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10. 用等式的性质解方程,第(3)小题需要验算。
(1)$3x+12=0$;
(2)$2x=1-4x$;
(3)$\frac{1}{2}x+1=0.8x-2$。
(1)$3x+12=0$;
(2)$2x=1-4x$;
(3)$\frac{1}{2}x+1=0.8x-2$。
答案
(1)$3x+12=0,3x+12-12=0-12,3x=-12,x=-4$。
(2)$2x=1-4x,2x+4x=1-4x+4x,6x=1,x=\frac{1}{6}$。
(3)$\frac{1}{2}x+1=0.8x-2,\frac{1}{2}x+1-0.8x=0.8x-2-0.8x,-0.3x+1-1=-2-1,-0.3x=-3,x=10$。检验:将$x=10$代入原式，得左边=$\frac{1}{2}×10+1=6$=右边，因此$x=10$是原方程的解。
(2)$2x=1-4x,2x+4x=1-4x+4x,6x=1,x=\frac{1}{6}$。
(3)$\frac{1}{2}x+1=0.8x-2,\frac{1}{2}x+1-0.8x=0.8x-2-0.8x,-0.3x+1-1=-2-1,-0.3x=-3,x=10$。检验:将$x=10$代入原式，得左边=$\frac{1}{2}×10+1=6$=右边，因此$x=10$是原方程的解。
解析
【分析】
解这道题需要用到等式的两个基本性质：1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题思路为：先利用等式性质1，将含未知数的项移到等式同侧，常数项移到等式另一侧，合并后再利用等式性质2将未知数的系数化为1，得到方程的解；第(3)小题求出解后，要把解代入原方程，分别计算左右两边的结果，若两边相等则说明所求的解正确。
【解析】
(1) 对于方程$3x+12=0$，根据等式性质1，两边同时减12，得：
$3x+12-12=0-12$
化简得$3x=-12$
再根据等式性质2，两边同时除以3，得：
$x=-4$
(2) 对于方程$2x=1-4x$，根据等式性质1，两边同时加$4x$，得：
$2x+4x=1-4x+4x$
化简得$6x=1$
再根据等式性质2，两边同时除以6，得：
$x=\frac{1}{6}$
(3) 对于方程$\frac{1}{2}x+1=0.8x-2$，根据等式性质1，两边同时减$0.8x$，得：
$\frac{1}{2}x+1-0.8x=0.8x-2-0.8x$
化简得$-0.3x+1=-2$
再根据等式性质1，两边同时减1，得：
$-0.3x+1-1=-2-1$
化简得$-0.3x=-3$
根据等式性质2，两边同时除以$-0.3$，得：
$x=10$
检验：将$x=10$代入原方程，
左边$=\frac{1}{2}×10+1=5+1=6$，
右边$=0.8×10-2=8-2=6$，
左边=右边，因此$x=10$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=-4$；(2)$x=\frac{1}{6}$；(3)$x=10$，经检验是原方程的解。
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程，方程的检验
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考查等式性质的灵活运用，解题时要注意每一步变形都符合等式的性质要求，验算时需代入原方程计算，避免因变形错误导致验算失效。
【难度系数】
0.8
解这道题需要用到等式的两个基本性质：1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题思路为：先利用等式性质1，将含未知数的项移到等式同侧，常数项移到等式另一侧，合并后再利用等式性质2将未知数的系数化为1，得到方程的解；第(3)小题求出解后，要把解代入原方程，分别计算左右两边的结果，若两边相等则说明所求的解正确。
【解析】
(1) 对于方程$3x+12=0$，根据等式性质1，两边同时减12，得：
$3x+12-12=0-12$
化简得$3x=-12$
再根据等式性质2，两边同时除以3，得：
$x=-4$
(2) 对于方程$2x=1-4x$，根据等式性质1，两边同时加$4x$，得：
$2x+4x=1-4x+4x$
化简得$6x=1$
再根据等式性质2，两边同时除以6，得：
$x=\frac{1}{6}$
(3) 对于方程$\frac{1}{2}x+1=0.8x-2$，根据等式性质1，两边同时减$0.8x$，得：
$\frac{1}{2}x+1-0.8x=0.8x-2-0.8x$
化简得$-0.3x+1=-2$
再根据等式性质1，两边同时减1，得：
$-0.3x+1-1=-2-1$
化简得$-0.3x=-3$
根据等式性质2，两边同时除以$-0.3$，得：
$x=10$
检验：将$x=10$代入原方程，
左边$=\frac{1}{2}×10+1=5+1=6$，
右边$=0.8×10-2=8-2=6$，
左边=右边，因此$x=10$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=-4$；(2)$x=\frac{1}{6}$；(3)$x=10$，经检验是原方程的解。
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程，方程的检验
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考查等式性质的灵活运用，解题时要注意每一步变形都符合等式的性质要求，验算时需代入原方程计算，避免因变形错误导致验算失效。
【难度系数】
0.8
11. 若$(m-1)x^{|m|}+5=0$是关于x的一元一次方程，则m=
-1
。答案
11. -1
解析
【分析】
要解决本题，需紧扣一元一次方程的定义来推导m的取值。一元一次方程需同时满足两个核心条件：一是只含1个未知数，且未知数的最高次数为1；二是未知数的系数不能为0（否则方程就不含一次项，不属于一元一次方程）。我们先根据次数要求列等式求出m的可能值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值即可。
【解析】
解：
∵$(m-1)x^{|m|}+5=0$是关于x的一元一次方程
∴根据一元一次方程的定义可得两个条件：
1. 未知数x的次数为1：$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 一次项系数不为0：$m-1≠0$，解得$m≠1$
结合两个条件，排除$m=1$，可得$m=-1$
【答案】
-1
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误将m=1也作为结果，学习概念时要记全定义的所有限定要求，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需紧扣一元一次方程的定义来推导m的取值。一元一次方程需同时满足两个核心条件：一是只含1个未知数，且未知数的最高次数为1；二是未知数的系数不能为0（否则方程就不含一次项，不属于一元一次方程）。我们先根据次数要求列等式求出m的可能值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值即可。
【解析】
解：
∵$(m-1)x^{|m|}+5=0$是关于x的一元一次方程
∴根据一元一次方程的定义可得两个条件：
1. 未知数x的次数为1：$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 一次项系数不为0：$m-1≠0$，解得$m≠1$
结合两个条件，排除$m=1$，可得$m=-1$
【答案】
-1
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误将m=1也作为结果，学习概念时要记全定义的所有限定要求，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.7
12. 请填写下表，然后得出方程$\frac{1}{3}x+1=x$的解。
答案
依次填入$\frac{2}{3}$、1、$\frac{4}{3}$、$\frac{3}{2}$、$\frac{5}{3}$、$\frac{11}{6}$，方程$\frac{1}{3}x+1=x$的解为$x=\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
解题时按照两步思路进行：第一步，把表格中给出的每个x的值逐一代入代数式$\frac{1}{3}x+1$中，计算出对应的结果，填入表格的对应位置；第二步，根据一元一次方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，观察表格中哪个x的取值能让$\frac{1}{3}x+1$的结果和x本身相等，该取值就是方程$\frac{1}{3}x+1=x$的解。
【解析】
1. 计算各个x对应的$\frac{1}{3}x+1$的值：
① 当$x=-1$时，$\frac{1}{3}x+1=\frac{1}{3}×(-1)+1=\frac{2}{3}$；
② 当$x=0$时，$\frac{1}{3}x+1=\frac{1}{3}×0+1=1$；
③ 当$x=1$时，$\frac{1}{3}x+1=\frac{1}{3}×1+1=\frac{4}{3}$；
④ 当$x=\frac{3}{2}$时，$\frac{1}{3}x+1=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}+1=\frac{3}{2}$；
⑤ 当$x=2$时，$\frac{1}{3}x+1=\frac{1}{3}×2+1=\frac{5}{3}$；
⑥ 当$x=\frac{5}{2}$时，$\frac{1}{3}x+1=\frac{1}{3}×\frac{5}{2}+1=\frac{11}{6}$。
2. 对比计算结果可得，当$x=\frac{3}{2}$时，$\frac{1}{3}x+1$的取值等于x的取值，满足方程$\frac{1}{3}x+1=x$。
【答案】
表格中依次填入$\frac{2}{3}$、$1$、$\frac{4}{3}$、$\frac{3}{2}$、$\frac{5}{3}$、$\frac{11}{6}$，方程$\frac{1}{3}x+1=x$的解为$x=\frac{3}{2}$。
【知识点】
代数式求值；一元一次方程的解
【点评】
本题是基础概念应用类题目，通过代入计算的方式直观呈现了一元一次方程解的含义，既考查了代数式的基础计算能力，也帮助加深对方程解的概念的理解。
【难度系数】
0.9
解题时按照两步思路进行：第一步，把表格中给出的每个x的值逐一代入代数式$\frac{1}{3}x+1$中，计算出对应的结果，填入表格的对应位置；第二步，根据一元一次方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，观察表格中哪个x的取值能让$\frac{1}{3}x+1$的结果和x本身相等，该取值就是方程$\frac{1}{3}x+1=x$的解。
【解析】
1. 计算各个x对应的$\frac{1}{3}x+1$的值：
① 当$x=-1$时，$\frac{1}{3}x+1=\frac{1}{3}×(-1)+1=\frac{2}{3}$；
② 当$x=0$时，$\frac{1}{3}x+1=\frac{1}{3}×0+1=1$；
③ 当$x=1$时，$\frac{1}{3}x+1=\frac{1}{3}×1+1=\frac{4}{3}$；
④ 当$x=\frac{3}{2}$时，$\frac{1}{3}x+1=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}+1=\frac{3}{2}$；
⑤ 当$x=2$时，$\frac{1}{3}x+1=\frac{1}{3}×2+1=\frac{5}{3}$；
⑥ 当$x=\frac{5}{2}$时，$\frac{1}{3}x+1=\frac{1}{3}×\frac{5}{2}+1=\frac{11}{6}$。
2. 对比计算结果可得，当$x=\frac{3}{2}$时，$\frac{1}{3}x+1$的取值等于x的取值，满足方程$\frac{1}{3}x+1=x$。
【答案】
表格中依次填入$\frac{2}{3}$、$1$、$\frac{4}{3}$、$\frac{3}{2}$、$\frac{5}{3}$、$\frac{11}{6}$，方程$\frac{1}{3}x+1=x$的解为$x=\frac{3}{2}$。
【知识点】
代数式求值；一元一次方程的解
【点评】
本题是基础概念应用类题目，通过代入计算的方式直观呈现了一元一次方程解的含义，既考查了代数式的基础计算能力，也帮助加深对方程解的概念的理解。
【难度系数】
0.9
13. 张叔叔利用房屋外墙围了一个长方形园子，园子里专门种青菜。已知长方形园子宽为a米，园子的长比宽长3米，这个园子一共用了12米篱笆，那么这个园子的面积是多少呢？
(1)列出关于a的方程，它是一元一次方程吗？
(2)解方程，并解决问题。
(1)列出关于a的方程，它是一元一次方程吗？
(2)解方程，并解决问题。
答案
(1)$a+(a+3)+a=12$,是一元一次方程。
(2)$a+(a+3)+a=12,a+a+3+a=12,3a+3-3=12-3,3a=9,a=3$。它的长为$a+3=6$,面积为$6×3=18$(平方米)。
(2)$a+(a+3)+a=12,a+a+3+a=12,3a+3-3=12-3,3a=9,a=3$。它的长为$a+3=6$,面积为$6×3=18$(平方米)。
解析
【分析】
解题时首先结合图形明确篱笆的组成：由于长方形一条长边靠房屋外墙，因此篱笆仅包含2条宽和1条长。第一步先根据“长比宽长3米”用含a的式子表示出长为(a+3)米；第二步根据篱笆总长12米，将三条边长度相加等于总长度即可列出方程，再根据一元一次方程的定义判断方程类型。解方程时按整式方程运算步骤合并同类项、移项、系数化为1求出a的值，再分别计算长和长方形面积即可。
【解析】
(1) 已知长方形园子的宽为a米，长比宽长3米，因此长为$(a+3)$米。
因为长边靠墙，不需要用篱笆，篱笆总长度为2条宽加1条长的和，因此可列方程：$a+(a+3)+a=12$。
该方程只含有1个未知数a，未知数的次数为1，且等号两边均为整式，因此它是一元一次方程。
(2) 解方程$a+(a+3)+a=12$：
先去括号合并同类项得：$3a+3=12$
等式两边同时减3得：$3a+3-3=12-3$，即$3a=9$
等式两边同时除以3得：$a=3$
则园子的长为$a+3=3+3=6$米，
园子的面积为长×宽=$6×3=18$平方米。
【答案】
(1) 列出的方程为$\boldsymbol{a+(a+3)+a=12}$，它是一元一次方程。
(2) 解得$a=3$，园子的面积为18平方米。
【知识点】
一元一次方程判定、列方程解应用题、长方形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景出题，解题的关键是先明确篱笆所围的边数，避免误算靠墙的长边，考查了对方程定义的理解和利用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合图形明确篱笆的组成：由于长方形一条长边靠房屋外墙，因此篱笆仅包含2条宽和1条长。第一步先根据“长比宽长3米”用含a的式子表示出长为(a+3)米；第二步根据篱笆总长12米，将三条边长度相加等于总长度即可列出方程，再根据一元一次方程的定义判断方程类型。解方程时按整式方程运算步骤合并同类项、移项、系数化为1求出a的值，再分别计算长和长方形面积即可。
【解析】
(1) 已知长方形园子的宽为a米，长比宽长3米，因此长为$(a+3)$米。
因为长边靠墙，不需要用篱笆，篱笆总长度为2条宽加1条长的和，因此可列方程：$a+(a+3)+a=12$。
该方程只含有1个未知数a，未知数的次数为1，且等号两边均为整式，因此它是一元一次方程。
(2) 解方程$a+(a+3)+a=12$：
先去括号合并同类项得：$3a+3=12$
等式两边同时减3得：$3a+3-3=12-3$，即$3a=9$
等式两边同时除以3得：$a=3$
则园子的长为$a+3=3+3=6$米，
园子的面积为长×宽=$6×3=18$平方米。
【答案】
(1) 列出的方程为$\boldsymbol{a+(a+3)+a=12}$，它是一元一次方程。
(2) 解得$a=3$，园子的面积为18平方米。
【知识点】
一元一次方程判定、列方程解应用题、长方形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景出题，解题的关键是先明确篱笆所围的边数，避免误算靠墙的长边，考查了对方程定义的理解和利用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
14. 已知关于$x$的一元一次方程$(m+2)x^{|m|-1}-2n=6$。
(1)求$m$的值。
(2)若$x=a(a≠0)$是这个方程的解，
①求$2026-2a+n$的值；
②若$k=4^{2a-n}$，求$k$的平方根。
(1)求$m$的值。
(2)若$x=a(a≠0)$是这个方程的解，
①求$2026-2a+n$的值；
②若$k=4^{2a-n}$，求$k$的平方根。
答案
(1)因为关于x的一元一次方程$(m+2)x^{|m|-1}-2n=6$,所以$m+2≠0,|m|-1=1$,解得$m=2$。
(2)由(1)得$m=2$,所以$4x-2n=6$。因为$x=a(a≠0)$是这个方程的解,所以$4a-2n=6$,所以$2a-n=3$。
①$2026-2a+n=2026-(2a-n)=2026-3=2023$;
②$k=4^{2a-n}=4^3=64$,所以k的平方根是±8。
(2)由(1)得$m=2$,所以$4x-2n=6$。因为$x=a(a≠0)$是这个方程的解,所以$4a-2n=6$,所以$2a-n=3$。
①$2026-2a+n=2026-(2a-n)=2026-3=2023$;
②$k=4^{2a-n}=4^3=64$,所以k的平方根是±8。
解析
【分析】
(1) 求解m的值需结合一元一次方程的定义：只含一个未知数、未知数的最高次数为1，且一次项系数不为0，据此列出两个约束条件联立求解即可。
(2) ①先将求得的m值代入原方程，再把x=a代入方程，整理得到2a和n的数量关系，观察所求代数式可变形为含“2a-n”的形式，用整体代入法计算即可，无需单独求a、n的具体值。
②将①中得到的2a-n的值代入k的表达式算出k的数值，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，求出k的平方根即可，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 因为方程$(m+2)x^{|m|-1}-2n=6$是关于x的一元一次方程，所以满足：
$\begin{cases}|m|-1=1 \\ m+2≠ 0\end{cases}$
解$|m|-1=1$得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$，结合$m+2≠0$即$m≠-2$，因此$m=2$。
(2) 把$m=2$代入原方程，得$4x-2n=6$。
① 因为$x=a(a≠0)$是方程的解，将$x=a$代入方程得$4a-2n=6$，等式两边同时除以2得$2a-n=3$。
对所求代数式变形：$2026-2a+n=2026-(2a-n)$，将$2a-n=3$代入得：$2026-3=2023$。
② 将$2a-n=3$代入$k=4^{2a-n}$得：$k=4^3=64$。
根据平方根的定义，64的平方根为$\pm\sqrt{64}=\pm8$，即k的平方根是±8。
【答案】
(1) $m=2$
(2) ① $\boxed{2023}$；② $\boxed{\pm8}$
【知识点】
一元一次方程的定义，整体代入求值，平方根的计算
【点评】
本题主要考察一元一次方程的基本概念和代数式求值的思想，解题时要注意一元一次方程一次项系数不为0的隐含条件，计算平方根时要注意正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解m的值需结合一元一次方程的定义：只含一个未知数、未知数的最高次数为1，且一次项系数不为0，据此列出两个约束条件联立求解即可。
(2) ①先将求得的m值代入原方程，再把x=a代入方程，整理得到2a和n的数量关系，观察所求代数式可变形为含“2a-n”的形式，用整体代入法计算即可，无需单独求a、n的具体值。
②将①中得到的2a-n的值代入k的表达式算出k的数值，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，求出k的平方根即可，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 因为方程$(m+2)x^{|m|-1}-2n=6$是关于x的一元一次方程，所以满足：
$\begin{cases}|m|-1=1 \\ m+2≠ 0\end{cases}$
解$|m|-1=1$得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$，结合$m+2≠0$即$m≠-2$，因此$m=2$。
(2) 把$m=2$代入原方程，得$4x-2n=6$。
① 因为$x=a(a≠0)$是方程的解，将$x=a$代入方程得$4a-2n=6$，等式两边同时除以2得$2a-n=3$。
对所求代数式变形：$2026-2a+n=2026-(2a-n)$，将$2a-n=3$代入得：$2026-3=2023$。
② 将$2a-n=3$代入$k=4^{2a-n}$得：$k=4^3=64$。
根据平方根的定义，64的平方根为$\pm\sqrt{64}=\pm8$，即k的平方根是±8。
【答案】
(1) $m=2$
(2) ① $\boxed{2023}$；② $\boxed{\pm8}$
【知识点】
一元一次方程的定义，整体代入求值，平方根的计算
【点评】
本题主要考察一元一次方程的基本概念和代数式求值的思想，解题时要注意一元一次方程一次项系数不为0的隐含条件，计算平方根时要注意正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.7
