所有负数”，可得0＞-2；
(3) 因为0.01是正数，-1是负数，根据“正数大于一切负数”，可得0.01＞-1；
(4) 因为$\dfrac{1}{3}$是正数，根据“0小于所有正数”，可得0＜$\dfrac{1}{3}$。
【答案】
(1)＜ (2)＞ (3)＞ (4)＜
【知识点】
有理数大小比较、正负数的大小关系
【点评】
本题是有理数大小比较的基础题型，只要熟练掌握正数、0、负数三者的大小关系规律，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9

5. 在$-3,-\frac{1}{2},0,2$这四个数中，比$-2$小的数是（）

A.$-3$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$0$
D.$2$

5.A

【分析】
要找出比-2小的数，可依据有理数大小比较的规则逐步筛选：首先明确正数和0都大于所有负数，先排除大于负数的选项；再对剩余的负数，利用“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的规则，分别和-2比较即可得出结果。
【解析】
根据有理数大小比较法则：
1. 正数和0都大于负数，因此2、0都大于-2，排除选项C、D；
2. 剩余两个负数-3和$-\frac{1}{2}$，分别与-2比较：
计算绝对值：$\vert -3\vert = 3$，$\vert -2\vert = 2$，因为$3＞2$，根据“两个负数比较，绝对值大的数更小”，可得$-3 ＜ -2$；
再计算$\vert -\frac{1}{2}\vert = \frac{1}{2}$，因为$\frac{1}{2} ＜ 2$，所以$-\frac{1}{2} ＞ -2$。
综上，只有-3比-2小，故选A。
【答案】
A
【知识点】
有理数的大小比较；绝对值的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查有理数大小比较规则的应用，其中两个负数比较大小是易混点，牢记“负数比较时绝对值大的数反而小”即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9

6. [新课标—跨学科题][2024·淮北期末]几种气体的液化温度(在标准大气压下)如下表：
| 气体 | 氦气(He) | 氢气(H₂) | 氮气(N₂) | 氧气(O₂) |
|------------|----------|----------|----------|----------|
| 液化温度/℃ | $-269$ | | $-195.8$ | $-183$ |
其中液化温度最低的气体是（）

A.氦气
B.氢气
C.氮气
D.氧气

6.A

【分析】
要找出液化温度最低的气体，本质是比较给出的4个负数的大小。首先回忆有理数中负数比较大小的规则：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。我们先分别求出这4个液化温度的绝对值，再比较绝对值的大小，就能推出原负数的大小关系，最小的数对应的气体就是答案。
【解析】
首先列出四种气体的液化温度：$-269℃、-253℃、-195.8℃、-183℃$。
根据负数比较大小的法则：负数的绝对值越大，该负数越小。
分别计算各温度的绝对值：
$|-269|=269$，$|-253|=253$，$|-195.8|=195.8$，$|-183|=183$
比较绝对值大小可得：$269＞253＞195.8＞183$
因此对应负数的大小关系为：$-269＜-253＜-195.8＜-183$
即液化温度最低的是$-269℃$，对应的气体是氦气。
【答案】
A
【知识点】
有理数大小比较；绝对值的应用
【点评】
本题是跨学科题型，结合物理中气体液化温度的常识，考查有理数大小比较的实际应用，解题核心是掌握负数比较大小的规则，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.9

7.[与T1互为孪生题][2025·合肥庐阳区校级期中]如图，数轴上的两个点A，B所表示的数分别为a，b，那么a，b，-a，-b的大小关系是（）


A.$b＜-a＜-b＜a$
B.$a＜-b＜b＜-a$
C.$b＜-a＜a＜-b$
D.$b＜-b＜-a＜a$

7.B

【分析】首先观察数轴确定a、b的取值范围：点A在-1左侧，故a＜-1；点B在0和1之间，故0＜b＜1。可以通过两种思路解题：思路1：根据相反数的性质，得到-a、-b的取值范围，再按照“负数小于0小于正数，负数比较大小绝对值大的反而小，正数比较大小绝对值大的数大”的规则排序；思路2：用特殊值法，给a、b取符合范围的具体数值，分别算出-a、-b的值后直接比较大小，更适合选择题快速作答。
【解析】方法1：由数轴可得$a ＜ -1$，$0 ＜ b ＜ 1$，
根据相反数的性质可知：$-a ＞ 1$，$-1 ＜ -b ＜ 0$。
先比较负数部分：$a ＜ -1 ＜ -b ＜ 0$，即$a ＜ -b$；
再比较正数部分：$0 ＜ b ＜ 1 ＜ -a$，即$b ＜ -a$；
综上四个数的大小关系为$a ＜ -b ＜ b ＜ -a$。
方法2（特殊值法）：根据数轴的取值范围，令$a=-2$，$b=0.5$，
则$-a=2$，$-b=-0.5$，
比较大小得：$-2 ＜ -0.5 ＜ 0.5 ＜ 2$，即$a ＜ -b ＜ b ＜ -a$。
故选B。
【答案】B
【知识点】数轴的应用，有理数大小比较，相反数的性质
【点评】本题是有理数大小比较的典型题型，结合数轴判断数的范围后，既可以通过性质推导排序，也可以用特殊值法快速得出结果，能很好地考查学生对数形结合思想的运用能力。
【难度系数】
0.7

有理数$a$，$b$在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是 （）


A.$|a|＜1＜|b|$
B.$1＜-a＜b$
C.$1＜|a|＜b$
D.$-b＜a＜-1$

【变式训练】A

【分析】
解题时首先根据数轴上“左边的数总小于右边的数”的规律，先确定a、b的取值范围：a＜-1，b＞1，且b到原点的距离大于a到原点的距离，即|b|＞|a|＞1。接下来结合绝对值的性质，逐一分析每个选项的正误，最终选出错误的结论即可。
【解析】
由数轴上点的位置可得：$a ＜ -1 ＜ 0 ＜ 1 ＜ b$，且$|b| ＞ |a| ＞ 1$。
逐一判断选项：
A选项：由$|a|＞1$可知$|a|＜1＜|b|$结论错误；
B选项：因为$a＜-1$，不等式两边同乘$-1$得$-a＞1$，又因为$|b|＞|a|=-a$，所以$1＜-a＜b$，结论正确；
C选项：由$|a|＞1$且$b＞|a|$，可得$1＜|a|＜b$，结论正确；
D选项：因为$b＞1$，所以$-b＜-1$，又因为$|a|＜b$，即$-b ＜a ＜b$，结合$a＜-1$可得$-b＜a＜-1$，结论正确。
综上，结论错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
数轴的认识，绝对值的性质，有理数大小比较
【点评】
本题考查数轴与绝对值、有理数大小比较的结合应用，解题核心是先通过数轴确定数的取值范围和绝对值的大小关系，再逐一验证选项，熟练掌握数轴和绝对值的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

8. 对于有理数$a$，用$\{a\}$表示小于$a$的最大整数，例如$\{2.1\}=2$，$\{-3\}=-4$，$\{9\}=8$.
(1)填空：$\{-2024\}=$；
(2)若$\{x\}+\{y\}=0$，则$x+y$的最大值为.

8.(1)$-2025$ (2)2

【分析】
首先要准确理解新定义：$\{a\}$表示小于$a$的最大整数，即$\{a\}$是整数，且满足$\{a\} ＜ a ≤ \{a\}+1$。
(1) 第一小问直接套用定义即可，找到小于$-2024$的最大整数就能得到结果。
(2) 第二小问已知两个新定义运算的结果和为0，可先设$\{x\}=m$（$m$为整数），则$\{y\}=-m$，再根据新定义的含义分别确定$x$和$y$的最大取值范围，将两个范围相加即可得到$x+y$的最大值。
【解析】
(1) 根据题意，$\{a\}$是小于$a$的最大整数，小于$-2024$的整数中最大的数是$-2025$，因此$\{-2024\}=-2025$。
(2) 设$\{x\}=m$，其中$m$是整数，根据新定义的含义可得：$m ＜ x ≤ m+1$；
因为$\{x\}+\{y\}=0$，所以$\{y\}=-m$，同理可得：$-m ＜ y ≤ -m+1$；
将$x$和$y$的范围左右分别相加，可得：$m+(-m) ＜ x+y ≤ (m+1)+(-m+1)$，化简得$0 ＜ x+y ≤ 2$，因此$x+y$的最大值为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2025}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
新定义运算，有理数大小比较，最值求解
【点评】
本题结合自定义运算考察有理数大小的相关应用，解题核心是先准确理解新符号的含义，第二问需要将新运算问题转化为有理数取值范围问题推导最值，能有效考察学生的知识迁移能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

9. [分类讨论思想]已知a为正数,请比较$a,\frac{1}{a},-a,-\frac{1}{a}$的大小.(用“＜”连接)

9. 当$0＜a＜1$时,$-\frac{1}{a}＜-a＜a＜\frac{1}{a}$；
当$a=1$时,$-\frac{1}{a}=-a＜a=\frac{1}{a}$；
当$a＞1$时,$-a＜-\frac{1}{a}＜\frac{1}{a}＜a$.

【分析】
要比较四个数的大小，首先根据a是正数，可先将四个数分为负数组（-a、-$\frac{1}{a}$）和正数组（a、$\frac{1}{a}$），所有负数都小于正数，因此只需先分别比较两组内的大小，再整体排序即可。由于a与1的大小关系会直接影响a和$\frac{1}{a}$的大小，因此需要分0＜a＜1、a=1、a＞1三种情况分类讨论：①两个正数比较，可结合倒数的性质判断大小；②两个负数比较，绝对值大的数反而小，结合正数组的大小关系就能得到负数组的大小。
【解析】
∵a是正数，
∴a＞0，$\frac{1}{a}$＞0，$-a$＜0，$-\frac{1}{a}$＜0，即所有负数都小于正数。
我们根据a和1的大小关系分三种情况讨论：
1. 当$0＜a＜1$时：
大于0小于1的正数的倒数大于1，因此$\frac{1}{a}＞1$，可得$a＜\frac{1}{a}$；
两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，$\frac{1}{a}＞a$说明$\left|-\frac{1}{a}\right|＞\left|-a\right|$，因此$-\frac{1}{a}＜-a$；
结合负数小于正数，最终排序为：$-\frac{1}{a}＜-a＜a＜\frac{1}{a}$。
2. 当$a=1$时：
1的倒数等于它本身，因此$\frac{1}{a}=1=a$，$-a=-1$，$-\frac{1}{a}=-1$，因此排序为：$-\frac{1}{a}=-a＜a=\frac{1}{a}$。
3. 当$a＞1$时：
大于1的正数的倒数小于1，因此$\frac{1}{a}＜1$，可得$a＞\frac{1}{a}$；
两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，$a＞\frac{1}{a}$说明$\left|-a\right|＞\left|-\frac{1}{a}\right|$，因此$-a＜-\frac{1}{a}$；
结合负数小于正数，最终排序为：$-a＜-\frac{1}{a}＜\frac{1}{a}＜a$。
【答案】
当$0＜a＜1$时,$-\frac{1}{a}＜-a＜a＜\frac{1}{a}$；
当$a=1$时,$-\frac{1}{a}=-a＜a=\frac{1}{a}$；
当$a＞1$时,$-a＜-\frac{1}{a}＜\frac{1}{a}＜a$.
【知识点】
有理数大小比较、分类讨论思想、倒数的性质
【点评】
本题重点考察有理数大小比较规则的应用，核心易错点是忽略a的取值范围需要分情况讨论，解题时要熟练掌握“正数大于负数、两个负数比较绝对值大的反而小”的规则，遇到取值范围不确定的情况要主动考虑分类讨论。
【难度系数】
0.6