登录
知识点二 有理数的加、减、乘、除混合运算顺序
知识梳理
有理数的加、减、乘、除混合运算顺序：
(1)先乘除，后
(2)若有括号，先算
(3)同级运算按从
知识梳理
有理数的加、减、乘、除混合运算顺序：
(1)先乘除，后
加减
。(2)若有括号，先算
括号
内的。(3)同级运算按从
左
到右
的顺序进行。答案
(1)加减 (2)括号 (3)左 右
解析
【分析】
这道题考查有理数加、减、乘、除混合运算顺序的基础记忆内容，解题时直接回忆课本明确规定的混合运算顺序规则，对应空缺位置逐一填写即可。
【解析】
根据有理数加减乘除混合运算的固定顺序规则：
(1) 运算分不同级别时，乘除的运算优先级高于加减，因此先算乘除，后算加减，第一空填“加减”；
(2) 存在括号时，括号内的运算优先级更高，需先算括号内的内容，第二空填“括号”；
(3) 同级运算（即只有加减或只有乘除的运算）按从左到右的顺序依次计算，因此后两个空依次填“左”“右”。
【答案】
(1)加减 (2)括号 (3)左 右
【知识点】
有理数四则混合运算顺序
【点评】
本题是对有理数混合运算基础规则的考查，属于需要熟练记忆的核心基础知识点，是后续进行复杂有理数运算、整式运算等内容的前提，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
这道题考查有理数加、减、乘、除混合运算顺序的基础记忆内容，解题时直接回忆课本明确规定的混合运算顺序规则，对应空缺位置逐一填写即可。
【解析】
根据有理数加减乘除混合运算的固定顺序规则：
(1) 运算分不同级别时，乘除的运算优先级高于加减，因此先算乘除，后算加减，第一空填“加减”；
(2) 存在括号时，括号内的运算优先级更高，需先算括号内的内容，第二空填“括号”；
(3) 同级运算（即只有加减或只有乘除的运算）按从左到右的顺序依次计算，因此后两个空依次填“左”“右”。
【答案】
(1)加减 (2)括号 (3)左 右
【知识点】
有理数四则混合运算顺序
【点评】
本题是对有理数混合运算基础规则的考查，属于需要熟练记忆的核心基础知识点，是后续进行复杂有理数运算、整式运算等内容的前提，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
例2 计算：
(1) $\frac{2}{5} ÷ (-2\frac{2}{5}) - \frac{8}{21} × (-1\frac{3}{4}) - 0.25$；
(2) $(-3) - [-5 + (1 - 0.2 × \frac{3}{5}) ÷ (-2)]$。
(1) $\frac{2}{5} ÷ (-2\frac{2}{5}) - \frac{8}{21} × (-1\frac{3}{4}) - 0.25$；
(2) $(-3) - [-5 + (1 - 0.2 × \frac{3}{5}) ÷ (-2)]$。
答案
解:(1)$\frac{1}{4}$；(2)$2\frac{11}{25}$.
解析
【分析】
解题时先明确有理数混合运算的核心规则：先算乘除，后算加减，有括号先算括号内的运算，同时注意符号运算规律（同号得正、异号得负）。
对于第(1)题：先把所有带分数、小数统一转化为分数形式，再分别计算除法和乘法，最后按顺序计算加减即可，计算前可先约分简化运算。
对于第(2)题：从最内层小括号开始计算，先算小括号内的乘法，再算小括号内的减法，接着计算中括号内的除法、加法，最后计算括号外的减法即可，每一步都要注意负号的处理。
【解析】
(1) 先统一数的形式：$-2\frac{2}{5}=-\frac{12}{5}$，$-1\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$，$0.25=\frac{1}{4}$
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{5}÷(-\frac{12}{5})-\frac{8}{21}×(-\frac{7}{4})-\frac{1}{4}\\&=\frac{2}{5}×(-\frac{5}{12})+\frac{8}{21}×\frac{7}{4}-\frac{1}{4}\\&=-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\\&=-\frac{2}{12}+\frac{8}{12}-\frac{3}{12}\\&=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\end{aligned}$
(2) 从内层括号依次计算：
$\begin{aligned}原式&=(-3)-[-5+(1-\frac{1}{5}×\frac{3}{5})÷(-2)]\\&=(-3)-[-5+(1-\frac{3}{25})÷(-2)]\\&=(-3)-[-5+\frac{22}{25}×(-\frac{1}{2})]\\&=(-3)-[-5-\frac{11}{25}]\\&=-3+5+\frac{11}{25}\\&=2+\frac{11}{25}=2\frac{11}{25}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $2\frac{11}{25}$
【知识点】
1. 有理数混合运算顺序
2. 有理数乘除法则
3. 分数、小数、带分数互化
【点评】
本题属于有理数混合运算的基础题型，解题的核心是严格遵循运算顺序，准确处理运算过程中的符号，计算时统一数的表现形式可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
解题时先明确有理数混合运算的核心规则：先算乘除，后算加减，有括号先算括号内的运算，同时注意符号运算规律（同号得正、异号得负）。
对于第(1)题：先把所有带分数、小数统一转化为分数形式，再分别计算除法和乘法，最后按顺序计算加减即可，计算前可先约分简化运算。
对于第(2)题：从最内层小括号开始计算，先算小括号内的乘法，再算小括号内的减法，接着计算中括号内的除法、加法，最后计算括号外的减法即可，每一步都要注意负号的处理。
【解析】
(1) 先统一数的形式：$-2\frac{2}{5}=-\frac{12}{5}$，$-1\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$，$0.25=\frac{1}{4}$
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{5}÷(-\frac{12}{5})-\frac{8}{21}×(-\frac{7}{4})-\frac{1}{4}\\&=\frac{2}{5}×(-\frac{5}{12})+\frac{8}{21}×\frac{7}{4}-\frac{1}{4}\\&=-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\\&=-\frac{2}{12}+\frac{8}{12}-\frac{3}{12}\\&=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\end{aligned}$
(2) 从内层括号依次计算：
$\begin{aligned}原式&=(-3)-[-5+(1-\frac{1}{5}×\frac{3}{5})÷(-2)]\\&=(-3)-[-5+(1-\frac{3}{25})÷(-2)]\\&=(-3)-[-5+\frac{22}{25}×(-\frac{1}{2})]\\&=(-3)-[-5-\frac{11}{25}]\\&=-3+5+\frac{11}{25}\\&=2+\frac{11}{25}=2\frac{11}{25}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $2\frac{11}{25}$
【知识点】
1. 有理数混合运算顺序
2. 有理数乘除法则
3. 分数、小数、带分数互化
【点评】
本题属于有理数混合运算的基础题型，解题的核心是严格遵循运算顺序，准确处理运算过程中的符号，计算时统一数的表现形式可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
2. 计算：
(1) $(-\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{9} + \dfrac{7}{12}) ÷ \dfrac{1}{36}$；
(2) $2\dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{4} ÷ (-9 + 19)$。
(1) $(-\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{9} + \dfrac{7}{12}) ÷ \dfrac{1}{36}$；
(2) $2\dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{4} ÷ (-9 + 19)$。
答案
解:(1)-26；(2)$\frac{1}{16}$.
解析
【分析】
对于(1)，先依据有理数除法法则，将除法转化为乘法（除以一个不为0的数等于乘它的倒数），再利用乘法分配律展开计算，可避免通分、简化运算；对于(2)，遵循有理数混合运算顺序，先计算括号内的加减，再把带分数化为假分数，按从左到右的顺序依次计算乘除即可，计算时注意符号判断。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(-\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{9} + \dfrac{7}{12}) ÷ \dfrac{1}{36}&=(-\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{9} + \dfrac{7}{12}) × 36\\&=-\dfrac{3}{4}×36 - \dfrac{5}{9}×36 + \dfrac{7}{12}×36\\&=-27 - 20 + 21\\&=-26\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}2\dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{4} ÷ (-9 + 19)&=\dfrac{5}{2}×\dfrac{1}{4}÷10\\&=\dfrac{5}{8}×\dfrac{1}{10}\\&=\dfrac{1}{16}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-26}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{16}}$
【知识点】
有理数四则运算、乘法分配律、除法法则
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的顺序和运算律的灵活运用，合理选择简便方法可以提升运算效率，计算过程中要格外注意符号的处理，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.7
对于(1)，先依据有理数除法法则，将除法转化为乘法（除以一个不为0的数等于乘它的倒数），再利用乘法分配律展开计算，可避免通分、简化运算；对于(2)，遵循有理数混合运算顺序，先计算括号内的加减，再把带分数化为假分数，按从左到右的顺序依次计算乘除即可，计算时注意符号判断。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(-\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{9} + \dfrac{7}{12}) ÷ \dfrac{1}{36}&=(-\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{9} + \dfrac{7}{12}) × 36\\&=-\dfrac{3}{4}×36 - \dfrac{5}{9}×36 + \dfrac{7}{12}×36\\&=-27 - 20 + 21\\&=-26\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}2\dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{4} ÷ (-9 + 19)&=\dfrac{5}{2}×\dfrac{1}{4}÷10\\&=\dfrac{5}{8}×\dfrac{1}{10}\\&=\dfrac{1}{16}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-26}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{16}}$
【知识点】
有理数四则运算、乘法分配律、除法法则
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的顺序和运算律的灵活运用，合理选择简便方法可以提升运算效率，计算过程中要格外注意符号的处理，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.7
例3 今抽查10袋精盐，每袋精盐的标准质量是100 g，超出部分记为正，不足部分记为负，称后的记录(单位:g)如下表：
求这10袋盐的总质量.
求这10袋盐的总质量.
答案
解:这10袋盐一共重1 000 g.
解析
【分析】
解题时首先明确“超出记为正，不足记为负”的含义，先计算10袋精盐的标准总质量，再结合表格中的数据计算所有袋的偏差总和，最后将标准总质量与偏差总和相加，即可得到10袋盐的实际总质量。计算偏差总和时，要注意每类偏差对应相应的袋数，用偏差数值乘对应袋数再求和。
【解析】
解：每袋精盐标准质量为100g，10袋的标准总质量为：
$10×100=1000\ \mathrm{g}$
计算10袋盐的总偏差：
$2×(+1)+3×(-0.5)+3×0 +1×(+1.5)+1×(-2)$
$=2 -1.5 +0 +1.5 -2$
$=0\ \mathrm{g}$
则10袋盐的实际总质量为：
$1000 + 0 = 1000\ \mathrm{g}$
【答案】
这10袋盐一共重1000 g.
【知识点】
正负数的实际应用、有理数的加减运算
【点评】
本题是正负数在实际称重问题中的典型应用，解题核心是理解正负记录的实际意义，计算时注意对应偏差和袋数的匹配，避免漏乘袋数出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确“超出记为正，不足记为负”的含义，先计算10袋精盐的标准总质量，再结合表格中的数据计算所有袋的偏差总和，最后将标准总质量与偏差总和相加，即可得到10袋盐的实际总质量。计算偏差总和时，要注意每类偏差对应相应的袋数，用偏差数值乘对应袋数再求和。
【解析】
解：每袋精盐标准质量为100g，10袋的标准总质量为：
$10×100=1000\ \mathrm{g}$
计算10袋盐的总偏差：
$2×(+1)+3×(-0.5)+3×0 +1×(+1.5)+1×(-2)$
$=2 -1.5 +0 +1.5 -2$
$=0\ \mathrm{g}$
则10袋盐的实际总质量为：
$1000 + 0 = 1000\ \mathrm{g}$
【答案】
这10袋盐一共重1000 g.
【知识点】
正负数的实际应用、有理数的加减运算
【点评】
本题是正负数在实际称重问题中的典型应用，解题核心是理解正负记录的实际意义，计算时注意对应偏差和袋数的匹配，避免漏乘袋数出现计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 高度每增加1 km，气温大约降低6 ℃，已知某山山顶的温度是-37 ℃，地面温度是5 ℃，则山顶的高度大约是
7
km.答案
3. 7
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确温度变化和高度变化的对应关系：高度每升高1km，气温就降低6℃。解题时分两步思考：第一步先算出地面和山顶的总温差，也就是地面温度减去山顶温度，得到气温一共下降了多少摄氏度；第二步用总温差除以每1km对应的降温幅度6℃，就能求出山顶的高度。
【解析】
第一步：计算地面与山顶的温度差
$5 - (-37) = 5 + 37 = 42(° C)$
第二步：根据温度和高度的关系计算山顶高度
已知高度每增加1km气温降低$6° C$，因此山顶高度为：
$42 ÷ 6 = 7(km)$
【答案】
7
【知识点】
正负数的实际应用、有理数的减法运算、有理数的除法运算
【点评】
本题结合生活场景考查有理数的基础运算，解题核心是正确求出温差，再根据给出的温度与高度的对应关系列式计算，只要熟练掌握有理数运算法则就可以顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确温度变化和高度变化的对应关系：高度每升高1km，气温就降低6℃。解题时分两步思考：第一步先算出地面和山顶的总温差，也就是地面温度减去山顶温度，得到气温一共下降了多少摄氏度；第二步用总温差除以每1km对应的降温幅度6℃，就能求出山顶的高度。
【解析】
第一步：计算地面与山顶的温度差
$5 - (-37) = 5 + 37 = 42(° C)$
第二步：根据温度和高度的关系计算山顶高度
已知高度每增加1km气温降低$6° C$，因此山顶高度为：
$42 ÷ 6 = 7(km)$
【答案】
7
【知识点】
正负数的实际应用、有理数的减法运算、有理数的除法运算
【点评】
本题结合生活场景考查有理数的基础运算，解题核心是正确求出温差，再根据给出的温度与高度的对应关系列式计算，只要熟练掌握有理数运算法则就可以顺利解答。
【难度系数】
0.8
知识建构
综合与实践——知识建构与应用
“24点”游戏
某班分组开展“24点”游戏的实践活动.
【游戏规则】
“24点”游戏规则:拿一副扑克牌,抽去大小王后(J表示11,Q表示12,K表示13,A表示
1),任意抽取4张牌,用有理数的加、减、乘、除运算(可加括号)把牌面上的数算成24,每张牌必须用且只能用一次.
现第一组学生从中抽出四张写着不同数字的扑克牌,如图.为了使运算结果为24,其中的一个方法是
【拓展探究】
第二、三两个小组的学生从一副扑克牌(去掉大小王)中任意抽取4张,根据牌面上的数字进行加、减、乘、除混合运算(每张牌用且仅用一次,可以加括号),使得运算结果为24或-24.其中红色扑克牌表示负数,黑色扑克牌表示正数,
一副去掉大小王的扑克牌一半是红色(红桃和方块),一半是黑色(黑桃,梅花).
(1)第二小组抽到了黑桃3,黑桃7,红桃7,方块7,能按游戏规则凑成“24点”吗?请说明理由.
(2)第三小组抽到了黑桃3,黑桃7,梅花3,梅花7,能按游戏规则凑成“24点”吗?请说明理由.
综合与实践——知识建构与应用
“24点”游戏
某班分组开展“24点”游戏的实践活动.
【游戏规则】
“24点”游戏规则:拿一副扑克牌,抽去大小王后(J表示11,Q表示12,K表示13,A表示
1),任意抽取4张牌,用有理数的加、减、乘、除运算(可加括号)把牌面上的数算成24,每张牌必须用且只能用一次.
现第一组学生从中抽出四张写着不同数字的扑克牌,如图.为了使运算结果为24,其中的一个方法是
6×8÷(3-1)(答案不唯一)
=24.【拓展探究】
第二、三两个小组的学生从一副扑克牌(去掉大小王)中任意抽取4张,根据牌面上的数字进行加、减、乘、除混合运算(每张牌用且仅用一次,可以加括号),使得运算结果为24或-24.其中红色扑克牌表示负数,黑色扑克牌表示正数,
一副去掉大小王的扑克牌一半是红色(红桃和方块),一半是黑色(黑桃,梅花).
(1)第二小组抽到了黑桃3,黑桃7,红桃7,方块7,能按游戏规则凑成“24点”吗?请说明理由.
(2)第三小组抽到了黑桃3,黑桃7,梅花3,梅花7,能按游戏规则凑成“24点”吗?请说明理由.
答案
【游戏规则】6×8÷(3-1)(答案不唯一)
【拓展探究】解:(1)能. 理由如下：
抽到的牌表示的数为3,7,-7,-7,则3×[7+(-7)÷(-7)]=3×8=24.
(2)能. 理由如下：
抽到的牌表示的数为3,7,3,7,则7×(3+3÷7)= 24.
【拓展探究】解:(1)能. 理由如下：
抽到的牌表示的数为3,7,-7,-7,则3×[7+(-7)÷(-7)]=3×8=24.
(2)能. 理由如下：
抽到的牌表示的数为3,7,3,7,则7×(3+3÷7)= 24.
解析
【分析】
本题结合“24点”趣味游戏考查有理数混合运算，解题思路如下：1. 基础运算部分：先明确给出的四个数字为1、3、6、8，可先联想24的常见乘积拆分形式（如4×6、3×8等），再通过括号调整运算顺序，用给定数字凑出对应因数，最终组合得到24；2. 拓展探究部分：先按规则将扑克牌转换为对应有理数（黑色为正，红色为负），再沿用上述凑因数的思路，灵活运用除法、括号调整运算顺序，验证是否能得到24即可。
【解析】
游戏规则部分
已知给出的四个数字为1、3、6、8，先凑出因数2：$3-1=2$，再计算$6×8=48$，最后用$48÷2=24$，组合得算式$6×8÷(3-1)$（答案不唯一，合理即可）。
拓展探究部分
(1) 先按规则转换数字：黑桃3=3，黑桃7=7，红桃7=-7，方块7=-7。
列算式计算：
$3×[7+(-7)÷(-7)]$
先算小括号内的除法：$(-7)÷(-7)=1$
再算中括号内的加法：$7+1=8$
最后算乘法：$3×8=24$
符合运算规则，因此可以凑成24点。
(2) 先按规则转换数字：黑桃3=3，黑桃7=7，梅花3=3，梅花7=7，四个数均为正数，即3、7、3、7。
列算式计算：
$7×(3+3÷7)$
先算小括号内的除法：$3÷7=\frac{3}{7}$
再算小括号内的加法：$3+\frac{3}{7}=\frac{24}{7}$
最后算乘法：$7×\frac{24}{7}=24$
符合运算规则，因此可以凑成24点。
【答案】
【游戏规则】$6×8÷(3-1)$（答案不唯一）
【拓展探究】(1) 能，$3×[7+(-7)÷(-7)]=24$；(2) 能，$7×(3+3÷7)=24$
【知识点】
有理数四则混合运算、24点运算技巧
【点评】
本题将有理数运算和趣味游戏结合，既考察了四则运算顺序、括号的运算优先级等基础知识点，也需要学生灵活发散思维，有利于培养数感和运算的灵活性。
【难度系数】
0.7
本题结合“24点”趣味游戏考查有理数混合运算，解题思路如下：1. 基础运算部分：先明确给出的四个数字为1、3、6、8，可先联想24的常见乘积拆分形式（如4×6、3×8等），再通过括号调整运算顺序，用给定数字凑出对应因数，最终组合得到24；2. 拓展探究部分：先按规则将扑克牌转换为对应有理数（黑色为正，红色为负），再沿用上述凑因数的思路，灵活运用除法、括号调整运算顺序，验证是否能得到24即可。
【解析】
游戏规则部分
已知给出的四个数字为1、3、6、8，先凑出因数2：$3-1=2$，再计算$6×8=48$，最后用$48÷2=24$，组合得算式$6×8÷(3-1)$（答案不唯一，合理即可）。
拓展探究部分
(1) 先按规则转换数字：黑桃3=3，黑桃7=7，红桃7=-7，方块7=-7。
列算式计算：
$3×[7+(-7)÷(-7)]$
先算小括号内的除法：$(-7)÷(-7)=1$
再算中括号内的加法：$7+1=8$
最后算乘法：$3×8=24$
符合运算规则，因此可以凑成24点。
(2) 先按规则转换数字：黑桃3=3，黑桃7=7，梅花3=3，梅花7=7，四个数均为正数，即3、7、3、7。
列算式计算：
$7×(3+3÷7)$
先算小括号内的除法：$3÷7=\frac{3}{7}$
再算小括号内的加法：$3+\frac{3}{7}=\frac{24}{7}$
最后算乘法：$7×\frac{24}{7}=24$
符合运算规则，因此可以凑成24点。
【答案】
【游戏规则】$6×8÷(3-1)$（答案不唯一）
【拓展探究】(1) 能，$3×[7+(-7)÷(-7)]=24$；(2) 能，$7×(3+3÷7)=24$
【知识点】
有理数四则混合运算、24点运算技巧
【点评】
本题将有理数运算和趣味游戏结合，既考察了四则运算顺序、括号的运算优先级等基础知识点，也需要学生灵活发散思维，有利于培养数感和运算的灵活性。
【难度系数】
0.7
